Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .03 ДВИ 2012

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63559

Решите уравнение

√- sin3x= 2 cosx− sinx

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус тройного угла раскрывать не очень хочется (потом явно придется еще двойные раскрывать), так что вспоминаем формулу суммы синусов и пробуем применить её!

Подсказка 2

Получили уже что-то более приятное, только две функции остались различные! Стоит попробовать разложить на множители, раз уж один множитель в слагаемых одинаковый.

Подсказка 3

Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно 0 и решаем базовые тригонометрические уравнения! Не пугайтесь двойного угла, можете заменить его на новую переменную y, чтобы было проще выписывать решения :)

Показать ответ и решение

Поскольку $sin3x+ sinx =2sin 2x cosx$ , то возможны два случая.

π cosx =0 =⇒ x= 2 +πn,n∈ ℤ

√ - √ - π πn 2= 2sin2x⇐⇒ sin2x = 1∕ 2=⇒ x= (−1)n-8 + 2-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn, n ∈ℤ 2 8 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64468

Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$ соответственно и пересекает сторону $AC$ в точках $F,G$ (точка $F$ лежит между точками $A$ и $G)$ . Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AF = 5,GC = 2,AD :DB =2 :1$ и $BE = EC.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу запишем условие: BD=BE=EC=x, AD=2x, AF=5, CG=2. Практически все отрезки найдены, а какой так и хочется найти?

Подсказка 2

Найдем отрезок GF! Это отрезок секущей, лежащей внутри окружности. В какой теореме фигурирует такой отрезок?

Подсказка 3

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей! Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Обозначив GF=t, без труда найдем t и x. Смотрите, t можно выразить аж двумя способами!

Подсказка 4

Итак, t=3, x=sqrt(10). Супер, мы знаем все стороны треугольника! Теперь надо как-то провести радиус…что если опустить радиус из I — центра вписанной окружности на AB. Как можно найти радиус в получившемся треугольнике?

Подсказка 5

Хочется найти тангенс половины угла B, значит нам нужны синус и косинус половины угла B. Как это можно сделать?

Подсказка 6

Воспользуйтесь формулой понижения степени — там как раз используется половина угла! Но как найти косинус угла B?…

Подсказка 7

Мы ведь знаем все стороны — воспользуемся теоремой косинусов ;)

Показать ответ и решение

Пусть $EC = EB = BD =x$ (пользуемся равенством касательных), а $GF = t.$

$PIC$

По теореме о касательной и секущей $2 2 x =EC = CG ⋅CF = 2(2 +t)$ и $2 2 4x = AD = AF ⋅AG = 5(5 +t)$ . Из полученной системы легко найти $t= 3$ и $√-- x= 10$ . Далее по теореме косинусов для $ABC$ :

102 = 9x2+4x2− 2⋅2x⋅3x⋅cos∠B

10= 13− 12cos∠B

cos∠B = 1= 2cos2 ∠B-− 1 4 2

∠B sin∠B∕2 ∘3-∕8 ∘ --- tg-2-= tg∠IBD = cos∠B∕2 =∘5-∕8 = 3∕5

ID =BD ⋅tg ∠B-= xtg ∠B-= √6 2 2

Ответ:

$√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75439

Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны $− 4 7$ и $5, 3$ а свободный член равен $− 2.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 122, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известны корни уравнения и один из его коэффициентов, для полной картины не хватает только старшего и среднего коэффициента. Какая теорема позволяет нам легко выражать корни через соотношение коэффициентов?

Подсказка 2

Конечно теорема Виета! x₁+x₂=-b/a нам пока мало что даёт, а вот из x₁x₂=c/a можно найти старший коэффициент, а уже затем через него найти и b. Осталось только аккуратно всё посчитать и подставить🤗

Показать ответ и решение

По теореме Виета имеем

--c- a= x1x2 = 2,1

b= −a(x1 +x2)= −2,3

Тогда трёхчлен имеет вид

2,1x2− 2,3x− 2

Ответ:

$2,1⋅x2 − 2,3 ⋅x − 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88784

Вычислите $log log 417 2 81139.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Дробь 417/139 выглядит не очень, но она прекрасно сокращается, после чего задача убивается в 2 действия, пользуясь свойствами логарифма

Показать ответ и решение

417 1 1 log2log81139 = log24log33= log24 = −2

Ответ:

$− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90804

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

√ ---- √-- √ - a x+y = 3x+ 2 y

имеет единственное решение $(x,y)$ .

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется найти единственное решение, тогда, быть может, существует универсальное решение, не зависящее от a? Обратим внимание на то, что и слева, и справа присутствует умножение на корень из числа.

Подсказка 2

После того, как мы найдем одно из решений, нам нужно показать, что других нет. Обратим внимание на то, какие функции присутствуют в обеих частях. Быть может, сделаем оценку на их значения?

Подсказка 3

Квадратный корень гарантирует нам знак, поэтому можно разобрать случаи разных знаков a.

Подсказка 4

Разобрать случаи a = 0, a < 0 не составит труда, а каким является уравнение при a > 0 относительно sqrt(x)? Как добиться того, чтобы оно имело нужное нам количество решений?

Подсказка 5

Уравнение является квадратным относительно sqrt(x), значит имеет смысл разобрать знак дискриминанта!

Показать ответ и решение

Заметим, что пара $(0;0)$ является решением данного уравнения. Тогда нужно найти такой параметр $a,$ при котором у данного уравнения нет других решений.

Запишем ОДЗ:

{ x≥ 0 y ≥ 0

Сделаем замену: $√x-= t, √y = s, t,s≥ 0.$ Если есть решения относительно $(t,s)$ , то есть решения для $(x,y)$

Тогда получаем

∘ -2--2 √- a t +s = t 3+ 2s

При $a= 0$ существует единственное решение $(0;0).$ Тогда $a= 0$ подходит под условия.

При $a< 0$ левая часть не более $0,$ а правая не менее $0,$ значит равенство достигается, когда и левая и правая части равны нулю. Это достигается только при $(0;0),$ значит, $a< 0$ подходит под условия.

При $a> 0$ получаем

a2(t2+ s2)= 3t2 +4s2+ 4ts√3

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $t.$

(a2− 3)t2 − 4s√3⋅t+ s2(a2− 4)= 0

Чтобы данное уравнение не имело неотрицательных решений нужно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

(a) $D <0$

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 D= 48s − 4s (a − 3)(a − 4)= 4s(12− a +7a − 12)= 4s (−a )(a − 7)

Если $s= 0,$ то $t=0,$ значит далее рассмотрим $s> 0.$

2 2 2 2 D < 0 ⇐ ⇒ 4s (−a)(a − 7)< 0 =⇒ a − 7> 0

Так как рассматриваются $a> 0,$ то получаем, что при $a> √7$ нет других решений, кроме $(0;0)$

(b) $D ≥0,$ но оба корня отрицательны.

Если $D ≥0,$ то $a≤ √7.$ Выпишем корни:

2s√3-± as√7-− a2 t= ----a2−-3-----≤0

Так как ранее был сделан вывод, что $s> 0,$ то далее опустим его, так как на знак он не влияет.

При $√- a> 3$ получаем, что

√- ∘ ---2- 2 3± a 7− a ≤ 0

Не подходит, так как с плюсом получаем положительное выражение.

При $a< √3$ получаем, что

2√3± a∘7-− a2 ≥ 0

2√3-≥ a∘7−-a2 =⇒ 12≥ a2(7− a2)

a4− 7a2+ 12≥0 =⇒ (a2 − 3)(a2− 4)≥0

При $√- a< 3$ получаем, что корни будут отрицательными, значит, такое ограничение подходит.

Объединим решения и получим, что

√ - √ - a∈ (−∞; 3)∪ ( 7;+ ∞)

Ответ:

$a ∈(−∞;√3)∪ (√7;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92349

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|=6.

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 5 (pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, все это честно раскрыть и построить, но мы не ищем проторенных путей! Раз просят найти площадь, то попробуем вспомнить, что же такое модуль с точки зрения геометрии. Есть ли в геометрии какие-то факты, связанные с модулями или даже их суммой?

Подсказка 2

Модуль — это по сути своей длина некоторого отрезка, а с суммой длин связано одно прекрасное неравенство — неравенство треугольника. Может быть, здесь будет удобно его применить?

Подсказка 3

|a|+|b|>=|a+b|, где равенство будет достигаться только в том случае, если ab≥0. Но давайте внимательно посмотрим на первые два модуля, может быть, можно чуть-чуть переделать неравенство так, чтобы нам было гораздо удобнее?

Подсказка 4

х+х+3у=2х+3у, а вот х-(х+3у)=-3у — второй вариант выглядит гораздо лучше. Давайте тогда возьмём |a|+|b|=|a|+|-b|>=|a-b|, и тогда равенство будет достигаться при ab≤0. Давайте теперь оценим сумму наших модулей. Сначала первые два, а потом и третий к ним прибавим.

Подсказка 5

Если удачно подобрать порядок, то выйдет, что 6=|x|+|x+3y|+3|y-2|≥6, то есть какое условие обязательно должно выполниться?

Подсказка 6

Получаем систему из x*(x+3y)≤0 и 3y*3(y-2)≤0. Решив их по очереди, а потом отметив результаты на координатной плоскости (не забудьте взять их пересечение!), получим фигуру, площадь которой считается максимально очевидно :)

Показать ответ и решение

Воспользуемся неравенством треугольника: