№16 из ЕГЭ 2025

Из условия то есть можем подставить в выражение для прибыли фирмы:

Получили, что функция прибыли — квадратичная функция от Из условия прибыль максимальна. График функции — парабола, ветви которой направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы. Найдем её:

Таким образом, прибыль максимальна при

Подставим это значение в выражение для общей суммы налогов:

Нам нужно найти при котором сумма налогов, собранных государством, максимальна, то есть надо найти точку максимума функции Это квадратичная функция, график которой — парабола, её ветви направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы

Получили, что максимум суммы налогов достигается при что удовлетворяет условию

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Доход от продажи товара составляет рублей, а затраты на производство единиц товара составляют рублей. Значит, прибыль фирмы составляет

Из условия То есть можем подставить в выражение для прибыли фирмы:

Получили, что функция прибыли — квадратичная функция от Обозначим данную функцию за

Пусть первоначальная цена равнялась . Известно, что фирма уменьшила цену товара на 20%. Значит, после снижения цена стала равна

После снижения цены прибыль фирмы не изменилась, то есть в точках и значение функции одинаковое.

Функция — это квадратичная функция, график которой — парабола, её ветви направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы. Вершина параболы находится ровно между двумя точками на графике, где функция принимает одинаковые значения. Значит, вершина параболы находится в точке

Посчитаем, на сколько процентов следует увеличить сниженную цену чтобы добиться цены

Таким образом, чтобы добиться наибольшей прибыли, нужно увеличить цену на 12,5%.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть млн рублей, тыс. рублей— выплата в 2029 и 2030 годах. Так как в 2026, 2027 и 2028 годах долг остается равным 9 млн рублей, то в эти годы выплачиваются только начисленные проценты.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

Так как кредит полностью погашен в 2030 году, то сумма долга после выплаты 2030 года равна нулю. Получаем уравнение:

Найдем общую сумму выплат в млн рублей:

Тогда общая сумма выплат равна 19,25 млн рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — исходная сумма вклада.

Из того, что со вклада снимают одну и ту же сумму, а всего было снято 375 000 рублей, следует, что снятая сумма составляла рублей.

Составим таблицу:

Из таблицы следует, что после третьего снятия на вкладе останется

По условию после третьего снятия на вкладе останется 0 рублей. Составим уравнение:

Из полученного уравнения выразим и подставим значение

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — исходная сумма вклада.

Из того, что со вклада снимают одну и ту же сумму, а всего было снято 518 400 рублей, следует, что снимали каждый раз рублей.

Составим таблицу:

Из таблицы следует, что после третьего снятия на вкладе останется

По условию после третьего снятия на вкладе останется 0 рублей. Составим уравнение:

Из полученного уравнения выразим и подставим значение

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за рублей сумму, которую планируется взять в кредит, за рублей — равные платежи в каждом году.

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

Так как общая сумма выплат составила 518400, а кредит выплачивали тремя равными платежами, то каждый платеж составил:

Тогда изначальное уравнение имеет вид:

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — исходная сумма вклада, — сумма, которую снимают со вклада. Составим таблицу:

Из таблицы следует, что после третьего снятия на вкладе останется

По условию после третьего снятия на вкладе останется 0 рублей. Составим уравнение:

Из полученного уравнения выразим и подставим значение

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — исходная сумма вклада, — сумма, которую снимают со вклада. Составим таблицу:

Из таблицы следует, что после третьего снятия на вкладе останется

По условию после третьего снятия на вкладе останется 0 рублей. Составим уравнение:

Из полученного уравнения выразим и подставим значение

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — исходная сумма вклада, рублей — сумма, которую снимали со вклада каждый год.

Составим таблицу:

Из таблицы следует, что после третьего снятия на вкладе останется

По условию после третьего снятия на вкладе останется 0 рублей. Составим уравнение:

Из полученного уравнения выразим и подставим значение

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — исходная сумма на накопительном счете, рублей — сумма, которую снимали с накопительного счета каждый год.

Составим таблицу:

Из таблицы следует, что после третьего снятия на накопительном счете останется

По условию после третьего снятия на накопительном счете останется 0 рублей. Составим уравнение:

Из полученного уравнения выразим и подставим значение

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.