Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .05 ДВИ 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49146

Решите уравнение

2 2( 5x- 5π) 1 cos x− cosxsin 4 − 12 + 4 =0.

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что наше уравнение квадратное относительно косинуса! Давайте попробуем его решить, мы хотим, чтобы дискриминант был >= 0. При каком условии это выполняется?

Подсказка 2!

Дискриминант: sin^4(...) - 1, значит sin^4(...) должен быть равен 1! Осталось только разобраться, чему в таком случае должен быть равен cosx!

Показать ответ и решение

Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $cosx:$ потребовать, чтобы его дискриминант $sin4(5x− 5π)− 1 4 12$ был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен $±1$ . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:

Пусть для краткости $2(5x 5π) a= cosx,b= sin 4 − 12$ . Ясно, что $− 1≤a ≤1,0≤ b≤ 1.$ У нас есть уравнение $2 1 b 2 1−b2- a − ab+ 4 = 0 ⇐⇒ (a− 2) + 4 =0.$ Но так как $2 1− b ≥0,$ то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:

{ b a −22= 0 1 − b = 0

С учётом $b≥ 0$ получаем $b= 1,a= 1. 2$ Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:

{ cosx= 1 sin2(5x2− 5π)= 1 4 12

то есть

{ cosx= 1 cos(5x2− 5π)= 0 4 12

Отсюда уже находим условия на $x$ :

{ x= ± π+ 2πk,k∈ ℤ 5x= 53π+ π +πn,n ∈ℤ 4 12 2

Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры $n$ и $k$ . Выразим $x$ :

5x= ±5π +10πk= 11π+ 4πn =⇒ 11±5-= 10k − 4n 3 3 3

Так как в правой части целое число, в левой может быть только $11−5-=2 3$ и тогда

1 =5k − 2n ⇐⇒ 2n= 5k− 1

окончательно $k= 2m +1,n= 5m +2, m ∈ ℤ.$

В итоге ответ $x = π+ 2πk = 7π-+4πm 3 3$ уже для любого целого $m.$

Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая $x = π. 3$ Но определять период всё равно придётся из уравнения.

Ответ:

$7π +4πm, m ∈ℤ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64035

Найдите все положительные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству

3x+7 12 x >x

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

х есть и в основании и в степени. Каким приемом можем преобразовать выражение, чтобы все иксы оказались “на одном уровне”?

Подсказка 2

Можем обе части прологарифмировать по удобному основанию! А какое основание нам стоит выбрать, чтобы логарифмов при этом в неравенстве не осталось?

Подсказка 3

Конечно, основание стоит взять х! Только необходимо убедиться, что мы так можем делать (или рассмотреть все неподходящие случаи отдельно). А что будет происходить со знаком неравенства?

Подсказка 4

Знак неравенства будет разный, в зависимости от значений х. Не пугаемся и рассматриваем 2 случая отдельно! В каждом получим простейшее неравенство и останется только собрать ответ :)

Показать ответ и решение

Так как функция $f(t)= ln t$ возрастает на области определения $t >0,$ то неравенство $x3x+7 > x12$ равносильно

3x+7 12 lnx >lnx ⇐ ⇒ (3x+ 7)lnx >12lnx

(3x− 5)lnx >0

По методу рационализации при $x> 0$ неравенство эквивалентно

(3x− 5)(x− 1)> 0

Откуда по методу интервалов с учётом $x > 0$ получаем ответ $x∈ (0;1)∪(53;+∞ ).$

Ответ:

$(0;1)∪ (5;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64470

Окружности $Ω 1$ и $Ω 2$ с центрами в точках $O 1$ и $O 2$ касаются внешним образом в точке $A$ . Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $Ω1$ и $Ω2$ соответственно в точках $B1$ и $B2$ . Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A$ , пересекает отрезок $B1B2$ в точке $C$ . Прямая, делящая угол $ACO2$ пополам, пересекает прямые $O1B1,O1O2,O2B2$ в точках $D1,L,D2$ соответственно. Найдите отношение $LD2 :O2D2$ , если известно, что $CD1 = CO1.$

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь тем, что мы знаем про отрезки касательных, и затем поищите равные треугольники. Что можно сказать про угол О₁СО₂?

Подсказка 2

Поотмечайте равные углы, поищите равнобедренные треугольники и запишите равенства углов уже в них. В этой задаче будет удобно ввести две переменные для каких-нибудь углов и выразить через них все остальные углы.

Подсказка 3

Посмотрите внимательно на углы D₁LO₁ LCO₁. Если задача все еще не решается, поищите треугольник, подобный треугольнику О₂LD₂.

Показать ответ и решение

$PIC$

Отрезки $CB1,CA$ и $CB2$ равны как отрезки касательных. Следовательно, $△O1CB1 =$ $△O1CA,△O2CB2 =△O2CA$ . Значит, $CO1$ и $CO2$ — биссектрисы углов $ACB1$ и $ACB2$ соответственно, так что образуют прямой угол. Стало быть, $∠LCO1 = 90∘− ∠LCO2 = 90∘− ∠LCA =∠CLA$ , то есть