ОММО 2015

Разберём два возможных случая:

• Если A сказал правду, что В — рыцарь, то слова В о том, что А — не рыцарь, должны быть верны. В этом случае А сказал правду и А — не рыцарь, так что условие задачи выполняется.
• Если А солгал, что В — рыцарь, то и А не может быть рыцарем (потому что рыцарь не мог солгать). Так что В сказал правду. При этом В не является рыцарем, потому что А солгал. Под условие задачи подходит человек В.

Итак, в обоих случаях получаем требуемое.

Рассмотрим два возможных случая:

• А сказал правду, то есть В выше С.

  Если В сказал правду, то оба они выше А. Тогда А — лжец. Противоречие с тем, что мы рассматриваем случай, когда А сказал правду.

  Если же В солгал, то он обычный человек среднего ранга (не ниже всех), отсюда С — лжец и А — рыцарь. Тогда С скажет, что В выше А, то есть соврёт.

• А солгал, то есть на самом деле С выше В.

  Если В сказал правду, то он обычный человек среднего ранга, а С — рыцарь. То есть А — лжец, что соответствует словам В. Отсюда С скажет, что В выше А.

  Если же В солгал, то А выше С, а также С выше В. Отсюда А — рыцарь. Противоречие с тем, что мы рассматриваем случай, когда А солгал.

Итак, С скажет, что В выше А.

После замены получаем уравнение Исследуем множество значений . Возьмём производную

На области определения получаем при , , при Тогда функция имеет единственный минимум в точке а при и она стремится к . Тогда ясно, что при решений нет. В случае же за счёт выбора можно подобрать соответствующие для два решения, при ровно одно.

В итоге подходит только .

Первое решение.

Воспользуемся тождеством

Тогда по условию нам надо посчитать

где

По условию так что для любого выполнено Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме количество слагаемых . Если нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если чётно, то паре не найдётся слагаемому , но оно равно нулю.

В итоге для любого так что ответ

Второе решение.

Заметим, что

Если нечетно, разобьем все слагаемые, кроме , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму , а . Если же четно, то без пары остаются и , и . И в том, и в другом случае полная сумма равна

Складывая и вычитая два уравнения системы, получаем, что исходная система эквивалентна следующей:

Откуда получаем 4 возможных случая

Решая каждую из этих систем, находим 4 ответа: .

Пусть это прогрессия в которой всего членов. Из первого условия

Запишем второе условие

Из полученных равенств имеем

Пусть высота и радиус исходного конуса равны и , а высота и радиус цилиндра равны и . Воспользуемся формулой для объема усеченного конуса: . Также мы знаем, что . Поделив соответствующие части равенств получаем

Решая квадратное уравнение, получаем корни и геометрический смысл имеет только положительный. , откуда получаем для исходного конуса:

Переформулируем условие: говорить правду, но не являться рыцарем, а также врать, но не являться лжецом, может только обычный человек. Получается, надо доказать, что среди жителей есть хотя бы один обычный человек. От противного: пусть на острове нет обычных людей. Переберем возможные случаи:

В первом А — лжец. Тогда А соврал о том, что В — рыцарь и В на самом деле лжец. Но тогда В сказал правду !?

Во втором А — рыцарь. Тогда А сказал правду и В действительно рыцарь. Но В сказал, что А — лжец !?

Итого, А может быть только обычным человеком. Следовательно, получили противоречие с предположением.

Рассмотрим случаи:

В первом А — рыцарь. Тогда В и С действительно однотипны. Если В и С — рыцари, то С ответит “Да”, как и в случае, если В и С — лжецы.

Во втором А — лжец. Тогда В и С не однотипные. Если В — лжец, а С — рыцарь, то С ответит “Да”, как и в случае, если В — рыцарь, а С — лжец.

Итого, в любом случае С ответит “Да”.

Пусть - точка пересечения диагоналей и . Из подобия треугольников и следует, что , а . Обозначим вектор через , а вектор через . Тогда, из условия следует, что и

Откуда

где предпоследнее равенство следует из того, что треугольник - прямоугольный.

Так как не делится на 10, то последняя цифры — не Пусть где — цифры.

Из условия следует уравнение

Первое решение.

Так как оканчивается на 0, а сами эти цифры нулю равняться не могут, то Тогда оканчивается на 10, поэтому Получаем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Запишем слагаемые левой части по определению десятичной записи

Приводим подобные слагаемые

Так как делится на то на тоже делится. Тогда и

Заметим, что тогда и, так как и — взаимно простые, то делится на 10. Но и — цифры, и их сумма не больше , и при этом больше так как по условию Единственное кратное число в этом промежутке — поэтому

Пусть Вернемся к нашему равенству, и подставим в него и

Сокращаем на 10

Справа число, делящееся на Так как то Так как то

Так как, и — цифры, то их сумма хотя бы и не больше а единственное число с остатком при делении на в этом промежутке — это Тогда

Теперь найдем

При победе первой команды ставку возвращают в шестикратном размере, поэтому на неё необходимо поставить более всех денег. Аналогично, на вторую команду необходимо поставить более всех денег, на третью более , на четвертую более . Так как

то существует набор чисел, в сумме дающих единицу, таких, что каждое больше соответствующей дроби. Любой такой набор подходит.