№16 из ЕГЭ 2025 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125995

15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|------|-------------|-------------------|--------------|----------------------| Месяц Долг до %, м лн Д олг после %, млн П латеж, млн Долг после платежа, &#x |------|---рублей----|------рублей-------|----рублей-----|--------рублей--------| | | | -1- | 1-- 18 | 71 | | 1 | 18 | 18+ 18⋅100 | 18⋅ 100 + 72 | 72 ⋅18 | --...--------...--------------...---------------...-----------------...----------- | | 60 | 60 60 1 |60 1 18 | 59 | | 13 | 72 ⋅18 | 72 ⋅18+ 72 ⋅18 ⋅100 |72 ⋅18⋅100 + 72| 72 ⋅18 | |------|-------------|-------------------|--------------|----------------------| |-...--|-----...-----|--------...--------|------...------|----------...----------| | | 49 | 49 49 1 |49 1 18 | 48 | | 24 | 72 ⋅18 | 72 ⋅18+ 72 ⋅18 ⋅100 |72 ⋅18⋅100 + 72| 72 ⋅18 | |-...--|-----...-----|--------...--------|------...------|----------...----------| --------------------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2027 год, то есть с 13-го по 24-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма в млн рублей вычисляется как

60 1 18 49 1 18 72-⋅18-⋅100-+-72 +-72-⋅18-⋅100 +-72 Σ = 2 ⋅12 = 4,635.

Ответ: 4,635 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125996

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|-----|--------------|----------------|--------------|---------------------| мecяц долг до %, млн долг после %, млн платеж, млн долг после платежа, мл&#x0 | | | 3 | 3 6 | 23 | | 1 | 6 | 6+ 6 ⋅100- | 6⋅100 + 24 | 24 ⋅6 | |-...-|------...------|------...-------|------...------|---------...---------| |-----|-----13-------|13----13-----3--|13-----3----6-|--------12-----------| | 12 | 24 ⋅6 |24 ⋅6+ 24 ⋅6⋅100|24 ⋅6 ⋅100 + 24| 24 ⋅6 | |-----|--------------|----------------|--------------|---------------------| | ... | ... | ... | ... | ... | |-----|-----1--------|1------1-----3--|-1-----3----6-|---------------------| | 24 | 24 ⋅6 |24 ⋅6+ 24 ⋅6⋅100|24 ⋅6 ⋅100 + 24| 0 | ----------------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2027 год, то есть с 1-го по 12-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма вычисляется как

3 6 13 3 6 6⋅100 + 24 + 24-⋅6⋅100 +24 Σ= ------------2------------⋅12= 4,665.

Ответ: 4,665 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125997

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|-----|--------------|------------------|---------------|--------------------| мecяц долг до %, тыс долг после %, ты с платеж, ты с долг после платеж а, ты &# | | | r | r 18 | 59 | |--1--|------18-------|---18+-18⋅100-----|-18⋅-100-+-60---|-------60-⋅18--------| |-...-|-----...------|-------...--------|------...-------|---------...---------| | | 12 |12 12 r |12 r 18 | 11 | | 49 | 60 ⋅18 |60 ⋅18+ 60 ⋅18 ⋅100 |60 ⋅18⋅100 + 60 | 60 ⋅18 | |-----|--------------|------------------|---------------|--------------------| |-...-|-----...------|-------...--------|------...-------|---------...---------| | | 1 |1 1 r |1 r 18 | | | 60 | 60 ⋅18 |60 ⋅18+ 60 ⋅18 ⋅100 |60 ⋅18⋅100 + 60 | 0 | ------------------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2031 год, то есть с 49-го по 60-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма вычисляется как

(12 r 18) ( 1 r 18) 60 ⋅18 ⋅100-+ 60 + 60 ⋅18⋅100 + 60 Σ = -----------------2------------------⋅12 = 3,951 117⋅r + 3,6= 3,951 100 r = 1,5

Ответ: 1,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125998

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2027 году составила 7830 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|------|--------------|------------------|---------------|---------------------| Мecяц Долг до %, м лн Д олг после %, млн П латеж, млн Долг после платежа, мл |------|---рублей-----|-----рублей-------|----рублей------|-------рублей--------| | | | -r- | r-- 18 | 35 | |--1---|-----18-------|---18+-18⋅100-----|-18⋅-100-+-36---|-------36-⋅18--------| |-...--|-----...------|-------...--------|------...-------|---------...----------| | | 25 |25 25 r |25 r 18 | 24 | | 12 | 36 ⋅18 |36 ⋅18+ 36 ⋅18 ⋅100 |36 ⋅18⋅100 + 36 | 36 ⋅18 | |------|--------------|------------------|---------------|---------------------| |-...--|-----...------|-------...--------|------...-------|---------...----------| | | 1- |1- -1 -r- |1- -r- 18- | | | 36 | 36 ⋅18 |36 ⋅18+ 36 ⋅18 ⋅100 |36 ⋅18⋅100 + 36 | 0 | --------------------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2027 год, то есть с 1-го по 12-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма в млн рублей вычисляется как

-r- 18 25 -r- 18 Σ= 18-⋅100-+-36 +-36-⋅18-⋅100 +-36 ⋅12 = 7,83 2 183-⋅r- 100 + 6= 7,83 r = 1

Ответ: 1

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126000

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга одним платежом;

– 15-го числа каждого месяца (с января 2027 года по март 2028 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15 марта 2028 года долг составит 200 тыс. рублей;

– 15 апреля 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного погашения составит 612 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $A$ тыс. рублей — сумма, взятая в кредит.

Фраза «с января 2027 года по март 2028 года включительно долг должен быть на одну и ту же величину меньше» означает, что в течение 15 месяцев долг уменьшается на $x$ тыс. рублей.

Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая — это $x$ тыс. рублей. Вторая часть состоит из процентов, набежавших на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

|Месяц-|--Д-олг-до---|------Долг после-----|--------Сумма---------|-Долг-после--| | |начисления % | начисления % | платежа | платежа | |--1---|-----A------|------A+-0,02-⋅A------|------0,02-⋅A+-x-------|---A-−-x----| |--2---|---A-−-x----|--A-− x-+0,02⋅(A−-x)-|----0,02⋅(A-−-x)+x-----|---A−-2x----| ---3-------A−-2x------A-− 2x-+0,02⋅(A−-2x)-----0,02⋅(A−-2x)+-x--------A−-3x----- |--...--|-----...-----|----------...---------|----------...----------|-----...-----| |-15---|--A-−-14x---|A-−-14x-+0,02⋅(A−-14x)|---0,02-⋅(A-−-14x)+-x----|A-− 15x-=200| --16------A-−-15x----A-−-15x-+0,02⋅(A−-15x)-0,02⋅(A−-15x)+-A−-15x-------0-------

Так как 15 марта 2028 года, то есть в 15-й месяц, долг составит 200 тыс. рублей, то получаем уравнение:

A − 15x = 200 тыс. рублей.

Отсюда выразим $x :$

x = A−-200- 15

Общая сумма платежей равна:

0,02⋅A + x+ 0,02⋅(A − x)+ x +⋅⋅⋅+ 0,02⋅(A− 14x)+ x+ 0,02⋅(A − 15x)+ A − 15x = = 0,02⋅16A + 15x − 0,02⋅x⋅(1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+ 15)+ A− 15x= ( ) =0,32⋅A − 0,02⋅x⋅ 1+-15-⋅15 + A = 2 = 1,32 ⋅A − 2,4 ⋅x = 612 тыс. рублей

Подставим значение $x$ из первого уравнения:

1,32⋅A − 2,4⋅ A-−-200= 612 15 1,32⋅A− -24 ⋅A+ 480 =612 150 15 1,32⋅A − 0,16⋅A + 32= 612 1,16⋅A = 580 A = 500

Таким образом, кредит планируется взять на сумму 500 000 рублей.

Ответ: 500 000 руб

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126001

В июле 2025 планируется взять кредит в банке сроком на четыре года на сумму 2 млн рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2026 и 2027 годов долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– в январе 2028 и 2029 годов долг возрастает на $2r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите $r,$ если общая переплата по кредиту после полного его погашения составит 650 тыс. рублей.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $S = 2$ млн рублей, $k = -r-. 100$ Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый год выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|-----|------------|---------------|---------------|----------| | Год |наДчиосллегн диоя %| наДчоилсгл пеонсиляе % | В ыплата |До&#лг после |2026-|-----S------|----S+-k⋅S-----|--0,25S-+-k⋅S---|--0,75S----| |2027-|---0,75S----|-0,75S+-k⋅0,75S--|0,25S+-k⋅0,75S--|---0,5S----| |2028-|----0,5S-----|--0,5S+-k⋅0,5S--|0,25S+-2k⋅0,5S--|--0,25S----| |2029-|---0,25S----|0,25S-+-2k⋅0,25S-|0,25S-+-2k-⋅0,25S-|----0-----| --------------------------------------------------------------

Переплата по кредиту складывается из выплаченных процентов. Отсюда получаем уравнение:

k ⋅S + k⋅0,75S +2k ⋅0,5S+ 2k⋅0,25S = 0,65 k ⋅3,25S = 0,65 k =-0,65-= --0,65-= 1- 3,25S 3,25⋅2 10

Отсюда получаем:

r = 100⋅k = 10.

Ответ: 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126005

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:

– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– С 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– К 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2028 году составит 17925 тыс. рублей

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

По условию $r% = 3%.$ Пусть $k = -r-= -3-. 100 100$

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый месяц выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты. При этом каждый месяц долг уменьшается на $-A 24$ млн рублей.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|Месяц-|--Д-олг-до---|-Д-олг-после--|--Вы-плата---|Долг после| |------|начисления-%-|начисления-%-|------------|-вы-платы---| | | | | A | 23A | | 1 | A | A + k⋅A | 24 + k⋅A | 24-- | |------|------------|------------|------------|----------| | 2 | 23A- |23A-+ k⋅ 23A| A-+ k⋅ 23A | 22A-- | |------|-----24------|-24------24-|-24-----24--|---24-----| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | | 12A- |12A- 12A-| A- 12A- | 11A-- | | 13 | 24 | 24 + k⋅ 24 | 24 + k⋅ 24 | 24 | |------|------------|------------|------------|----------| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | 24 | A- | A-+ k⋅ A | -A + k⋅ A | 0 | -------------24---------24-----24----24-----24-------------|

Общая сумма платежей в 2028 году, то есть с 13 по 24 месяц кредита, по условию равна $17925 тыс. руб.=17,925 млн руб.$

Заметим, что платежи за 2028 год образуют арифметическую прогрессию из 12 членов, тогда их сумма равна:

(A 12A) (A A ) Σ = -24 +-k⋅-24-+--24 +-k⋅24-⋅12= A-+ k⋅ 13A-. 2 2 4

Отсюда, подставив $k =-3-, 100$ получаем уравнение:

A-+ -3- ⋅ 13A-=17,925 |⋅400 2 100 4 200A + 39A= 7170 7170 A = -239-= 30

Ответ: 30

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126145

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2031 году составит 1356 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

По условию $r% = 2%.$ Пусть $k = -r-= -2-. 100 100$

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый месяц выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты. При этом каждый месяц долг уменьшается на $-A 60$ млн рублей.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|Месяц-|--Д-олг-до---|-Д-олг-после--|--Вы-плата---|Долг после| |------|начисления-%-|начисления-%-|------------|-вы-платы---| | | | | A | 59A | | 1 | A | A + k⋅A | 60 + k⋅A | 60-- | |------|------------|------------|------------|----------| | 2 | 59A- |59A-+ k⋅ 59A| A-+ k⋅ 59A | 58A-- | |------|-----60------|-60------60-|-60-----60--|---60-----| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | | 12A- |12A- 12A-| A- 12A- | 11A-- | | 49 | 60 | 60 + k⋅ 60 | 60 + k⋅ 60 | 60 | |------|------------|------------|------------|----------| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | 60 | A- | A-+ k⋅ A | -A + k⋅ A | 0 | -------------60---------60-----60----60-----60-------------|

Общая сумма платежей в 2031 году, то есть с 49 по 60 месяцы кредита, по условию равна $1356 тыс. руб.= 1,356 млн руб.$

Заметим, что платежи за 2031 год образуют арифметическую прогрессию из 12 членов, тогда их сумма равна:

(A 12A) (A A ) Σ = -60 +-k⋅-60-+--60 +-k⋅60-⋅12= A-+ k⋅ 13A-. 2 5 10

Отсюда, подставив $k =-2-, 100$ получаем уравнение:

A-+ -2- ⋅ 13A-=1,356|⋅1000 5 100 10 200A + 26A= 1356 1356 A = 226-= 6

Ответ: 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126146

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

По условию $r% = 1%.$ Пусть $k = -r-= -1-. 100 100$

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый месяц выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты. При этом каждый месяц долг уменьшается на $-A 48$ млн рублей.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|Месяц-|--Д-олг-до---|-Д-олг-после--|--Вы-плата---|Долг после| |------|начисления-%-|начисления-%-|------------|-вы-платы---| | | | | A | 47A | | 1 | A | A + k⋅A | 48 + k⋅A | 48-- | |------|------------|------------|------------|----------| | 2 | 47A- |47A-+ k⋅ 47A| A-+ k⋅ 47A | 46A-- | |------|-----48------|-48------48-|-48-----48--|---48-----| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | | 12A- |12A- 12A-| A- 12A- | 11A-- | | 37 | 48 | 48 + k⋅ 48 | 48 + k⋅ 48 | 48 | |------|------------|------------|------------|----------| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | 48 | A- | A-+ k⋅ A | -A + k⋅ A | 0 | -------------48---------48-----48----48-----48-------------|

Общая сумма платежей в 2030 году, то есть с 37 по 48 месяцы кредита, по условию равна $6390 тыс. руб.= 6,39 млн руб.$

Заметим, что платежи за 2030 год образуют арифметическую прогрессию из 12 членов, тогда их сумма равна:

(A 12A) (A A ) Σ = -48 +-k⋅-48-+--48 +-k⋅48-⋅12= A-+ k⋅ 13A-. 2 4 8

Отсюда, подставив $k =-1-, 100$ получаем уравнение:

A-+ -1-⋅ 13A-= 6,39|⋅800 4 100 8 200A + 13A= 5112 5112 A = -213-= 24

Ответ: 24

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126147

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:

– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2027 году составит 2610 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

По условию $r% = 4%.$ Пусть $k = -r-= -4-. 100 100$

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый месяц выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты. При этом каждый месяц долг уменьшается на $-A 24$ млн рублей.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|Месяц-|--Д-олг-до---|-Д-олг-после--|--Вы-плата---|Долг после| |------|начисления-%-|начисления-%-|------------|-вы-платы---| | | | | A | 23A | | 1 | A | A + k⋅A | 24 + k⋅A | 24-- | |------|------------|------------|------------|----------| | 2 | 23A- |23A-+ k⋅ 23A| A-+ k⋅ 23A | 22A-- | |------|-----24------|-24------24-|-24-----24--|---24-----| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | | 13A- |13A- 13A-| A- 13A- | 12A-- | | 12 | 24 | 24 + k⋅ 24 | 24 + k⋅ 24 | 24 | |------|------------|------------|------------|----------| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | 24 | A- | A-+ k⋅ A | -A + k⋅ A | 0 | -------------24---------24-----24----24-----24-------------|

Общая сумма платежей в 2027 году, то есть с 1 по 12 месяцы кредита, по условию равна $2610 тыс. руб.= 2,61 млн руб.$

Заметим, что платежи за 2027 год образуют арифметическую прогрессию из 12 членов, тогда их сумма равна:

(A ) (A 13A) Σ = -24 +-k⋅A-+--24-+k-⋅24--⋅12= A-+ k⋅ 37A-. 2 2 4

Отсюда, подставив $k =-4-, 100$ получаем уравнение:

A-+ -4-⋅ 37A-= 2,61|⋅100 2 100 4 50A + 37A= 261 261 A = -87-= 3

Ответ: 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126148

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 7,5 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен 20%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на одну пятую. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1- n$ часть, то есть на $5- n$ млн рублей.

Составим таблицу (все вычисления ведутся в млн рублей):

|---|--------------------|----------------------|--------------| |Год|-Долг до-начисления %|Долг после начисления %---Выплата----| | | | 1 | 5 1 | |1 | 5 | 5+ 5 ⋅5 | n + 5 ⋅5 | |---|--------------------|----------------------|--------------| |2 | n−-1⋅5 | n-−-1⋅5+ 1 ⋅ n−-1-⋅5 |5-+ 1⋅ n-− 1-⋅5 |---|--------n-----------|---n------5---n-------|n---5---n-----| |...-|---------...---------|---------...----------|-----...------| |n | 5- | 5+ 1 ⋅ 5 | -5+ 1 ⋅ 5 | --------------n------------------n--5--n-----------n---5--n----|

Таким образом, общая сумма выплат составляет

(-5 1 ) (5- 1 n−-1- ) (5- 1 5) n + 5 ⋅5 + n + 5 ⋅ n ⋅5 + ...+ n + 5 ⋅n = ( ) = 1⋅5 ⋅ 1+ n−-1-+...+ 1- + n⋅ 5-= 5 n n n 1 1+-1n- 1 = 5 ⋅5 ⋅ 2 ⋅n+ 5= 2(n+ 1)+ 5

При вычислениях в больших скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен 1, $n$ -ый член равен $1, n$ а количество членов равно $n.$

Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию 7,5 млн рублей, то получаем

1(n+ 1)+ 5= 7,5 2 1 2(n + 1)= 2,5 n+ 1= 5 n =4

Ответ: 4 года

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126149

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2027 году составила 6165 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу (все вычисления ведутся в млн рублей):

|------|---------|-----------------|--------------|-----------------| |Мecяц-|Долг до-%|--Д-олг после %--|---Платеж-----|Долг после платежа | | | r | r 9 | 23 | |--1---|----9----|----9+-9⋅100-----|-9-⋅100-+-24---|------24 ⋅9------| |-...--|---...---|-------...-------|-----...------|-------...--------| | | 13 | 13 13 r |13 r 9 | 12 | | 12 | 24 ⋅9 | 24-⋅9+ 24 ⋅9 ⋅100|24 ⋅9⋅100 + 24| 24 ⋅9 | |------|---------|-----------------|--------------|-----------------| |-...--|---...---|-------...-------|-----...------|-------...--------| | | 1 | 1 1 r |1 r 9 | | | 24 | 24 ⋅9 | 24-⋅9+ 24 ⋅9 ⋅100|24 ⋅9⋅100 + 24| 0 | ---------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2027 год, то есть с 1-го по 12-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма вычисляется как

r 9 13 r 9 9⋅100 +-24-+-24 ⋅9⋅100-+-24 Σ = 2 ⋅12= 6,165 333⋅r -400- + 4,5= 6,165 r = 2

Ответ: 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126150

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2027 году составила 4830 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу (все вычисления ведутся в млн рублей):

|------|---------|-----------------|--------------|-----------------| |Мecяц-|Долг до-%|--Д-олг после %--|---Платеж-----|Долг после платежа | | | r | r 9 | 35 | |--1---|----9----|----9+-9⋅100-----|-9-⋅100-+-36---|------36 ⋅9------| |-...--|---...---|-------...-------|-----...------|-------...--------| | | 25 | 25 25 r |25 r 9 | 24 | | 12 | 36 ⋅9 | 36-⋅9+ 36 ⋅9 ⋅100|36 ⋅9⋅100 + 36| 36 ⋅9 | |------|---------|-----------------|--------------|-----------------| |-...--|---...---|-------...-------|-----...------|-------...--------| | | 1 | 1 1 r |1 r 9 | | | 36 | 36 ⋅9 | 36-⋅9+ 36 ⋅9 ⋅100|36 ⋅9⋅100 + 36| 0 | ---------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2027 год, то есть с 1-го по 12-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма вычисляется как

r 9 25 r 9 9-⋅100-+-36 +-36-⋅9⋅100 +-36 Σ = 2 ⋅12= 4,83 183 ⋅r -200--+ 3= 4,83 r = 2

Ответ: 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126151

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2030 году составила 3195 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу (все вычисления ведутся в млн рублей):

|------|---------|------------------|---------------|------------------| |Мecяц-|Долг до-%|---Д-олг после %--|----платеж-----|Д-олг после платеж-а | | | r | r 12 | 47 | |--1---|---12----|----12+-12⋅100----|--12⋅100-+-48--|------48-⋅12-------| |-...--|---...---|--------...--------|------...------|--------...--------| | | 12 | 12 12 r | 12 r 12 | 11 | | 37 | 48 ⋅12 | 48-⋅12+ 48 ⋅12⋅ 100| 48-⋅12⋅100 + 48| 48 ⋅12 | |------|---------|------------------|---------------|------------------| |-...--|---...---|--------...--------|------...------|--------...--------| | | 1 | 1 1 r | 1 r 12 | | | 48 | 48 ⋅12 | 48-⋅12+ 48 ⋅12⋅ 100| 48-⋅12⋅100 + 48| 0 | ------------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2030 год, то есть с 37-го по 48-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма вычисляется как

(12 r 12) ( 1 r 12) 48 ⋅12 ⋅100-+ 48 + 48 ⋅12⋅100 + 48 Σ = -----------------2------------------⋅12 = 3,195 39-⋅r+ 3= 3,195 200 r = 1

Ответ: 1

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#127064

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|------|-------------|-------------------|--------------|----------------------| Месяц Долг до %, м лн Д олг после %, млн П латеж, млн Долг после платежа, &#x |------|---рублей----|------рублей-------|----рублей-----|--------рублей--------| | | | -2- | 2-- 18 | 35 | | 1 | 18 | 18+ 18⋅100 | 18⋅ 100 + 36 | 36 ⋅18 | --...--------...--------------...---------------...-----------------...----------- | | 25 | 25 25 2 |25 2 18 | 24 | | 12 | 36 ⋅18 | 36 ⋅18+ 36 ⋅18 ⋅100 |36 ⋅18⋅100 + 36| 36 ⋅18 | |------|-------------|-------------------|--------------|----------------------| |-...--|-----...-----|--------...--------|------...------|----------...----------| | | 13 | 13 13 2 |13 2 18 | 12 | | 24 | 36 ⋅18 | 36 ⋅18+ 36 ⋅18 ⋅100 |36 ⋅18⋅100 + 36| 36 ⋅18 | |-...--|-----...-----|--------...--------|------...------|----------...----------| --------------------------------------------------------------------------------

Просуммируем платежи за 2027 год, то есть с 1-го по 12-ый месяцы. Поскольку кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма вычисляется как

2 18 25 2 18 18⋅100-+-36 +-36 ⋅18⋅-100-+-36 Σ = 2 ⋅12 =9,66.

Ответ:

9,66 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#127065

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

По условию $r% = 2%.$ Пусть $k = -r-= -2-. 100 100$

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый месяц выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты. При этом каждый месяц долг уменьшается на $-A 60$ млн рублей.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|Месяц-|--Д-олг-до---|-Д-олг-после--|--Вы-плата---|Долг после| |------|начисления-%-|начисления-%-|------------|-вы-платы---| | | | | A | 59A | | 1 | A | A + k⋅A | 60 + k⋅A | 60-- | |------|------------|------------|------------|----------| | 2 | 59A- |59A-+ k⋅ 59A| A-+ k⋅ 59A | 58A-- | |------|-----60------|-60------60-|-60-----60--|---60-----| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | | 49A- |49A- 49A-| A- 49A- | 48A-- | | 12 | 60 | 60 + k⋅ 60 | 60 + k⋅ 60 | 60 | |------|------------|------------|------------|----------| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | 60 | A- | A-+ k⋅ A | -A + k⋅ A | 0 | -------------60---------60-----60----60-----60-------------|

Общая сумма платежей в 2027 году, то есть с 1 по 12 месяцы кредита, по условию равна $2508 тыс. руб.= 2,508 млн руб.$

Заметим, что платежи за 2027 год образуют арифметическую прогрессию из 12 членов, тогда их сумма равна:

(A ) (A 49A) Σ = -60-+-k⋅A-+--60 +-k⋅-60-⋅12 = A-+k ⋅ 109A-. 2 5 10

Отсюда, подставив $k =-2-, 100$ получаем уравнение:

A-+ -2-⋅ 109A = 2,508|⋅1000 5 100 10 200A +218A = 2508 2508 A = 418-= 6

Ответ:

6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127066

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2027 году составит 8550 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

По условию $r% = 1%.$ Пусть $k = -r-= -1-. 100 100$

Так как в течение всего срока кредита долг уменьшается на одну и ту же сумму, то каждый месяц выплачивается одинаковая часть долга и начисленные проценты. При этом каждый месяц долг уменьшается на $-A 48$ млн рублей.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в млн рублей):

|Месяц-|--Д-олг-до---|-Д-олг-после--|--Вы-плата---|Долг после| |------|начисления-%-|начисления-%-|------------|-вы-платы---| | | | | A | 47A | | 1 | A | A + k⋅A | 48 + k⋅A | 48-- | |------|------------|------------|------------|----------| | 2 | 47A- |47A-+ k⋅ 47A| A-+ k⋅ 47A | 46A-- | |------|-----48------|-48------48-|-48-----48--|---48-----| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | | 37A- |37A- 37A-| A- 37A- | 36A-- | | 12 | 48 | 48 + k⋅ 48 | 48 + k⋅ 48 | 48 | |------|------------|------------|------------|----------| | ... | ... | ... | ... | ... | |------|------------|------------|------------|----------| | 48 | A- | A-+ k⋅ A | -A + k⋅ A | 0 | -------------48---------48-----48----48-----48-------------|

Общая сумма платежей в 2027 году, то есть с 1 по 12 месяцы кредита, по условию равна $8550 тыс. руб.= 8,55 млн руб.$

Заметим, что платежи за 2027 год образуют арифметическую прогрессию из 12 членов, тогда их сумма равна:

(A ) (A 37A) Σ = -48 +-k⋅A-+--48-+k-⋅48--⋅12= A-+ k⋅ 85A-. 2 4 8

Отсюда, подставив $k =-1-, 100$ получаем уравнение:

A-+ -1-⋅ 85A-= 8,55|⋅800 4 100 8 200A + 85A= 6840 6840 A = -285-= 24

Ответ:

24

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#113006

Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство $x$ тысяч единиц продукции на таком заводе равны $Z = 0,5x2+ x +7$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $q$ тысяч рублей за единицу, то прибыль в млн рублей за один год составит $qx − Z.$ Когда завод будет построен, планируется выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $q$ строительство завода окупится не более чем за 4 года?

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как строительство завода должно окупиться не более чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 100 млн рублей. Следовательно,

4(qx− (0,5x2+ x +7))≥ 100 2 . qx− 0,5x − x− 7≥ 25

Цена $q$ принимает такие значения, при которых прибыль (значение выражения $qx− 0,5x2− x − 7$ ) будет наибольшей. Следовательно, наибольшее значение выражения $qx− 0,5x2− x− 7$ должно быть $≥ 25.$

Рассмотрим функцию

2 2 y = qx− 0,5x − x− 7 =− 0,5x + (q− 1)x − 7.

Она является квадратичной, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в своей вершине, то есть в точке

-−(q−-1) x0 = 2 ⋅(− 0,5) = q− 1.

Отсюда получаем:

− 0,5(q− 1)2 +(q− 1)(q− 1)− 7≥ 25 (q− 1)2 ≥64 q ≥ 9.

Следовательно, наименьшее подходящее $q = 9.$

Ответ: 9

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#14097

Зависимость количества $Q$ в шт. при условии $0≤ Q ≤ 15000$ купленного у фирмы товара от цены $P$ в руб. за шт. выражается формулой $Q = 15000 − P.$ Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей при условии $0< t< 10000$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ − 3000Q − 1000000− tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Из условия $Q = 15000− P,$ то есть $P = 15000− Q,$ подставим $P = 15000− Q$ в формулу прибыли фирмы:

P Q − 3000Q − 1000000− tQ = =(15000− Q)Q− 3000Q − 1000000− tQ = = −Q2 + 15000Q − 3000Q − tQ − 1000000 = 2 = −Q + Q⋅(12000 − t)− 1000000

Получили, что функция прибыли — квадратичная функция от $Q.$ Из условия прибыль максимальна. График функции — парабола, ветви которой направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы. Найдем её:

Qверш. = −(12000−-t)= 6000− t − 2 2

Таким образом, прибыль максимальна при

t Q = Qверш. = 6000− 2.

Подставим это значение в формулу для общей суммы налогов:

2 tQ = 6000t− t- 2

Нам нужно найти $t,$ при котором сумма налогов, собранных государством, максимальна, то есть надо найти точку максимума функции $6000t− t2. 2$ Это квадратичная функция, график которой — парабола, её ветви направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы

− 6000 tверш. = 2⋅(− 1) 2

Получили, что максимум суммы налогов достигается при $t =tверш. = 6000,$ что удовлетворяет условию $0< t< 10000.$

Ответ: 6000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#127776

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик пополняет вклад на 3 млн рублей.

Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $S$ млн рублей — первоначальный вклад. Составим таблицу:

|--|--В-клад-до %---|---Вклад после %--| |1-|------S--------|-------1,1S--------| -2-------1,1S--------------1,12S--------- |3-|---1,12S-+-3----|---1,1(1,12S-+3)----| -4--1,1(1,12S+-3)+-3--1,1(1,1(1,12S+-3)+-3)-

Так как банк за четыре года должен начислить на вклад больше 5 млн рублей, то получаем следующее неравенство:

1,1(1,1(1,12S+ 3)+ 3) − S − 6> 5 4 2 1,1S + 1,1 ⋅3+ 1,1 ⋅3− S− 6> 5 11− 3⋅1,12− 3⋅1,1 11 − 3,3⋅2,1 S >-----1,14-− 1---- = (1,12−-1)(1,12+-1) = = 1,1(10-− 3-⋅2,1)=-11⋅3,7- = 0,1⋅2,1 ⋅2,21 2,1⋅2,21 = 11-⋅37-⋅100-= 40700= 83572 21⋅221 4641 4641

Таким образом, получаем, что наименьший первоначальный вклад составляет $S = 9$ млн рублей.

Ответ: 9 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.