Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .02 ДВИ 2011

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64396

Решите систему неравенств

{ 2x2+ 4xy +11y2 ≤ 1; 4x+ 7y ≥ 3.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите полный квадрат в первом уравнении системы. Не напрашивается ли сюда какая-нибудь замена?) Пусть, например, u = x + y, а v = 3y

Подсказка 2

Перепишите систему после замены. Попробуйте теперь сложить два неравенства, предварительно умножив одно из них на коэффициент так, чтобы в итоге в правой части сумма была ноль!

Подсказка 3

Давайте повыделяем полные квадраты. И, кажется, у нас вышла красота: сумма двух квадратов меньше, либо равна нулю... Сделайте выводы!

Показать ответ и решение

Перепишем систему

{ 2x2+ 4xy+ 11y2 ≤ 1 { 2(x+ y)2+ (3y)2 ≤ 1 4x +7y ≥ 3. ⇐⇒ − 4(x+ y)− 3y ≤ −3

Пусть $x+y =u,3y = v$ . Получим систему

{ 2u2+ v2 ≤ 1 { 6u2+3v2− 3≤ 0 − 4u − v ≤− 3 ⇐⇒ −8u− 2v+ 6≤0

После сложения получаем

6u2− 8u+ 3v2 − 2v+ 3≤ 0

( ) ( ) 6 u2− 2 ⋅u ⋅ 2+ 4 + 3 v2− 2⋅v⋅ 1 + 1 ≤ 0 3 9 3 9

( )2 ( )2 6 u− 2 + 3 v − 1 ≤0 3 3

2 1 u= 3,v = 3

Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем

{ 2 x +y1= 3 y = 9

Откуда $x= 5. 9$

Ответ:

$(5,1) 9 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64852

Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$ . Найдите длину отрезка $CK$ , если $AB = √3$ и известно, что вокруг четырехугольника $KLCM$ можно описать окружность.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Назовём третью медиану CN. Заметим, что LM — средняя линия △АВС. Поотмечайте вытекающие из этого равные углы. Также отметьте доступные Вам равенства во вписанном четырёхугольнике KLСМ.

Подсказка 2

Удаётся ли заметить что-нибудь интересное? Например, подобные треугольники. Рассмотрите внимательно △AKN и △ANC, сколько у них пар соответственно равных углов?

Подсказка 3

Запишите отношения соответственных сторон в подобных треугольниках. Какие-то стороны Вы знаете, в других Вам известно лишь отношение — Вы ведь знаете, в каком соотношении медианы делятся точкой пересечения. Осталось лишь найти из получившегося равенства искомый отрезок!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть оставшаяся медиана $CK$ пересекает сторону $AB$ в точке $N,$ тогда $CK :KN = 2:1.$ Отметим равные углы, используя параллельность $LM ∥AB$ (средняя линия) и вписанность $KLCM$ .

$PIC$

Далее воспользуемся подобием $△ANK ∼ △CNA$ (у них пара равных углов по две дужки и один общий):

NK- = AN- AN NC

√------- ∘ CK---3CK-- √3- AN = NK ⋅NC = 2 ⋅ 2 = 2 CK

Так как $AB- √3 AN = 2 = 2 ,$ то $CK = 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $2$ точка $K$ переходит в точку $P,$ тогда $CK = KP,$ а по свойству центроида $CK =2KN,$ где $N$ — середина $AB.$

$PIC$

Описанная окружность треугольника $ABC$ переходит в описанную окружность треугольника $ABC,$ по теореме о пересекающихся хордах в получившейся окружности

AN ⋅NB = CN ⋅NP

√- √- -3-⋅-3= 3CK ⋅ 1CK 2 2 2 2

CK = 1

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90686

Решите уравнение

log2(3x − 4)= log4(2− x).

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а в каких случаях логарифмы удобно проверять на равенство?

Подсказка 2

Когда основания в них равны! А как связаны основания у логарифмов из условия?

Подсказка 3

4 — это степень двойки!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 3x− 4> 0 ( 4 ) 2− x> 0 =⇒ x ∈ 3;2

Сделаем преобразования:

log(3x− 4)= 1 log (2− x) 2 2 2

1 log2(3x− 4)=log2(2− x)2

√---- 2 3x− 4= 2− x =⇒ (3x− 4) =2− x

9x2− 24x+ 16= 2− x =⇒ 9x2− 23x +14= 0

Тогда получаем

( |{ x= 1 —не подходит под ОДЗ |( 14 x= 9

Ответ:

$14 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90840

В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней куба, грани куба, параллельной основанию, и первого шара. Чему равна сумма радиусов сфер?

Источники: ДВИ - 2011, вариант 114, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала вспомним, что мы знаем о сфере, вписанной в некую фигуру. Есть что-то особенное в ее местоположении?

Подсказка 2

Да, центр сферы лежит на биссектрисе трёхгранного угла, в который вписана сфера! Тогда что можно сказать о центрах наших сфер, раз они вписаны в куб?

Подсказка 3

Они лежат на диагонали куба, так как диагональ куба как раз и является биссектрисой соответствующих трёхгранных углов. А кусочек диагонали между центрами как раз и есть сумма радиусов, которую нам нужно найти! Длину чего тогда стоит узнать и какую плоскость тогда имеет смысл рассмотреть?

Подсказка 4

Пусть это будет сечение куба, перпендикулярное основанию и содержащее эту самую диагональ. Раз уж сферы касаются граней куба, то что имеет смысл отметить дополнительно?

Подсказка 5

Радиусы, проведенные в точки касания окружностей и оснований, тоже будут лежать в этой плоскости сечения. Может быть, в таком случае выйдет как-то выразить оставшиеся кусочки диагонали тоже через радиусы окружностей?

Подсказка 6

Зная длину ребра куба, легко можем вычислить длину диагонали куба, а также синус угла между этой диагональю и основанием. А зная синус угла, можно и оставшиеся отрезочки диагонали через радиусы выразить. Осталось только записать их сумму и выразить сумму радиусов!

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что центры обеих сфер лежат на диагонали куба, причём на одной и том же, поскольку касаются разных боковых граней. Действительно, прямая, на которой лежит центр сферы, является биссектрисой трёхгранного угла, поскольку центр куба является центром сферы радиуса $1∕2$ , которая касается всех граней, то эта прямая проходит через него. Без ограничения общности, выберем на эту роль диагональ $A1C$ .

$PIC$

Пусть $α= ∠A1CA =∠C1A1C,$ тогда

r1 r2 CO1 = sinα-, A1O2 = sinα

√- r1+ r2 A1C = 3= r1+ r2+ -sin-α-

√ - √- r1+r2= ----3--= 3−--3 1+ s1inα 2

Ответ:

$3-− √3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90944

Найдите наибольшее из значений функции

----9x----- 4x− 6x +9x

и точку $x$ , в которой это значение достигается.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем удобно работать с функцией, в которой x — степень. Было бы приятнее сделать из неё более привычную нам функцию от t, где t уже зависит от x.

Подсказка 2

А что если поделить числитель и знаменатель на 9^x?

Подсказка 3

Теперь мы ищем максимум f(t) = 1/(t² - t + 1). А когда достигается максимум дроби с константным числителем?

Подсказка 4

Найдите минимум t² - t + 1. Не забываем про x ;)

Показать ответ и решение

Разделим числитель и знаменатель на $9x$ :

-------1------- ( 2)2x ( 2)x 3 − 3 + 1

Сделаем замену $( )x t= 23 ,t> 0.$ Тогда получаем, что нужно найти наибольшее значение у следующей функции

-2-1--- t − t+ 1

Наибольшее значение достигается при наименьшем значении знаменателя. Тогда

t2− t+1 → min

( )2 t2− t+1= t− 1 + 3 ≥ 3 2 4 4

Тогда наименьшее значение равно $3 4$ и достигается при $t= 1. 2$ Следовательно наибольшее значение равно $1-= 4 34 3$ и достагается при $1 x =log232$

Ответ:

$min = 4, 3$ при $x= log 1 23 2$

Предыдущая подтема

Следующая подтема