Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.10 Числовые тригонометрические выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#657Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ ∘ tg15-−-ctg15 . ctg30∘$

Показать ответ и решение

tg-15∘-− ctg15∘ -sicons1515∘∘-− cosisn1515∘∘ (---sin215∘--- ---cos2-15∘---) sin30∘- ctg 30∘ = cos30∘∘ = cos15∘⋅sin15∘ − sin 15∘⋅cos15∘ ⋅cos30∘ = sin215∘− cos215∘ 2⋅scinos3105∘⋅sin 15∘ −(cos215∘ − sin215∘)⋅2 −2⋅cos30∘ = -cos15∘-⋅sin15∘-⋅ ----cos30∘-----= -------cos30∘------- = --cos30∘--= − 2.

Ответ: -2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#806Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $( ) 8 sin π-cos-π − 1 . 12 12$

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла имеем:

sin 2α = 2sin αcosα, sinα cosα = 1 sin2α. 2

Тогда для исходного выражения получим

( 1 π ) ( 1 π ) 8 2 sin2⋅12 − 1 = 8 2 sin 6 − 1 = ( ) = 8 1⋅ 1 − 1 = − 6. 2 2

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#863Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $---(-353π2)----25π. sin −-4- ⋅cos 4--$

Показать ответ и решение

Так как синус — нечетная функция, то

( 35π ) 35π sin(−α )= − sin α ⇒ sin −-4- = − sin -4-.

Воспользуемся разложениями

35π 36π-−-π- π- 4 = 4 = 9π − 4, 25π = 24π-+-π= 6π + π. 4 4 4

Тогда по формулам приведения получим

35π ( π) π sin-4- = sin 9π − 4-= sin 4, 25π ( π) π cos-4- = cos 6π + 4-= cos4-.

Значит, исходное выражение равно

----32----= -√-32√--= − 64. − sin π-cos π −--2⋅--2 4 4 2 2

Ответ: -64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#864Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√48-− √192-sin2 19π. 12$

Показать ответ и решение

Заметим, что $192 = 48 ⋅4,$ следовательно, $√ --- √-- 192 = 2 48.$ Кроме того, по формуле косинуса двойного угла

cos2x= 1− 2sin2x.

Тогда исходное выражение примет вид

√ --( 2 19π-) √ -- 19π- 48 1− 2sin 12 = 48⋅cos 6 .

Далее, по формулам приведения имеем:

cos 19π-= √48 cos(3π + π)= √48-⋅(− cos π-)= 6 6 6

√- √- = −√48-⋅-3-= −4√3 ⋅-3-= −6. 2 2

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1032Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $sin15∘⋅sin75∘.$

Показать ответ и решение

По формулам приведения и по формуле синуса двойного угла имеем:

sin15∘⋅sin 75∘ = sin15∘⋅sin(90∘ − 15∘)= = sin15∘⋅cos15∘ = 2sin15∘⋅cos15∘= 1 2 = sin30∘-= 2= 1= 0,25. 2 2 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1089Максимум баллов за задание: 1

Найдите значения выражения $sin-π ⋅cos π-⋅cos 2π. 18 9 9$

Показать ответ и решение

Домножим и разделим выражение на $cos π-⁄= 0: 18$

π- π- 2π 2π 1 π- π- 2π cos18 ⋅sin-18 ⋅cos9-⋅cos-9 2-⋅sin-9 ⋅cos9-⋅cos-9 cos π = cos π = 18 18 1 sin 2π-⋅cos 2π 1⋅sin 4π = 4----9-π---9- = -8---π9--. cos18 cos 18

Заметим, что

4π = 8π= 9π − π-= π− -π, 9 18 18 18 2 18

следовательно,

4π (π- π-) -π sin 9 = sin 2 − 18 =cos18.

Следовательно, значение выражения равно

1 ⋅cos π- 8----π18= 1 = 0,125. cos18 8

Ответ: 0,125

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1527Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(sin45∘− cos45∘)3+ sin1 ⋅(sin 45∘ − cos45∘).$

Показать ответ и решение

Так как $sin45∘ = cos45∘,$ то исходное выражение равно $03 +sin 1⋅0= 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#1528Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения
$cos32016∘+sin2016∘ − cos2016∘− sin32016∘ +sin22016∘⋅cos2016∘ − sin2016∘ ⋅cos22016∘ − 0,8.$

Показать ответ и решение

Обозначим $2016∘ =a :$
$cos3a+ sin a− cosa − sin3a+ sin2a⋅cosa− sina ⋅cos2a− 0,8 =$
$= cos3a+ sin2a ⋅cosa − cosa+ sin a− sin3a− sina ⋅cos2a− 0,8=$
$2 2 2 2 = cosa(cosa +sin a)− cosa+ sin a− sina(sin a+ cos a)− 0,8=$
$= cosa − cosa+ sin a− sina− 0,8= −0,8.$

Ответ: -0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#1530Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $3-cos239∘−-1,5. cos78∘$

Показать ответ и решение

Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

3cos239∘ − 1,5 1,5⋅(2cos239∘− 1) 1,5⋅cos78∘ ---cos78∘---= -----cos78∘-----= --cos78∘- = 1,5.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#1531Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $(√-) cos2-(3√−)0,5. cos 2 3$

Показать ответ и решение

Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

cos2(√3)− 0,5 0,5 ⋅(2cos2(√3)− 1) 0,5⋅cos(2√3-) --cos(2√3)-- = -----cos(2√3)-----= -cos(2√3)--.

Так как $cos(2√3)⁄= 0,$ то можно на него сократить:

0,5 ⋅cos(2√3) -----(√--)--= 0,5. cos2 3

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#1871Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $-----20π-15----43π-. sin(− -3-)⋅cos(−-6-)$

Показать ответ и решение

Используя формулы приведения, а также четность косинуса и нечетность синуса, исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

----------15----------- − sin(6π+ 2π3 )⋅cos(7π + π6) = = ----(2π)15----(π-) = − sin 3 ⋅(− cos 6 ) -√--15-√-- = −-23⋅(− -32 ) =20.

Ответ: 20

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#1944Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $13tg358∘⋅ctg1082∘.$

Показать ответ и решение

Воспользуемся периодичностью тангенса и котангенса и нечетностью тангенса:

13tg358∘⋅ctg1082∘ = ∘ ∘ ∘ ∘ = 13tg(360 − 2 )⋅ctg (1080 + 2 )= = 13 tg (− 2∘)⋅ctg(3⋅360∘ +2∘)= ∘ ∘ = 13(− tg2 )⋅ctg2 =− 13.

Ответ: -13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#1946Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ -- 8 ⋅(cos15∘+ sin15∘). 3$

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат выражение, находящееся в скобках:

(cos15∘+ sin15∘)2 = cos215∘+ 2⋅cos15∘ ⋅sin15∘+ sin215∘ = 1+ sin30∘ = 1 + 1= 3. 2 2

$⇒$ $∘ ∘ ∘ 3- cos15 + sin15 = 2$ $⇒$

∘ 8- ∘ ∘ ∘-8 ∘ 3- ∘8-⋅3 √ - 3 ⋅(cos15 + sin15 )= 3 ⋅ 2 = 3-⋅2 = 4= 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#1947Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $√ - (2sin30∘− 3sin60∘⋅ctg45∘ ⋅tg30∘)⋅(sin90∘+ cos30∘).$

Показать ответ и решение

√- (2sin30∘− 3 sin60∘⋅ctg 45∘ ⋅tg30∘)⋅(sin90∘+ cos30∘)= ( 1 √- √3 1 ) ( √3-) ( √3-) ( √3) = 2⋅2 − 3⋅-2-⋅1 ⋅√3- ⋅ 1+ -2- = 1− -2- ⋅ 1+ -2- = ( ( √- )2) ( ) = 12 − -3- = 1− 3 = 1 =0,25. 2 4 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#1948Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $1-− 2-cos273∘. 2 sin273∘− 1$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

1− 2cos273∘ sin273∘+ cos2 73∘− 2cos273∘ 2sin2-73∘-− 1-= 2sin273∘-− sin2-73∘-− cos273∘ = 2 ∘ 2 ∘ = sin273-−-cos-73-= 1. sin 73∘− cos273∘

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#1949Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $sin232∘-+sin26∘. 5cos232∘$

Показать ответ и решение

По формулам приведения и по формуле косинуса двойного угла имеем:

sin232∘+ sin26∘ sin232∘+ sin(90∘ − 64∘) ---5cos232∘----= ------5cos232∘------= 2 ∘ ∘ 2 ∘ 2 ∘ = sin-32-+2cos∘64-= sin-32-+-1−2-2s∘in-32--= 5cos 32 5cos 32 = 1-− sin2-32∘ =-cos232∘-= 1 =0,2. 5cos232∘ 5cos2 32∘ 5

Ответ: 0,2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#1950Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $------sin2 π5 ⋅cos2 π5---. 1 − cos4 2π5 − cos2 2π5-⋅sin2 2π5$

Показать ответ и решение

------sin2 π5 ⋅cos2 π5--- -----14 ⋅4⋅sin2 π5 ⋅cos2 π5- 1 − cos4 2π5 − cos2 2π5-⋅sin2 2π5 = 1− cos2 2π5-⋅(cos2 2π5 + sin2 2π5 ) = 1⋅(2sin π⋅cos π)2 1⋅sin2 2π- sin2 2π- 1 = 4-1−-cos52 2π-⋅15-= 14−-cos25 2π= 4sin25 2π-= 4 = 0,25. 5 5 5

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#2180Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $cos-π ⋅cos 2π-⋅cos 4π⋅cos 8π. 17 17 17 17$

Показать ответ и решение

Домножим и разделим исходное выражение на $sin-π ⁄= 0: 17$

π- π- 2π 4π 8π sin-17 ⋅cos17 ⋅cos17-⋅cos17-⋅cos-17 sin-π . 17

Так как

nπ nπ 1 nπ nπ 1 2nπ sin 17-⋅cos-17-= 2 ⋅2⋅sin 17 ⋅cos17-= 2 ⋅sin-17-,

то исходное выражение равно

2π 2π 4π 8π 4π 4π 8π 1 sin17-⋅cos-17 ⋅cos17-⋅cos17 1 sin-17 ⋅cos17-⋅cos17 2 ⋅ sin π- = 4 ⋅ sin π = 17 ( 1)7 sin 8π ⋅cos 8π sin 16π sin π− -π sin-π 1 ⋅--17--π--17-= 1-⋅---17π- = 1-⋅------π17--= 1-⋅ --17π-= 1-. 8 sin 17 16 sin17 16 sin 17- 16 sin17 16

Ответ: 0,0625

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#16702Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ ∘ 7tg13 ⋅tg77 .$

Показать ответ и решение

По формулам приведения и по свойству тангенса и котангенса имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 7tg13 ⋅tg77 = 7tg13 ⋅tg(90 − 13 )= 7tg13 ⋅ctg13 = 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#16707Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения $∘ ∘ 12sin 150 ⋅cos120.$

Показать ответ и решение

Пользуясь табличными значениями синуса и косинуса, имеем:

∘ ∘ 1 −1 12sin150 ⋅cos120 = 12⋅2 ⋅ 2-= − 3.

Ответ: -3