Тема НадЭн - задания по годам

НадЭн 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121573

Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения

∘---------∘------ 2 1+ 1 +8x2− 6x 1− x2 = 10x

Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.1(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?

Подсказка 2

По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.

Подсказка 3

Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сразу отметим, что $|x|≤1.$ Преобразуем подкоренное выражение:

2 ∘ ----- 2 ∘----- 2 (∘ ----- )2 1+ 8x − 6x 1− x2 =1 − x − 6x 1− x2+ 9x = 1− x2− 3x

Тогда изначальное уравнение приводится к виду:

| ∘ ----| 1+ ||3x− 1− x2||= 10x2

Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 ≥ 0

∘ ----- 3x ≥ 1− x2

{ x ≥0 9x2 ≥ 1− x2

{ x≥ 0 10x2 ≥1

1 x ≥√10-

Изначальное уравнение имеет вид:

∘ ----- 1 +3x− 1− x2 = 10x2

2 ∘ ---2- 2 1− x − 1− x +3x− 9x = 0

Пусть $√1−-x2 = t≥0,$ то

t2− t+ 3x− 9x2 =0

По формуле корней квадратного уравнения

∘ ------------- ∘ ------- t= 1±---1− 4-⋅(3x−-9x2)= 1-±-(6x-− 1)2= 1±-(6x−-1) 2 2 2

Если $t= 1+6x−1= 3x, 2$ то

2 2 1− x = 9x

x = √1- 10

Если $t= 1−6x2+1= 1− 3x,$ то

∘ ---2- 1− x =1 − 3x

{ x ≤1∕3 1− x2 = 1− 6x +9x2

( ||{ x⌊ ≤1∕3 x =0 ||( ⌈ x = 3 5

С учётом $x≥ √1-, 10$ корнем является только $x= √1-. 10$

Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 < 0

∘ ----- 3x < 1− x2

[ 1 ) x∈ −1;√10

Изначальное уравнение приобретает вид:

1 − 3x+ ∘1-− x2 = 10x2

∘ ----- 1− x2+ 1− x2 − 3x− 9x2 = 0

Пусть так же $√ ----- 1− x2 = t≥ 0.$ Тогда

−1 ±∘1-−-4⋅(−-3x-− 12x2) −1± ∘(6x+-1)2 −1± (6x+ 1) t= ----------2--------- = ------2------= ----2-----

Если $−1+6x+1 t= --2---= 3x,$ то

∘ ----- 1− x2 = 3x

{ x ≥02 2 1 − x = 9x

-1- x = √10

Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.

Если $−1− 6x−1 t= --2----=− 1− 3x,$ то

∘ ----2 1− x = −1− 3x

{ x ≤−1∕3 1− x2 = 1+ 6x +9x2

{ x≤ −1∕3 10x2 =− 6x

( ||{ x⌊≤ −1∕3 | ⌈ x= 0 |( x= − 3 5

Подходит по условию только $x= − 3. 5$

Таким образом, корни уравнения $3 x= − 5$ и $-1- √10.$ Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это $x =− 3, 5$ а минимальный по модулю – это $x= √1-. 10$

Ответ:

Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: $x= − 3; 5$ минимальный по модулю: $x = √1-. 10$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#121575

Экран, защищающий от сканирования мыслей, отражает $40%$ падающего на него излучения, $21%$ пропускает, а остальное поглощает. Все коэффициенты (проценты) не зависят от угла падения лучей и от того, с какой стороны они падают на экран. Какой процент сканирующих лучей не будет пропущен, если поставить последовательно два таких экрана?

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.2(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будет полезно принять падающий на систему из двух экранов поток за единицу. Подумайте, какую систему уравнений можно составить?

Подсказка 2

Попробуйте с учётом всех отражений рассмотреть по отдельности: часть потока между экранами; часть, отраженная от второго экрана; и часть, которая пройдет через второй экран.

Показать ответ и решение

Примем падающий на систему из двух экранов поток за единицу.

Обозначим (с учетом всех отражений) за $x$ часть потока, которая идет между экранами от первого ко второму, за $y$ — часть потока, которая отразится от второго экрана внутрь двойной системы, а через $v$ — часть, прошедшую через оба экрана. Тогда

( |{ x =0,21+ 0,4y |( y =0,4x v =0,21x

Из первых двух уравнений легко ищется $x= 0,25.$ Следовательно, $v = 0,0525.$ Тогда не будет пропущено $1− v = 1− 0,0525= 0,9475= 94,75%$ лучей.

Ответ:

$94,75%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#121576

Две хорды в круге взаимно перпендикулярны и точкой пересечения одна делится на отрезки $1$ см и $4$ см, а другая делится на отрезки $2$ см и $3$ см. Найдите площадь этого круга.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.3(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Скорее всего, вы знаете свойство длин отрезков, на которые делятся пересекающиеся хорды в окружности. Верно ли оно в данной задаче?

Показать ответ и решение

По свойству длин отрезков, на которые делятся пересекающиеся хорды, должно выполняться

1⋅4= 2⋅3

Но это равенство неверно. Значит, такого круга не существует.

Ответ:

Такого круга не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#121577

На полосе из $2025$ клеток стоит топотун, который может перемещаться на одну или две клетки. Ему необходимо пройти сначала в один конец полосы, затем в другой и вернуться в начальное положение, причем на каждом из трех этапов двигаться можно только в сторону своей цели. Общее количество различных последовательностей ходов, которыми топотун может осуществить желаемое, искать не требуется. Необходимо выяснить, при каком начальном положении общее количество таких вариантов будет наибольшим.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.4(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посчитаем количество способов попасть на конкретную клетку с номером k. Назовем это число Nₖ. Как его как можно проще выразить или посчитать?

Подсказка 2

Nₖ = Nₖ₋₁ + Nₖ₋₂. Теперь мы можем предположить, что изначально мы стояли на клетке с номером k, и явно записать через N количество вариантов для нашего пути.

Подсказка 3

Если всё будет посчитано правильно, то необходимо будет найти максимум у выражения Nₖ*N₂₀₂₅₋ₖ₊₁. Но сравнивать между собой такие числа сразу при всех k неудобно, значит, надо с чем-то одним. Можно выдвинуть гипотезу об ответе, какую?

Подсказка 4

Можно сравнить указанное выше число с N₂₀₂₅. Выдвигаем гипотезу о конце полосы!

Подсказка 5

Доказать неравенство можно как комбинаторно, так и по индукции, используя равенство, которое мы получили для Nₖ.

Показать ответ и решение

Пусть $N k$ — количество способов попасть на $k−$ ю по счету клетку. Туда топотун может попасть двумя способами: с клетки $k− 1$ либо $k− 2.$ Поэтому

Nk = Nk−1+ Nk−2

Если задать клетке, на которой стоит топотун, номер 1, то $N =1, 2$ $N =2. 3$

Таким образом, количество ходов задается хорошо известной последовательностью чисел Фибоначчи (начиная со второго).

Если топотун начинает с клетки с номером $k,$ то количество способов дойти до клетки с номером $L= 2025$ равно $N . L−k+1$ Количество способов дойти от клетки с номером $L= 2025$ до первой клетки (пройти всю полосу) составляет $NL,$ а количество способов вернуться с клетки номер один на клетку с номером $k$ равно $Nk.$ Общее количество вариантов есть $NL−k+1⋅NL ⋅Nk.$ Если же движение начинается из конца полосы, то общее количество вариантов есть $NL ⋅NL.$

Таким образом, необходимо найти максимум по параметру $k$ выражения

Nk⋅NL−k+1

(для $L = 2025$ ) и сравнить его с $N . L$

Если провести расчеты при небольших значениях $L,$ то можно выдвинуть гипотезу, что

Nk⋅NL−k+1 < NL

1 вариант. Рассмотрим выражения $N ⋅N k L−k+1$ и $N L$ как количество способов передвинуться по полосе. Первое из них соответствует количеству способов переместиться на $L −$ ю клетку вправо, но с обязательным посещением

клетки с номером $k.$ Второе $(N ) L$ есть общее количество способов переместиться на такое же количество клеток, которое включает в себя как варианты с посещением клетки с номером $k,$ так и варианты с перепрыгиванием этой клетки.

Следовательно, $NL > Nk ⋅NL −k+1.$

2 вариант. Перепишем доказываемую формулу в виде

Nk ⋅Nm <Nk+m −1

и докажем ее индукцией по $k$ при фиксированном $m.$

Базу проверим для $k =2.$ $N2 ⋅Nm =1⋅Nm < N2+m− 1.$

Теперь рассмотрим значение параметра $k+ 1$ в предположении, что для всех предыдущих значений $k$ неравенство верно.

N(k+1)+m−1 = Nk+m−1 +Nk+m −2 > Nk⋅Nm + Nk−1⋅Nm =(Nk +Nk−1)Nm = Nk+1⋅Nm

Таким образом, максимальное количество вариантов будет при начале движения из любого конца полосы.

Ответ:

При начале движения из любого конца полосы

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#121578

Верно ли, что число

2026 2024 − 2024⋅2026+ 2025

делится на $20232?$

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.5(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы что-то понять про делимость, бывает полезно разложить число на произведение каких-то множителей.

Подсказка 2

Чтобы было удобнее раскладывать, можно попробовать заменить какое-то число на переменную x.

Подсказка 3

Для удобства заменим 2024, чтобы было проще работать со степенью. Осталось проверить делимость на (x - 1)².

Показать ответ и решение

Заметим, что

2026 2026 2024 − 2024⋅2026+2025= 2024 − 1− 2023⋅2026

Пусть $x= 2024.$ Тогда выражение примет вид

x2026 − 1− 2026(x− 1)=(x− 1)(x2025+ x2024+...+x +1)− 2026(x− 1)=

= (x − 1)(x2025 − 1+ x2024− 1+ ...+x − 1)

Нам необходимо проверить делимость на $20232 = (x− 1)2.$

Одна из скобок уже равна $(x − 1),$ осталось проверить делимость второй на $(x − 1).$ А это верно, так как каждая из разностей вида $(xk− 1)$ делится на $(x− 1),$ а, значит, и сумма тоже делится.

Ответ:

Верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#128545

∘----------(--3∘-------)----∘3--------- 1− x2+ 38x3− 1− x2 12 1− x2− 1 +6x 1+ x4− 2x2 = 2x

Источники: Надежда энергетики - 2025, 10.2 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Для начала отдельно поработаем с подкоренным выражением:

3 2( ∘3----2 ) 3∘ ----4---2 8x − 1− x 12 1− x − 1 +6x 1+ x − 2x =

∘3----- ∘3------- ( ) =8x3− 12x2 1− x2+ 6x (1− x2)2− 1− x2 =

( 3∘-----)3 = 2x− 1 − x2

Таким образом исходное уравнение принимает следующий вид:

∘----- 1− x2+ 2x− 31− x2 = 2x

Введём замену $3√----2 t= 1 − x ,$ тогда

t3− t= 0

Его решениями являются $t= 1,t= −1$ и $t= 0.$

Сделаем обратную замену для каждого из случаев:

$√3----2 1− x =1$
$1− x2 = 1⇒ x= 0$
$√ ----- 31− x2 =− 1$
$1− x2 =− 1⇒ x= ±√2$
$√ ----- 31− x2 =0$
$2 1− x = 0⇒ x= ±1$

Таким образом мы выяснили, что уравнение имеет положительные корни, максимальные по модулю корни — это $√- x = ± 2,$ минимальным по модулю является $x= 0.$

Ответ:

Положительные корни есть; максимальный по модулю $± √2,$ минимальный по модулю $0.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#128549

Верно ли, что выражение

2025 x − 2025x+ 2024

делится на $(x− 1)2$ при любом натуральном $x >1?$

Источники: Надежда энергетики - 2025, 10.3 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу разности $n− ны х$ степеней:

n n n−1 n−2 n−2 n−1 a − b = (a − b)(a + a b+ ...+ab + b )

Преобразуем исходное выражение с помощью группировки и применения этой формулы:

2025 2025 x − 2025x+2024= x − 1− 2025(x − 1)=

= (x− 1)(x2024+x2023 +...+x +1)− 2025(x− 1)=

= (x− 1)(x2024− 1+x2023− 1+ ...+x− 1)

Один множитель вида $(x − 1)$ явно выделен. Осталось подметить, что каждая из разностей вида $xk− 1$ делится на $(x− 1)$ при любом натуральном значении $k$ .

Ответ:

Да, верно

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания