Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

10 Задания 2024-25 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональные этапы всош прошлых лет

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126644

4.1. КПВ и миграция

В стране 1 могут производиться два товара — $X$ и $Y$ . Есть две технологии производства товара $X$ — старая и новая. При производстве по старой технологии одна единица труда производит одну единицу товара $X$ . При производстве по новой технологии одна единица труда производит две единицы товара $X$ , однако произвести по новой технологии можно не более 200 единиц товара $X$ , так как количество станков, нужных для производства по этой технологии, в стране ограничено. Для товара $Y$ ситуация абсолютно такая же: есть такие же технологии с таким же ограничением для новой технологии. В стране 1 есть 150 единиц труда. Страна 2 ничем не отличается от страны 1, кроме того, что в ней есть не 150, а только 50 единиц труда.

В пунктах a)–в) укажите на графиках координаты крайних точек и точек излома КПВ.

(6 баллов) Постройте КПВ страны 1 и КПВ страны 2.
(6 баллов) Постройте общую КПВ двух стран, если миграция труда между странами невозможна.
(5 баллов) Постройте общую КПВ двух стран, если возможна свободная миграция труда между странами.
(3 балла) Если товары $X$ и $Y$ потребляются только в пропорции $k$ единиц товара $Y$ на 1 единицу товара $X$ , то при каких значениях $k > 0$ суммарное потребление товаров в странах увеличится в пункте в) по сравнению с пунктом б)?

Показать ответ и решение

a)

Начнем со Страны 1. Если произвести 200 единиц товара $Y$ по новой технологии, на это уйдет $200∕2 = 100$ единиц труда, оставшиеся $150 − 100 = 50$ единиц труда произведут 50 единиц товара $Y$ по старой технологии. Значит максимальное количество товара $Y$ , которое можно произвести в стране 1, равно 250. Получаем крайнюю точку $(0,250)$ .

Теперь начнем производить товар $X$ . Чтобы произвести единицу $X$ с минимальными альтернативными издержками, нужно начать производить товар X по новой технологии, а уменьшать производство товара $Y$ по старой, менее эффективной технологии. Альтернативные издержки будут равны $1∕2$ . Так будет продолжаться до тех пор, пока либо не будет закрыто все производство Y по старой технологии, либо мы не столкнемся с ограничением $X ≤ 200$ по новой технологии. Первое настанет раньше, так как всего 50 единиц Y производились по старой технологии, и когда они будут исчерпаны, мы произведем $50∕(1∕2) = 100$ единиц $X$ , что меньше 200. Получаем ключевую точку $(100,250 − 50) = (100,200)$ .

После прохождения этой ключевой точки, производя X, мы будем отказываться от производства $Y$ по новой технологии, и альтернативные издержки будут равны 1. Это будет продолжаться до достижения ограничения $X ≤ 200$ . Для увеличения X со 100 до 200, придется отказаться от 100 единиц Y. Получаем ключевую точку $(200,200− 100) = (200,100)$ .

На последнем участке нам придется производить X по старой технологии, и отказываться от производства Y по новой технологии. Альтернативные издержки равны 2. Всего так можно произвести 50 единиц $X$ , получаем последнюю точку $(250,0)$ . Ее также можно получить, пользуясь соображениями симметрии.

Страна 2: Поскольку в стране 2 всего 50 единиц труда, которые по новой технологии могут произвести $100 < 200$ единиц любого товара, в стране товары будут производиться только по новой технологии. Поэтому альтернативные издержки всегда равны 1. КПВ есть линейная функция $Y = 100− X$ . Обе КПВ изображены на Рис. 1.1.

$PIC$

Рис. 1: КПВ каждой страны

б)

Сложить две КПВ можно стандартным образом. Заметим, что альтернативная стоимость производства каждого товара в Стране 2 постоянна и равна 1 единице другого товара - так же, как на среднем участке КПВ Страны 1. Следовательно, при добавлении КПВ Страны 2 к КПВ Страны 1 у последней как бы «удлинится» этот участок - две страны вместе смогут произвести на нем 200 единиц любого из товаров с альтернативной стоимостью 1. Суммарная КПВ изображена на Рис. 1.2 слева.

в)

В стране 2 из-за небольшого населения возможности производства по новой технологии недоиспользуются, и мы можем это исправить, направив в страну 2 труд из страны 1. По сути дела мы получаем одну большую страну, в которой $150 +50 = 200$ единиц труда, причем по новой технологии можно произвести не более $200 + 200 = 400$ единиц каждого товара. 200 единиц труда как раз и могут произвести максимально 400 единиц, так что весь труд можно задействовать в производстве по новой технологии. Альтернативные издержки равны 1, и общая КПВ есть линейная функция $Y = 400 − X$ . Суммарная КПВ изображена на Рис. 1.2 справа.

г)

КПВ из пункта в) совпадает с КПВ из пункта б) на среднем участке и лежит выше нее на крайних участках. Потребление увеличится, если объемы производства лежат на крайних участках КПВ. Решая графически, получаем $k < 1∕3$ или $k > 3$ , то есть $k ∈ (0;1∕3)∪ (3;+ ∞ )$ .

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126645

4.2. Два налога - два мультипликатора

Рассмотрим закрытую экономику со следующей функцией потребления домохозяйств: $C (Yd) = Ca + mpc ⋅Yd$ , где $Ca > 0$ - автономное потребление, $Yd$ - располагаемый доход, а предельная склонность к потреблению удовлетворяет условию $0 < mpc < 1$ . Обозначим за $G$ постоянные государственные закупки, за $I$ - постоянные инвестиции. Государственный бюджет может быть несбалансированным.

a)

(8 баллов) Предположим, что в экономике действует пропорциональный подоходный налог со ставкой $t$ , где $0 < t < 1$ . Определите равновесный уровень выпуска (ВВП) и выведите формулу мультипликатора государственных закупок для него.

b)

(10 баллов) Теперь рассмотрим другую ситуацию: подоходный налог отменен, но вместо него введен пропорциональный налог на потребление с той же ставкой $t$ . Механизм следующий:

В начале каждого периода домохозяйства получают весь свой текущий доход.
Они немедленно уплачивают налог в размере доли $t$ от того объема потребления, который наблюдался в предыдущем периоде.
После уплаты налога они планируют текущее потребление по заданной функции $C (Yd)$ .

Назовем равновесными те значения ВВП и потребления, которые, установившись один раз, не меняются из периода в период. Найдите равновесный ВВП и мультипликатор госзакупок для него.

c)

(2 балла) Сравните найденные мультипликаторы государственных закупок для случаев а) и б). В каком из них мультипликатор будет больше?

Показать ответ и решение

Решение задачи

a)

Пусть введен пропорциональный подоходный налог со ставкой $t$ , $0 < t < 1$ . В этом случае налог равен $tY$ . Таким образом, располагаемый доход есть

Yd = Y − tY = (1− t)Y.

Значит, потребление имеет вид

C = C + mpc ⋅(1− t)Y. a

Запишем условие равновесия:

Y = C + I + G = [Ca + mpc(1− t)Y]+ I + G.

Отсюда найдем равновесный ВВП:

Ca + I + G Y = 1−-mpc(1−-t).

Мультипликатор госзакупок - это изменение $Y$ при изменении $G$ на единицу. Найти его можно двумя способами.

Способ 1 (через формулу равновесного ВВП). Мультипликатор есть коэффициент линейной функции $Y (G)$ , найденной нами выше.

multG = ------1------. 1 − mpc(1− t)

Способ 2 (через сумму прогрессии). Единица госзакупок сначала вызовет рост ВВП на единицу, что увеличит доходы домохозяйств, а значит, их потребление на $(1− t)mpc$ . Этот рост потребления далее увеличит доходы домохозяйств на $(1 − t)mpc$ , а значит, их потребление на $2 ((1 − t)mpc)$ , и т.д. Итоговый рост ВВП составит

1 Δ (Y) = 1 + (1 − t)mpc + ((1 − t)mpc )2 +...= 1-−-mpc(1−-t),

где мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, $multG = Δ (Y )∕Δ (G) = Δ(Y)∕1 = 1∕(1 − mpc(1− t))$ .

б)

В равновесии предполагается, что уровни потребления и ВВП не меняются со временем, значит потребление текущего периода равно потреблению предыдущего, и налог можно записать как $T = tC$ .

Тогда располагаемый доход в равновесии:

Yd = Y − tC.

Функция потребления в равновесии:

C = Ca + mpc (Yd) = Ca + mpc(Y − tC ).

Решим это уравнение относительно $C$ :

Ca-+-mpc-⋅Y C = 1 +mpc ⋅t .

Подставим это выражение в уравнение $Y = C + I + G$ :

Y = Ca +-mpc-⋅Y-+ I + G. 1+ mpc ⋅t

Отсюда выражаем $Y$ :

Ca-+-(I-+-G)(1+-mpc-⋅t)- Y = 1− mpc(1− t) .

Мультипликатор госзакупок есть коэффициент новой линейной функции $Y (G)$ :

multG = --1+-mpc-⋅t--. 1 − mpc(1− t)

в)

Сравним мультипликаторы. Знаменатель у них одинаковый и положительный: $(1 − mpc (1− t))$ . Числитель у первого мультипликатора равен 1, а у второго $(1+ mpc ⋅t)$ . Поскольку $mpc > 0$ и $t > 0$ , выполнено $(1+ mpc ⋅t) > 1$ . Следовательно, мультипликатор госзакупок при налоге на потребление больше, чем при налоге на доход.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126646

4.3. Между «Ох» и «Ух»

Ох-Банк и Ух-Банк - активные игроки на рынке вкладов в стране. В настоящий момент эти банки принимают вклады по следующим ставкам:

Срок вклада	Полгода	Год	Два года
Ставка в Ох-банке на весь период вклада, % годовых	24	18	12
Ставка в Ух-банке на весь период вклада, % годовых	22	15	11

Капитализация процентов отсутствует.
Иннокентий Осторожный хотел бы разместить на банковском вкладе (вкладах) свои долгосрочные сбережения в размере 2 млн рублей. Цель Иннокентия - максимизация общей суммы денег через 2 года в ситуации, когда ни один из банков не банкротится. При этом Иннокентий рассматривает только такие варианты вложений, при которых он не потеряет ни тело вклада, ни проценты, если какой-либо из банков все же обанкротится в конце второго года. Напоминаем, что в каждом банке системой страхования вкладов застраховано максимум 1,4 млн руб (включая накопленные проценты).

Иннокентий может в любой момент времени иметь максимум по одному вкладу в каждом из банков. Иннокентий также убеждён, что уже через полгода процентные ставки упадут и будут держаться на уровне $10%$ годовых. Через полгода можно будет вложить деньги в любой из банков под $10%$ годовых на полтора года. Через год можно будет вложить деньги в любой из банков под $10%$ годовых сроком на год.

Как Иннокентию следует поступить со своими деньгами, исходя из своей цели, ожиданий и ограничений? Укажите, куда, какую сумму (суммы) и на какой срок (сроки) ему следует вложить. Округлите свой ответ до целых рублей.

Показать ответ и решение

Решение задачи 4.3

После истечения вклада сроком полгода или год Иннокентий вложит деньги на оставшийся срок под $10%$ годовых. В Ух-банке все предлагаемые в начале ставки ниже, чем в Ох-банке, поэтому первый вклад следует делать в Ох-банк, а дальше можно вкладывать в любой банк, главное, чтобы общая сумма с учетом накопленных процентов в каждом банке была не более 1,4 млн руб. Рассчитаем коэффициент роста суммы денег за 2 года при разных сроках первого вклада в Ох-банк:

Срок	Полгода	Год	Два года
Коэфф. роста	$(1+ 0,24 ⋅0,5)⋅(1+ 0,1⋅1,5) = 1,288$	$1,18⋅1,1 = 1,298$	$1 + 0,12⋅2 = 1,24$

Иннокентию стоит вкладывать все средства в Ох-банк сроком на год, так как это дает наибольшую итоговую доходность из трех вариантов ( $29,8%$ за два года). Теперь поймем, как нужно распределить средства между банками через год, чтобы не потерять средства при банкротстве какого-либо из банков.

Через год у Иннокентия будет $2⋅1,18 = 2,36$ млн руб. Допустим, $x$ млн руб. из них он вкладывает в Ох-банк на оставшийся год. Тогда он получит $1,1x$ , что должно быть не более 1,4 млн руб. Значит, $1,1x < 1,4$ , $x < 1,4∕1,1 ≈ 1,272727$ млн руб. То же неравенство должно быть верно и для суммы, вложенной в Ух-банк, $2,36− x < 1,272727$ , а значит, $x > 1,087273$ млн руб. Поскольку $1,087273 < 1,272727$ , отрезок допустимых значений $x$ не пуст, можно вложить в Ох-банк любую сумму на отрезке [1087273; 1272727] руб., например $2,36∕2 = 1,18$ млн руб.

Ответ: Иннокентию следует вложить 2 млн руб. в Ох-банк сроком на год, а затем вложить $x$ млн руб. в Ох-банк и $(2,36− x)$ млн руб. в Ух-банк, где $x ∈ [1,087273;1,272727]$ .

Ответ: