Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Буквенные тригонометрические выражения

Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.11 Буквенные тригонометрические выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1064Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения

6 6 2 2 sin α + cos α +3 sin αcos α,

если $α = 30∘.$

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение, используя сначала формулу суммы кубов $a3 +b3 = (a+ b)(a2− ab+ b2),$ а затем формулу квадрата суммы $a2+ 2ab+ b2 = (a + b)2 :$

(sin2α)3 +(cos2 α)3 +3 sin2αcos2α= (sin2α +cos2α)(sin4 α− sin2αcos2α+ cos4α)+ 3sin2αcos2α = 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 = sin α − sin αcos α+ cosα + 3sin α cos α = sin α+ 2sin α cosα + cos α = (sin α+ cos α) = 1.

Следовательно, при любом $α$ значение выражения равно $1.$

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1536Максимум баллов за задание: 1

Найдите $− |sinx− cosx|,$ если $sinx = 0,18. cosx$

Показать ответ и решение

Так как $sinx = 0,18-, cosx$ то $sinx⋅cosx= 0,18.$
Обозначим $t= −|sinx − cosx|,$ $t≤ 0,$ тогда

2 2 2 2 t = (sinx − cosx) = sin x +cos x− 2⋅sin x⋅cosx= 1− 2⋅sin x⋅cosx,

что при $sin x⋅cosx = 0,18$ равно $1− 2⋅0,18 = 0,64.$ Так как $t2 = 0,64$ и $t≤ 0,$ то $t= −0,8.$

Ответ: -0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1537Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $ctg2α,$ если $− 41 sin2α+ 17cos2α= 16.$

Показать ответ и решение

Используя основное тригонометрическое тождество

2 2 sin α + cos α =1

можем переписать исходное равенство в виде

2 2 2 2 − 41sin α +17cos α= 16(sin α+ cos α).

Значит,

2 2 −57sin α = − cos α.

Тогда с учетом $sin2α ⁄= 0$ имеем:

2 2 −57= − ctg α ⇒ ctg α = 57.

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1538Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $-14cosα−-4sin-α−-7-, − 21cosα + 6sinα + 4$ если $tgα = 7. 2$

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

7 sinα 2 = tg α= cosα ⇒ sinα = 3,5cosα.

Тогда после подстановки в исходное выражение получаем

14cosα−-4⋅3,5cosα−-7-= -14cosα−-14cosα−-7-= −1,75. −21cosα+ 6⋅3,5 cosα + 4 − 21 cosα + 21 cosα + 4

Ответ: -1,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1952Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $sin2α,$ если $cosα = 0,8,$ при $270∘ <α < 360∘.$

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла имеем:

sin 2α = 2⋅sin α⋅cosα.

Так как угол $α$ расположен в четвертой четверти, то его синус отрицателен:

sin α= −∘1-−-cos2α= − ∘1-− 0,82 = ∘ ------- ∘ ---- = − 1− 0,64 = − 0,36= − 0,6.

Тогда искомое выражение равно

2⋅sinα ⋅cosα = 2⋅(−0,6)⋅0,8= −0,96.

Ответ: -0,96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1953Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $tg2α,$ если $cosα= √1--, 10$ $3π < α< 2π. 2$

Показать ответ и решение

Распишем $tg2α$ через аргумент $α:$

sin2α 2 sinαcosα tg2α = cos2α-= 2-cos2α-− 1.

Так как угол $α$ расположен в четвертой четверти, то синус этого угла отрицателен:

∘----------- ∘ -------- ( 1 )2 sin α= − 1− cos2α= − 1 − √10- = ∘ ------ ∘ --- = − 1 − 1-= − -9 = −√3--. 10 10 10

Тогда $tg2α$ равен

( ) 2sin αcosα 2⋅ −√310- ⋅√110 2cos2α−-1 = ---(-1-)2----= 2⋅ √10 − 1 -6 -6 = -−210- = −108-= 6= 3 = 0,75. 10 − 1 −10 8 4

Ответ: 0,75

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1954Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $3ctg2α,$ если $sinα = −√3--, 10$ $π < α < 3π. 2$

Показать ответ и решение

По формуле для котангенса и по формулам косинуса и синуса двойного угла имеем:

cos2α 1 − 2 ⋅sin2α ctg2α= sin2α = 2⋅sinα-⋅cosα-.

Так как угол $α$ расположен в третьей четверти, то косинус этого угла отрицательный:

∘ ------------ ∘ -----2-- ( 3 )2 cosα = − 1− sin α =− 1− − √10- = ∘ ------ ∘ --- = − 1 − 9-= − -1 = −√1--. 10 10 10

После подстановки в исходное выражение получим

( )2 1− 2⋅sin2α 1− 2⋅ − √310 3⋅2-⋅sinα⋅cosα = 3⋅--(---3-)-(--1-)-= 2⋅ − √10 ⋅ − √10- 18 8- ( ) = 3⋅ 1−610 = 3⋅ −610-= 3⋅ − 8 = −4. 10 10 6

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#1955Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $1-− 8-sin√2α⋅cos2α, 3$ если $α = 7,5∘.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим выражение:

1− 8sin2α ⋅cos2α= 1 − 2 ⋅4sin2α⋅cos2α= = 1− 2⋅(2sinα ⋅cosα )2 =1 − 2 sin22α= cos4α.

Подставим в искомое выражение:

1-− 8sin√2α⋅cos2α= cos√4α-= 3 3 cos(4⋅7,5∘) cos30∘ = ---√3----= -√3---= √- 23- 1 = √3 = 2 = 0,5.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#1956Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $1-+2-sinα-⋅cosα-− cos4α, cosα ⋅(1 +4 sinα ⋅cosα)$ если $sinα = 0,13.$

Показать ответ и решение

1+-2sinα-⋅cosα-−-cos4α- 1+-sin-2α−-(1−-2sin22α) cosα⋅(1+ 4sinα ⋅cosα ) = cosα⋅(1+ 2sin2α) = 1+-sin2α-− 1-+2-sin22α -sin2α+-2sin22α-- = cosα ⋅(1 +2 sin2α) = cosα ⋅(1 +2 sin2α) = sin2α ⋅(1 +2 sin2α) sin2α 2sinα ⋅cosα = cosα⋅(1+-2sin-2α) =-cosα- = ---cosα----= 2sinα= 2 ⋅0,13= 0,26.

Ответ: 0,26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#1957Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $1-− cos2α, 1 +cos2α$ если $tgα= 5.$

Показать ответ и решение

По формулам косинуса двойного угла имеем:

1 − cos2α 1− (1− 2sin2α) 1-+cos2α = 1+-(2cos2α-−-1)-= = 2sin2α = sin2α-= tg2 α= 52 = 25. 2cos2α cos2α

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#2167Максимум баллов за задание: 1

Преобразуйте выражение

-sin3x+-sin5x-+sin7x cos3x+ cos5x + cos7x

и найдите его значение при $π- x= 5 .$

Показать ответ и решение

Применим формулу суммы синусов для $sin3x+ sin 7x$ и формулу суммы косинусов для $cos3x +cos7x:$

2sin5x-cos2x+-sin-5x- sin5x(2cos2x-+-1)- 2cos5x cos2x+ cos5x = cos5x(2cos2x + 1) = tg 5x,

т.к. $2cos2x+ 1⁄= 0$ при $π x = 5.$

Таким образом, при $π- x= 5$ значение данного выражения равно

( ) tg 5⋅ π = tgπ = 0. 5

Ответ: 0

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2690Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $( ) sin 1001π-+ α , 2$ если $√- sinα = 3-7, 8$ $α ∈ (0,5π;π).$

Показать ответ и решение

Используя формулы приведения, получаем

( 1001π ) ( π ) sin --2--+ α =sin 500π+ 2-+ α = (π ) = sin 2-+α = cosα.

Далее используем основное тригонометрическое тождество

sin2α +cos2α= 1.

Тогда имеем:

cos2α = 1- ⇔ cosα= ±0,125. 64

С учётом условия $α ∈(0,5π;π)$ из двух возможных значений остаётся только $cosα = −0,125,$ так как во второй четверти косинус неположителен.

Ответ: -0,125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#15800Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $tgα,$ если $√5- cosα= − 5 ,$ $(π- ) α∈ 2;π .$

Показать ответ и решение

По условию угол $α$ лежит во второй четверти, значит, $sinα ≥ 0.$ По основному тригонометрическому тождеству имеем

sin2α = 1− cos2α.

Найдем $sinα$ с учетом четверти:

∘ -------- ∘----5- 2√5- sinα = 1− cos2α = 1 − 25-= -5--.

Окончательно получаем

√- sin-α 255- -2- tgα = cosα = − √5 = −1 = −2. 5

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#16704Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $3 cos(π− β)+ sin(π2 +β ) ------cos(β+-3π)----- .$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

3cos(π− β)+ sin(π + β) − 3cosβ+ cosβ − 2cosβ -----cos(β-+3π)-2----= --cos(β+-π)--= -−-cosβ-= 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#16705Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(3π ) 26cos 2 + α ,$ если $12 cosα= 13$ и $(3π ) α∈ 2 ;2π .$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

(3π ) (π ) 26cos -2 + α =− 26cos 2 + α = 26sinα.

Так как $sinα= − √1−-cos2α$ на указанном промежутке, то

26sinα = −26∘1-−-cos2α-= −26⋅-5 = −10. 13

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#16706Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(3π ) 5sin(α − 7π)− 11cos 2 + α ,$ если $sin α= −0,25.$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( 3π ) (π ) 5 sin(α − 7π)− 11 cos 2-+ α = 5sin(α+ π)+ 11cos 2-+ α = = −5sinα− 11sin α= − 16 sinα = 4.

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#18119Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $cosα,$ если $√-- tgα= − -91- 3$ и $α∈ (π;π) . 2$

Показать ответ и решение

По формуле тангенса и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

√91 tg α= − -3-; √ -- sinα = −--91; cosα 3 sin2α = 91; cos2α 9 9sin2α = 91 cos2α; 9− 9cos2α= 91cos2α; 2 100cos α =9; cos2α = -9-. 100

Поскольку $( ) α ∈ π;π , 2$ то $cosα< 0$ и при извлечении корня получим $cosα = −0,3.$

Ответ: -0,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#22837Максимум баллов за задание: 1

Найдите $28cos2α,$ если $cosα= − 0,7.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

2 2 2 28 cos2α = 28(cosα − sin α)= 28(2cos α − 1) =

=28(0,98 − 1) =− 0,56.

Ответ: -0,56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#37904Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $46cos2α,$ если $cosα = 0,1.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

46⋅(2 cos2α − 1)= 46(2⋅0,01− 1)= = 46⋅(0,02− 1)= 0,92− 46= − 45,08.

Ответ: -45,08

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#45218Максимум баллов за задание: 1

Найдите $tgα,$ если $sinα = −√5--, 26$ $( ) α∈ π; 3π . 2$

Показать ответ и решение

Найдем $cosα$ по основному тригонометрическому тождеству, учитывая, что он отрицательный, так как $α$ лежит в третьей четверти:

∘ -----2-- ∘ ---25- 1 cosα = − 1− sin α = − 1− 26 = − √26.

Тогда имеем:

sinα- −-√526 tgα= cosα = − √126 = 5.

Ответ: 5