Тема №16. Окружности

05 Хорды, касательные, секущие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26587

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $56∘.$ Найдите угол $ABO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Отметим точку пересечения касательных $D.$ Так как $DA$ и $DB$ — касательные к одной окружности, то $DA =DB$ ит треугольник $DAB$ — равнобедренный. Отсюда

1 ∘ 1 ∘ ∘ 124∘ ∘ ∠DBA = 2(180 − ∠ADB )= 2(180 − 56 )= 2 =62 .

Так как $DB$ — касательная, а $OB$ — радиус, то $∠DBO = 90∘.$ Тогда

∠ABO =90∘− ∠DBA = 90∘− 62∘ = 28∘.

Ответ: 28

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#26591

Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P,$ $BP = 12,$ $CP = 6,$ $DP =13.$ Найдите $AP.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $P$ — точка пересечения двух хорд, то

PB ⋅PD 13 ⋅12 P D ⋅P B = PC ⋅PA ⇔ PA = --PC---= --6--= 26

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26592

Через точку $A,$ лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке $K.$ Другая прямая пересекает окружность в точках $B$ и $C,$ причём $AB = 4,$ $BC = 12.$ Найдите $AK.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Для начала заметим, что так как из точки $A$ проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в двух точках, а другая — касается окружности, то

√ ------- ∘ -------------- ∘ --------- √-- AB ⋅AC = AK2 ⇒ AK = AB ⋅AC = AB ⋅(AB +BC )= 4⋅(4+ 12) = 64= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#28207

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $82∘$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть касательные пересекаются в точке $C$ . $OA$ и $OB$ радиусы, проведенные к касательным $AC$ и $BC$ соответственно, значит, $∠OAC = ∠OBC = 90∘$ . Тогда по сумме углов в четырехугольнике $OABC$ :

∠AOB = 360∘ − (∠OAC + ∠OBC + ∠ACB ) = 360∘ − (90∘ + 90∘ + 82∘) = 98∘

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AOB$ . Он равнобедренный, так как $OA = OB$ , значит, $∠BAO = ∠ABO$ . Тогда по сумме углов треугольника $AOB$

∘ ∘ ∘ ∘ 82∘ ∘ ∠BAO + ∠ABO = 2∠ABO = 180 − ∠AOB = 180 − 98 = 82 ⇒ ∠ABO = 2 = 41

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42855

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $88∘.$ Найдите угол $ABO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть касательные в точках $A$ и $B$ пересекаютя в точке $K.$ Так как радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной, то

∠KAO = ∠KBO = 90∘

$PIC$

По условию $∘ ∠AKB = 88 .$ Рассмотрим четырехугольник $AKOB.$ Так как сумма углов четырехугольника равна $∘ 360 ,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = 360 − ∠AKB − ∠KBO − ∠KAO = 360 − 88 − 90 − 90 = 92

В треугольнике $AOB$ $AO = OB$ как радиусы, значит, треугольник $AOB$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABO = ∠BAO

По теореме о сумме углов треугольника

∠AOB + ∠ABO + ∠BAO = 180∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 2∠ABO = 180 − ∠AOB = 180 − 92 = 88 ∠ABO = 88∘ =44∘ 2

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42877

Через точку $A,$ лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке $K.$ Другая прямая пересекает окружность в точках $B$ и $C,$ причем $AB = 4,$ $AC = 64.$ Найдите $AK.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме о касательной и секущей $AK2 = AB ⋅AC,$ значит,

√ ------- √---- √--- AK = AB ⋅AC = 4 ⋅64 = 256= 16.

Ответ: 16

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#43608

Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P,$ $BP = 9,$ $CP = 15,$ $DP =20.$ Найдите $AP.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ADP$ и $BCP.$ $∠AP D = ∠BP C$ как вертикальные, $∠BDA = ∠ACB$ как вписанные, опирающиеся на дугу $AB.$ Значит, $∠P DA = ∠P CB.$ Тогда $△ ADP ∼ △BCP$ по двум углам.

Запишем коэффициент подобия:

AD- = AP-= DP- ⇒ AP ⋅CP = DP ⋅BP BC BP CP

Найдём $AP :$

AP = DP-⋅BP-= 20-⋅9= 12 CP 15

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47086

На окружности отмечены точки $A$ и $B$ так, что меньшая дуга $AB$ равна $92∘.$ Прямая $BC$ касается окружности в точке $B$ так, что угол $ABC$ острый. Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, поэтому

1 ⌣ 1 ∘ ∘ ∠ABC = 2AB = 2 ⋅92 = 46

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#47769

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K, BK = 18, DK = 9, BC = 16.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству вписанного четырёхугольника

∘ ∘ ∠ABC + ∠ADC = 180 ⇒ ∠ABC = 180 − ∠ADC

Так как сумма смежных углов равна $180∘,$ то

∠ADK = 180∘ − ∠ADC = ∠ABC

Рассмотрим треугольники $KDA$ и $KBC.$ $∠K$ — общий, $∠ADK = ∠KBC.$ Тогда $△ KDA ∼ △KBC$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

DK-- AD- DK-⋅BC-- 9⋅16 BK = BC ⇒ AD = BK = 18 =8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#57324

В угол $C$ величиной $84∘$ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B,$ точка $O$ — центр окружности. Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то

∠OAC = 90∘, ∠OBC = 90∘.

В четырёхугольнике сумма углов равна $360∘,$ значит,

∠AOB = 360∘− ∠OAC − ∠OBC − ∠ACB = 360∘− 90∘ − 90∘− 84∘ = 96∘

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#99073

На окружности отмечены точки $A$ и $B$ так, что меньшая дуга $AB$ равна $68∘.$ Прямая $BC$ касается окружности в точке $B$ так, что угол $ABC$ острый. Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$ACB$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. Заметим, что тогда по этой теореме

1 ⌣ 1 ∘ ∘ ∠ABC = 2AB = 2 ⋅68 =34 .

Ответ: 34