Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .04 ДВИ 2013

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63563

Решите уравнение

cos3x- sin3x- sin2x- cos2x- sin 2x + cos2x = cos3x + sin 3x .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемые-дроби не очень удобны: приводим к общему знаменателю каждую из частей уравнения! А что получилось в числителе?

Подсказка 2

Это же формула косинуса суммы! При каких условиях теперь может получиться равенство?

Подсказка 3

Либо числитель равен нулю, либо знаменатели равны. С первым проблем не возникает, решаем и сверяемся с ОДЗ. А что можно сделать с равенством знаменателей?

Подсказка 4

Перед нами синус двойного угла! Только двоек не хватает (но их мы легко добавим :) ). Какую формулу теперь можно применить, чтобы не раскрывать обратно по синусу двойного угла?

Подсказка 5

Формулу разности синусов! Она как раз даст нам удобное произведение, которое мгновенно распадется на простейшие тригонометрические уравнения. Решаем их и задачка убита!

Подсказка 6 (отбор корней)

Пересекать с ОДЗ полученные корни лучше всего на тригонометрической окружности. Отмечаем на ней точки, которые хотим пересечь с ОДЗ одним цветом, точки для серий из ОДЗ (которые как раз хотим “выколоть”) другим и оставляем те корни, которые не совпали!

Показать ответ и решение

Приводя к общему знаменателю:

cos3xcos2x+-sin3xsin2x cos3xcos2x-+sin-2x-sin3x sin2xcos2x = cos3xsin 3x

В каждой дроби сверху записан $cos(3x− 2x)=cosx$ . Если $cosx= 0$ , то $sin2x =0$ , что невозможно в силу ОДЗ, то есть:

sin2xcos2x =cos3xsin3x⇐ ⇒ sin4x= sin6x⇐ ⇒ sinxcos5x =0

Здесь $sinx$ не подходит по тем же причинам. Осталось только $cos5x =0,x= -π+ πn 10 5$ . Чтобы проверить ОДЗ, посмотрим на корни для отрезка $[0,2π]$ — это $π-,3π,...19π 10 10 10$ . Среди всех этих решений 5 в знаменателе сократится только для $5π 10$ и $15π 10$ — в этих точках $sin2x$ снова будет равен нулю, но для остальных 5 останется в знаменателе и не исчезнет для выражений $2x$ и $3x$ , поэтому синусы и косинусы с аргументами $2x$ и $3x$ не могут равняться нулю в таких точках — помним, что в несократимом виде в знаменателе может остаться только двойка для равенства нулю синуса или косинуса. То есть нужно исключить только $n= 2+5k,k∈ ℤ$ (5 нужна, чтобы задать период $π$ между “плохими” корнями).

Ответ:

$-π+ πn,n∈ ℤ∖ {2+ 5k,k∈ℤ} 10 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64000

Решите уравнение

tg2x−-2sinx tg2x+ 2sinx =0

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1 (резервный), задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, при каких условиях дробь равна 0? Они будут составлять систему!

Подсказка 2

В полученных выражениях есть и синусы и тангенсы. Стоит все переписать через синусы и косинусы, ведь их связь нам более привычна! А заодно и общий множитель найдем, применив формулы двойных углов :)

Подсказка 3

Остается решить только несложные уравнения из системы и пересечь соответствующие результаты! Не забывайте, что для условия со знаком “не равно” необходимо, чтобы оба множителя одновременно были не равны нулю, а не “хотя бы один”, как со знаком равенства.

Показать ответ и решение

Выпишем эквивалентную систему

(| [ sinx= 0 { 2sinxcosx− 2sinx =0 |||{ cosx= 2cos2x − 1 22csiosn2xxc−os1x ⇐⇒ | 2cos2x−1 + 2sinx ⁄=0 |||( sinx⁄= 0 2 cosx ⁄=−2 cos x+ 1

Отсюда $sinx ⁄=0$ , при этом $cosx∈ {1,− 1} 2$ , где первое значение невозможно (тогда $sinx =0$ ). После несложной проверки ОДЗ, получаем $x= ±2π+ 2πn. 3$

Ответ:

$± 2π +2πn, n ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64358

Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной в 6 км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошел в Успенское пешком. Павел же пошел до Павловки пешком, дошел до нее в 12:30 — ровно в тот момент, когда Иван прибыл в Успенское, тут же сел в Павловке на автобус и поехал в Успенское, куда приехал в 12:40. Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если известно, что Иван и Павел шли со скоростью 4 км/ч, а автобусы двигались с равными постоянными скоростями.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1 (резервный), задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите путь Павла. Что мы можем сказать про расстояния на нем и скорость автобуса?

Подсказка 2

Теперь нам известна скорость автобуса и полное время в пути Ивана! Остается только составить уравнения из этого и найти все интересующие нас величины.

Показать ответ и решение

Павел дошёл до Павловки за 30 минут, потому расстояние до неё равно $2$ км, далее он проехал $4$ км за 10 минут, откуда скорость автобуса равна $24$ км/ч. Пусть Иван шёл $t1$ часов и ехал — $t2$ , отсюда $t1+t2 = 0.5$ и $4t1 +24t2 =6$ , то есть $t2 =0.2,t1 = 0.3$ , откуда длина пути от Ивановки до Успенского равна $4t1 =1.2$ км.

Ответ:

1200 метров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64469

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность радиуса $R$ и описана около окружности радиуса $r$ . Найдите $r$ , если $R= 12$ , а косинус угла между диагональю $AC$ и основанием $AD$ равен $3∕4.$

Источники: ДВИ - 2013, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие факты про стороны трапеции нам сразу дают условия на вписанность и описанность?

Подсказка 2

А где в равнобедренной трапеции мы вообще можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей)?

Подсказка 3

Конечно диаметр вписанной окружности в точности равен высоте, а радиус описанной можем найти в теореме синусов для одного из вписанных треугольников. Подумайте, для какого треугольника ее лучше применить, опираясь на условия задачи и что получится найти из этого. Длины какого отрезка нам не хватает, чтобы вычислить радиус вписанной окружности?

Подсказка 4

Нас интересует либо длина диагонали, либо длина второго катета в прямоугольном треугольнике! Определите, на какие отрезки разбивается большее из оснований высотой и подумайте, как нам помогает теперь описанность трапеции, если длина боковой стороны уже найдена.

Показать ответ и решение

Первое решение.

∘ ---(-)2- √- sin∠CAD = 1− 3 = -7- 4 4

Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная. По теореме синусов $AB = CD =2R sin∠CAD = 6√7.$ Высота $CH$ , опущенная из вершины $C$ на большее основание $AD,$ делит его на больший отрезок $(AH)$ , который равен полусумме оснований, и меньший $(HD )$ , равный полуразности оснований. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

√- a+ b= 2⋅6 7

√ - 1 1 1a+-b --7 r =2 h= 2AH tg ∠CAD = 2 2 ⋅ 3 = 7

$PIC$

Второе решение. (по сути то же самое, но в общих обозначениях вместо промежуточных вычислений)

Из того, что трапеция вписана, следует, что она равнобокая. Положим $AB =CD =a,BC = b,AD = c.$ Не ограничивая общности, можно считать, что $c≥ b.$ Из того, что трапеция описана, следует, что $b+ c= 2a.$ Опустим перпендикуляр $CH$ на сторону $AD$ . Toгда $CH = 2r,AH = c2 + b2 = a$ (поскольку точки касания окружности делят основания пополам). Следовательно, обозначив $φ =∠CAD,$ получаем:

tgφ= 2r a

C другой стороны, по теореме синусов, примененной к треугольнику $CAD.$

sinφ= -a- 2R

Перемножая, находим:

r- -1-- R = cosφ − cosφ

Подставляя $R =12,cosφ =3∕4,$ получаем $r= 7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70161

Старший коэффициент квадратного трехчлена $f(x)$ равен $2$ . Один из его корней равен $5 2$ . Найдите второй корень, если известно, что $f(0)=3$ .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу переведём эту задачу на язык уравнений. Вспомните формулу квадратного трёхчлена и попробуйте записать каждое условие по отдельности.

Подсказка 2

Мы знаем, что корни можно найти через дискриминант, но такой способ как-то быстро убивает желание решать задачку из-за страшных уравнений, в такие моменты полезно подумать, а вдруг есть другой способ нахождения корней? Где фигурировали основные утверждения из условия?

Подсказка 3

Ну конечно же, через теорему Виета, нам об этом говорит то, что мы уже знаем один из корней, а также то, что старший и свободный коэффициенты равны конкретным числам. Не забывайте, что теорема Виета недостаточное условие для того, чтобы были вещественные корни, а значит нужно проверять подходят ли корни или что дискриминант неотрицателен (подставить так же будет полезно для проверки себя после долгих вычислений), но нам повезло и уже сказали, что есть корень 5/2!

Показать ответ и решение

Квадратный трехчлен имеет вид $ax2+ bx +c$ . По условию сразу получаем $a =2$ . Значение квадратного трехчлена в нуле равно в точности свободному коэффициенту, то есть $c= 3$ . По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения $f(x)=0$ равно значению $c 3 a = 2$ . По условию один из корней равен $5 2$ , поэтому второй корень равен $3 2 3 2 ⋅5 = 5.$

Ответ:

$3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70627

В основании прямой призмы $ABCA ′B′C ′$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ , такой что $AC = BC = 1$ . На ребре $A′B′$ верхнего основания (параллельном $AB$ ) отмечена точка $D$ , так что $′ ′ AD :DB =1 :2$ . Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр $′ ABC D$ , если высота призмы равна $1.$

Источники: ДВИ - 2013, вариант 2, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам надо как-то найти радиус вписанной сферы. Его можно найти в формуле для объема тетраэдра. Можно ли как-то просто найти этот объем?

Подсказка 2

На самом деле он равен объему тетраэдра ABCD, ведь CC' параллельна основанию ABD. А объем тетраэдра легко найти: мы знаем, что площадь основания ABC- это 1/2, а высота- 1 ⇒объем равен 1/6. Что нам еще надо найти?

Подсказка 3

Как мы знаем, V=r*S/3, где V- объем тетраэдра, r- радиус сферы и S- площадь полной боковой поверхности. Тогда r=1/(2S). Легко заметить, что все стороны тетраэдра ABC'D легко находятся с помощью теоремы Пифагора. Тогда, зная все стороны, можно будет найти площади боковых граней и завершить решение. Я в вас верю!

Показать ответ и решение

$PIC$

Из теоремы Пифагора в треугольнике $ABC$ сторона $√- AB = 2.$ Так как $A ′D :DB′ = 1:2$ и $√- A′B′ = 2,$ то $√- √- A′D = 32,DB ′ = 232.$

Обозначим объём тетраэдра $ABC ′D$ , площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как $V,S,r$ . Тогда $V = 13rS$ . Объём тетраэдра $ABC′D$ paвен объёму тетраэдра $ABCD$ , поскольку $CC′∥AA′$ . Стало быть,

V = 1∕6 =⇒ r= (2S)−1

Найдём все рёбра пирамиды $DABC ′.$ По теореме Пифагора в $△AA ′D:$

( √-)2 √ -- AD2 = A′A2+ A′D2 = 12+ -2- = 11 =⇒ AD = --11 3 9 3

Аналогично из теорем Пифагора в треугольниках $BB ′D,ACC′$ и $BCC ′ :$

┌│----(----)- -- │∘ 2 2√-2 2 √17 ′ ∘-2---2 √- ′ ∘ -2--2- √- BD = 1 + 3 = 3 ; AC = 1 + 1 = 2; BC = 1 +1 = 2

Так как $A′C′ = B′C′,$ то $∠C′A ′D = 45∘,$ тогда по теореме косинусов в $△DA ′C′ :$

′ 2 2 √2 1 5 ′ √5- C D = 9 + 1− 2⋅ 3-⋅√2-= 9 =⇒ C D= -3-

Теперь найдём площади всех граней пирамиды $DABC ′.$

$√- SADB =-22 .$ Так как $△AC ′B$ — равносторонний, то $√- SAC′B = -32 .$

Рассмотрим $△AC ′D.$ Пусть $∠AC′D =α,$ тогда по теореме косинусов

√ - ∘ -- 11= 2+ 5− 2⋅√2⋅--5⋅cosα =⇒ cosα= √2- =⇒ sinα = 3 9 9 3 10 5

1 √- √5 1 SAC′D = 2 ⋅ 2⋅-3-⋅sinα =√6

Рассмотрим $△BC ′D.$ Пусть $∠BC ′D = β,$ тогда по теореме косинусов

√ - 17-= 2+ 5− 2⋅√2⋅--5⋅cosβ =⇒ cosβ = √1- =⇒ sinβ = √3- 9 9 3 10 10

1 √ - √5 1 SBC′D = 2 ⋅ 2⋅-3-⋅sinβ = 2

Тогда площадь поверхности тетраэдра $′ ABC D$

( - - ∘-) S =SADB + SAC′B + SAC′D + SBC′D = 1 1+√ 2+√ 3+ 2 2 3

Остаётся воспользоваться соотношением $r =(2S)−1.$

Ответ:

$(1+ √2+ √3+ ∘ 2)−1 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80603

В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее вышел катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось идти 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый» развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», «Смелый» развернулся и направились обратно в Нижнее. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если скорости катеров в стоячей воде одинаковые и постоянны.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от Верхнего относительно времени.

Подсказка 2

Обозначаем за S расстояние между Верхним и Нижним, а Т — время «Быстрого» вниз по течению, обозначаем на графике всю известную информацию, и пользуемся фактами планиметрии, в том числе подобием треугольников, чтобы выражать те отрезки, которые можем.

Подсказка 3

Находим, какие есть варианты для S и помним о том, что по течению корабли плывут быстрее, чем против, чтобы на основе этого составить строгую оценку!

Показать ответ и решение

Графики движения катеров в осях время и расстояние изображены на рисунке:

$PIC$

Ломаная $ABC$ - график движения «Быстрого», а ломаная $DEF$ «Смелого». Пусть $S$ расстояние (в километрах) от Верхнего до Нижнего, $T$ — время (в минутах) движения «Быстрого» вниз по течению. Из подобия треугольников $ABC$ и $DEF$ получаем $S−S−1∕12= 1188−T$ .

Из подобия треугольников $CHG$ и $CBQ$ : $S1−∕21∕2-= 184−T-$ . Из этих равенств получаем $S−-1∕2= -18∕8-= ---9-- ⇔ 4(S − 1∕2)2 =9(S− 1)⇔ 4S2 − 13S+ 10= 0 S−1 S−1∕2 4(S−1∕2)$ Значит или $S = 2,$ или $S = 5 4$ . Так каk $T$ и 18 - Т времена прохождения одного и того же пути по и против течения, то $T < 18− T ⇔ T < 9.$ Поэтому получаем $S−-1∕2= -18-< 2⇔ S > 3 S−1 18−T 2$ .

Ответ: 2 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80648

Решите уравнение

sin5x cos5x- sinx- -cosx- sinx − cosx = sin5x − cos5x

Источники: ДВИ - 2013, вариант 2, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем правую и левую части уравнения. Сразу хочется избавиться от этой разности дробей, поэтому логично привести выражения к общему знаменателю. Заметим, что тут можно применить формулу синуса разности для того, чтобы свернуть выражения в числителях

Подсказка 2

Перекинем все в одну сторону и снова приведем к общему знаменателю (заметьте, что знаменатели тоже можно было преобразовать по очень известной тригонометрической формуле), попробуйте теперь разложить результат на множители

Подсказка 3

После применения формулы для суммы синусов остается только приравнять каждый множитель к нулю и найти корни уравнения (только важно не забыть выколоть нули знаменателя!)

Показать ответ и решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:

-sin4x- sin(−4x) 12sin2x = 12sin10x

Это равносильно тому, что

sin4x(sin2x+-sin10x) =0 sin2xsin10x

Преобразуем сумму синусов в произведение:

sin4xsin6xcos4x-= 0 sin2xsin10x

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла::

-sin8xsin6x- sin2xsin10x = 0

Учитывая, что нули функции $sin2x$ являются нулями функции $sin 10x,$ получаем::

( [ |{ sin6x= 0 | sin8x= 0 ( sin 10x ⁄=0

Общие нули $sin 6x$ и $sin10x$ имеют вид $kπ2-,k ∈ℤ.$ Точно так же выглядят общие нули $sin8x$ и $sin10x$ . Следовательно, из серий $m8π,n6π,m, n∈ ℤ,$ нужно выкинуть числа вида $kπ2-,k ∈ℤ$ .

Ответ:

$x = mπ,nπ, m ∈ ℤ∖4ℤ,n∈ ℤ∖3ℤ 8 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88779

Вычислите $log 3⋅log 12 12 9$ .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 3, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое свойство логарифма позволяет поменять местами его основание и аргумент?

Подсказка 2

Воспользуйтесь тем, что logᵤ(v) = 1/logᵥ(u), примените это свойство к любому из логарифмов. Осталось заметить, что 9 = 3² и вынести показатель степени за логарифм.

Показать ответ и решение

Вспомним следующие свойства логарифмов:

1 loganb= n logab

1 logba = log-b a

Сделаем преобразования:

log123 ⋅log9 12 = --1--⋅ 1⋅log312= 1 log312 2 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90805

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

( a) sin x+ x = x+ 1

имеет бесконечно много решений.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 4, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас стоит синус, какие тогда ограничения можно сразу наложить на правую часть и x?

Подсказка 2

x лежит на [-2;0)! Теперь подумаем, а как бы мы решали уравнение sin(f(x)) = g(x)? Быть может, сначала решим его относительно a, а потом уже найдем количество корней на промежутке?

Подсказка 3

x — корень уравнения, если x + a/x - arcsin(x+1) = 2*pi*k, k — целое. То есть перед нами комбинация трёх функций (одна из них меняется в зависимости от a), которую мы исследуем на [2;0).

Подсказка 4

Исследуйте F(x) = x + a/x - arcsin(x+1) на непрерывность и неограниченность на нужном промежутке!

Показать ответ и решение

Отметим сразу, что уравнение может иметь решения только при $x ∈[−2;0).$

При $a= 0$ уравнение имеет вид:

sinx =x +1

Последнее уравнение на промежутке $[−2;0)$ не имеет бесконечного количества решений, поскольку графики функций $f(x)=sinx$ и $g(x)=x +1$ пересекаются на этом промежутке в одной точке.

Рассмотрим теперь случай, когда $a⁄= 0.$ Пусть $t= arcsin(x+1).$ Тогда $x$ — корень уравнения, если

a x+ x = t+ 2πk, k∈ℤ

a x + x − arcsin(x +1)= 2πk

Поскольку функции $f(x)=x, g(x)= arcsin(x+1)$ непрерывны и ограничены при $x∈ [− 2;0),$ а функция $a q(x)= x$ непрерывна и неограничена при $x∈ [− 2;0),$ то функция $F(x)=x + ax − arcsin(x +1)$ также непрерывна и неограничена при $x∈ [−2;0).$ Следовательно, при $a ⁄=0$ функция $F(x)$ принимает значения, кратные $2π,$ бесконечное число раз, и исходное уравнение имеет в этом случае бесконечно много решений.