Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.01 Теорема о трех перпендикулярах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#968

Дана пирамида $SABC$ с высотой $SA$ , в основании которой лежит прямоугольный треугольник с прямым углом $A$ . Найдите угол между прямыми $SB$ и $AC$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $SA$ – высота пирамиды, то $SA ⊥ (ABC )$ . Заметим, что $AB$ – проекция наклонной $SB$ на плоскость $ABC$ . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как $SA ⊥ (ABC ),AB ⊥ AC$ ) наклонная $SB$ перпендикулярна $AC$ , то есть угол между ними равен $∘ 90$ .

Ответ: 90

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2273

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S.$ Найдите угол между $AS$ и $BC.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то высота пирамиды $SO$ падает в точку пересечения медиан основания. Пусть $AA1$ — медиана основания. Тогда $AO$ — проекция наклонной $AS$ на плоскость основания.

$PIC$

Так как $AO$ — часть $AA1,$ а $AA1 ⊥ BC,$ поскольку медианы правильного треугольника являются также и высотами, то по теореме о трех перпендикулярах имеем:

SO ⊥ (ABC ), AO ⊥ BC ⇒ AS ⊥ BC

Следовательно, $∠(AS,BC )= 90∘.$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2274

Дана пирамида $SABC$ с высотой $SA.$ Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом $C.$ Найдите угол между ребрами $SC$ и $BC.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $SA$ — высота пирамиды, то $SA ⊥ (ABC ).$ Заметим, что $AC$ — проекция наклонной $SC$ на плоскость $(ABC ).$ Так как $AC ⊥ BC,$ то по теореме о трех перпендикулярах $SC ⊥ BC,$ следовательно, угол между $SC$ и $BC$ равен $∘ 90 .$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#966

Дана пирамида $SABC$ с высотой $SA = 8.$ Известно, что $SK$ равно 10 и перпендикулярно $BC = 5,$ причем $K$ лежит на $BC.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Так как $SA$ — высота пирамиды, то $SA ⊥ (ABC ).$ Заметим, что $AK$ — проекция наклонной $SK$ на плоскость $(ABC ).$ Так как $SK ⊥BC,$ то по теореме о трех перпендикулярах $AK ⊥ BC,$ следовательно,

1 S△ABC = 2AK ⋅BC

$PIC$

Треугольник $SAK$ прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

∘---------- AK = SK2 − SA2 = 6

Тогда искомая площадь треугольника $ABC$ равна

S△ABC = 1 ⋅6⋅5= 15 2

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#967

Дана пирамида $SABC$ с высотой $SA$ . $H$ – такая точка на $AB$ , что $CH ⊥ AB$ . $K$ – такая точка на $SB$ , что $HK ⊥ SB$ , причем $SC = 13$ , $SK = 12$ , $KB = 2$ . Найдите площадь треугольника $SBC$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $SA$ – высота пирамиды, то $SA ⊥ (ABC )$ . Следовательно, $SA$ перпендикулярно любой прямой из $(ABC )$ , значит, $SA ⊥ CH$ . Тогда $CH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SA$ и $AB$ из плоскости $SAB$ , значит, $CH ⊥ (SAB )$ .
Заметим, что тогда $HK$ – проекция наклонной $CK$ на эту плоскость. Значит, по теореме о трех перпендикулярах $CK ⊥ SB$ .
По теореме Пифагора из $△SCK$ :

√ ----2------2 CK = SC − SK = 5.

Следовательно,

S △SBC = 1-CK ⋅ SB = 1-⋅ 5 ⋅ 14 = 35. 2 2

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1875

Прямая $a$ лежит в плоскости $π$ , $AO ⊥ a$ , $AK ⊥ π$ . Точка $K$ лежит в плоскости $π$ , точка $L$ принадлежит прямой $a$ . Найдите $AO$ , если $OK = OL$ , $√ -- KL = 2 2$ , $∠AOK = 60∘$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. $AK$ – перпендикуляр к плоскости $π$ , $a$ – прямая в плоскости $π$ , а $AO$ – наклонная, перпендикулярная к прямой $a$ , то согласно теореме о трех перпендикулярах $KO ⊥ a$ $⇒$ $△OKL$ – равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом $∠KOL$ $⇒$ по теореме Пифагора $2 2 2 2 KL = OK + OL = 2 ⋅ OK$ $⇒$ $OK = 2$ . В прямоугольном треугольнике $△AKO$ : $∘ 1 AO = OK : cos 60 = 2 :2 = 4$ .

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1876

Прямая $a$ лежит в плоскости $π$ , $AO ⊥ a$ , $AK ⊥ π$ . Точка $K$ лежит в плоскости $π$ , точка $L$ принадлежит прямой $a$ . Найдите $AK$ , если $OK = OL$ , $√ -- KL = 6$ , $∠AOK = 60 ∘$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. $AK$ – перпендикуляр к плоскости $π$ , $a$ – прямая в плоскости $π$ , а $AO$ – наклонная, перпендикулярная к прямой $a$ , то согласно теореме о трех перпендикулярах $KO ⊥ a$ $⇒$ $△OKL$ – равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом $∠KOL$ $⇒$ по теореме Пифагора $2 2 2 2 KL = OK + OL = 2 ⋅ OK$ $⇒$ $√ -- OK = 3$ . В прямоугольном треугольнике $△AKO$ : $∘ √ --√ -- AK = OK ⋅ tg60 = 3 ⋅ 3 = 3$ .

Ответ: 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания