Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .07 ДВИ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64038

Решите неравенство

( 2 ) log1−log3x 1+logx 3 ≤1

Источники: ДВИ - 2016, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выписываем ОДЗ и сразу замечаем, что одно из условий выполнится автоматически! Тогда можем перенести все в одну сторону, чтобы сравнивать с нулем. Какой метод хорошо работает с логарифмами, когда с нулем сравниваем?

Подсказка 2

Конечно же метод рационализации! Представляем 1 как логарифм с нужным основанием и получаем уже более приятное неравенство. Для удобства можно ввести замену log₃(x) = t. Можем ли тогда и второй логарифм через эту переменную переписать?

Подсказка 3

С помощью подходящего свойства “переворачиваем” его и получаем рациональное неравенство, которое можем легко решить! Останется только произвести обратную замену.

Подсказка 4

Чтобы решить неравенства с обратной заменой достаточно воспользоваться монотонностью логарифма или применить снова метод рационализации!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( 1− log x >0 ||||| 1− log3x ⁄=1 |{ 3 ⇐⇒ x∈ (0,1)∪(1,3) ||| x ⁄=1 |||( x >20 logx 3+1 >0

Теперь применим метод рационализации. Исходное неравенство равносильно:

2 1+-log33x 1+-log3x (1− log3x− 1)(1+logx 3− 1 +log3x)≤ 0⇐ ⇒ log3x ≥ 0⇐ ⇒ log3x ≥ 0

Не забываем, что $logab =1∕logba$ и неполный квадрат при разложении суммы кубов строго положителен. Теперь нетрудно найти решения:

log3x∈ (−∞, −1]∪(0,+ ∞)=⇒ x ∈(0,1]∪ (1,3) 3

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(0;1]∪(1;3) 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64471

Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$ . Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$ . Прямая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$ . Найдите площадь четырёхугольника $T ACB$ , если известно, что $CB = BT = 3$ , а радиусы окружностей относятся как $5:8.$

Источники: ДВИ - 2016, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим через Х и У точки пересечения внутренней окружности с отрезками АТ и ВТ. Вспомните про лемму Архимеда. Что можно сказать про отрезки АВ и ХУ?

Подсказка 2

Да, они параллельны! Вспомните о том, какие у нас есть вообще теоремы, в которых мы говорим об отношениях отрезков и которые похожи на эту задачу. В первую очередь, мы умеем работать с подобными треугольниками и во-вторых, у нас есть теорема о касательной и секущей! Воспользуйтесь ими, чтобы найти максимум отношений отрезков!

Подсказка 3

Посмотрите на отношения AS/BS и AT/BT. Какую теорему напоминает?

Подсказка 4

Верно, это обратная теорема о биссектрисе! Отметьте все равные углы, которые найдете и поищите параллельные прямые!

Подсказка 5

Посмотрите внимательно на четырехугольник ТАВС. Что можно о нем сказать? Воспользуйтесь всем, что узнали о четырехугольниках, о подобных треугольниках и попробуйте посчитать те величины, которые считаются!

Подсказка 6

Помните, если у нас есть трапеция, для вычисления ее площади мы можем найти высоту и среднюю линию и посчитать площадь, зная уже эти величины!

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим через $X$ и $Y$ точки пересечения внутренней окружности с отрезками $AT$ и $BT$ соответственно.

Проведём общую касательную окружностей в точке $T.$ Тогда угол между касательной и хордой большей окружности $BT$ равен углу $BAT$ и тот же угол между касательной и хордой $TY$ меньшей окружности равен углу $YTX.$

∠BAT = ∠YXT, ∠BTA = ∠YTX =⇒

△BAT ∼ △Y XT =⇒ AT-= AX- BT BY

Применяя теорему о касательной и секущей, получаем

AS2-= AX-⋅AT-= AT2, BS2 BY ⋅BT BT2

то есть,

AS- AT- BS = BT,

что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что $∠ATS = ∠BTS$ . Но из равенства $CB = BT$ следует, что

∠CT B =∠T CB,

стало быть, $AT∥CB$ , то есть четырёхугольник $TACB$ - трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит, $AC = CB = BT =3$ .

Далее, треугольники $ATS$ и $BCS$ подобны с коэффициентом подобия $T S∕CS = = 5∕(8− 5)=$ 5/3. Следовательно, $AT = 5$ , а средняя линия трапеции $TACB$ равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим катетом 1 , то есть равна $√ - 2 2$ . Таким образом, искомая площадь равна $√- √ - 4⋅2 2 =8 2$ .

Ответ:

$8√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90318

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x2+ ax− 6= 0$ равна 5. Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: ДВИ - 2016, вариант 1, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Запишите в явном виде выражение для разности корней и найдите с помощью него дискриминант, теперь остается лишь найти значения а, при которых достигается данное значение дискриминанта

Показать ответ и решение

Из условия получаем

√-- |x1 − x2|=| D |=5 =⇒ D =25

Запишем дискриминант

2 2 2 D =a − 4⋅(−6)= a +24= 25 =⇒ a = 1

a= ±1

Ответ:

$a =±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127819

Ровно в $9:00$ из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в $11:00?$ Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Показать ответ и решение

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точка $A′$ соответствует нахождению в пункте А в $9:00,$ автомобиль выехал из нее и прибыл в пункт Б, пусть это произошло в точке $B.$ Проехав $2 3$ пути, водитель заметил, что в сторону пункта А выехал велосипедист. Обозначим эту точку за $X.$ Пусть расстояние от A до Б равно $3x,$ тогда $′ A X =2x,$ $XB = x.$ В то же время, что автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б выехал автобус в пункт А. Следовательно, момент выезда автобуса соответствует точке $B.$ Автобус прибыл в пункт А в $11:00,$ пусть это будет точка $C.$ Когда автобусу оставалось проехать $2 5$ пути, он поравнялся с велосипедистом, обозначим эту точку за $Y.$ Пусть расстояние от A до B равно $5y,$ тогда $BY = 3y,$ $YC =2y.$ Продлим прямую $XY$ до пересечения с осью $t$ в точке $Z.$

$PIC$

Точка $Z$ будет соответствовать прибытию велосипедиста в пункт A, так как он двигался с постоянной скоростью. Рассмотрим треугольник $A′BC$ и прямую $XZ.$ По теореме Менелая