Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Разные методы. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126987Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

2 y = (a− 2)x + 6x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Если $a= 2,$ то получаем уравнение $y = (2 − 2)x2+ 6x= 6x,$ которое при любом $y$ имеет решение $x = y. 6$

Если $a ⁄= 2,$ то функция $y = (a− 2)x2 +6x$ задает параболу, вершина которой имеет абсциссу

−6 3 x0 = 2-⋅(a-− 2) =− a−-2

Найдем ординату вершины параболы:

( 3 ) ( 3 )2 ( 3 ) y0 = y −a−-2 = (a− 2)⋅ −a-−-2 + 6⋅ − a−-2 = = 9(a-− 2)-−-18-= 9-− 18 = −-9- (a− 2)2 a− 2 a− 2 a − 2

При $a> 2$ ветви параболы направлены вверх и функция $y = (a − 2)x2+ 6x$ принимает значения от $--9- y0 = −a − 2$ включительно до $+ ∞.$ Значит, при этих $y$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

При $a< 2$ ветви параболы направлены вниз и функция $2 y = (a− 2)x + 6x$ принимает значения от $9 y0 = −a-− 2$ включительно до $− ∞.$ Значит, при этих $y$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

Если $a> 2,$ то при $[ ) y ∈ − -9--;+∞ a− 2$

Если $a = 2,$ то при $y ∈ (− ∞;+ ∞ )$

Если $a < 2,$ то при $( ] y ∈ −∞; − -9-- a− 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#126988Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

2 y =ax − 2x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Если $a= 0,$ то получаем уравнение $y = 0⋅x2− 2x= −2x,$ которое при любом $y$ имеет решение $x= − y. 2$

Выделим в правой части уравнения полный квадрат:

2 ( 2 1 (1 )2 (1 )2) ( 1)2 1 ax − 2x =a x − 2⋅x⋅ a + a − a =a x− a − a

При $a> 0$ с учетом неотрицательности квадрата имеем:

( )2 y =ax2− 2x =a x− 1 − 1 ≥− 1 a a a

Значит, при этих значениях $y$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

При $a< 0$ с учетом неотрицательности квадрата имеем:

( )2 y =ax2− 2x =a x− 1 − 1 ≤− 1 a a a

Значит, при этих значениях $y$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

Если $a> 0,$ то при $[ ) y ∈ − 1;+∞ a$

Если $a = 0,$ то при $y ∈ (− ∞;+ ∞ )$

Если $a < 0,$ то при $( ] y ∈ −∞; − 1 a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126989Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

√ ----- √----- y = x+ a+ x − a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ { x+ a≥ 0 ⇔ x≥ −a x− a≥ 0 x≥ a

Рассмотрим различные случаи взаимного расположения $− a$ и $a:$

1.

Если $a <0,$ то $a< − a,$ следовательно, итоговая ОДЗ: $x≥ − a.$

Заметим, что на ОДЗ слагаемые $√----- x +a$ и $√----- x− a$ строго возрастают, следовательно, и их сумма строго возрастает. Таким образом, $√ ----- √----- y(x)= x+ a+ x − a$ является строго возрастающей функцией, определенной при $x≥ −a.$

Тогда в точке $x= −a$ она принимает наименьшее значение:

√------ √------ √ ---- y(−a)= − a+ a+ − a− a= −2a.

Нарисуем эскиз графика функции:

$√--- xy0−a− 2a$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $√ ---- y ≥ −2a.$

2.

Если $a >0,$ то $a> − a,$ следовательно, итоговая ОДЗ: $x≥ a.$

Так же, как в предыдущем случае, $√ ----- √ ----- y(x) = x+ a+ x− a$ является строго возрастающей функцией, но определенной при $x ≥ a.$

Тогда в точке $x= a$ она принимает наименьшее значение:

√ ----- √----- √-- y(a)= a+ a+ a − a= 2a.

Нарисуем эскиз графика функции:

$√-- xy0a2a$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $√ -- y ≥ 2a.$

3.

Если $a =0,$ то $a= − a= 0,$ следовательно, итоговая ОДЗ: $x ≥ 0.$

В данном случае $√ - √ - √- y(x) = x+ x= 2 x.$ Данная функция является строго возрастающей, определенной при $x ≥ 0.$

Тогда в точке $x= 0$ она принимает наименьшее значение:

√ - y(0) =2 0= 0.

Нарисуем эскиз графика функции:

$xy0$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $y ≥0.$

Ответ:

Если $a> 0,$ то при $[√-- ) y ∈ 2a;+∞$

Если $a = 0,$ то при $y ∈ [0;+∞ )$

Если $a < 0,$ то при $[√---- ) y ∈ −2a;+∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126993Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

√ ----- √----- y = x+ a− x − a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, когда $----- ----- √ x+ a+ √x − a= 0.$

Учитывая, что корень — неотрицательная функция, имеем, что равенство возможно лишь в одном случае:

{x + a= 0 {x = −a {a= 0 x− a= 0 ⇒ x= a ⇒ x= 0

Если $a = 0,$ то искомая функция имеет вид $y = 0$ при ОДЗ: $x≥ 0.$ Отсюда только в случае $y = 0$ имеем решения $x≥ 0.$

Рассмотрим случай, когда $√----- √----- x + a+ x− a ⁄= 0.$

Тогда преобразуем исходную функцию следующим образом:

y = √x-+-a− √x-−-a= (√----- √----)(√ ----- √----) = --x-+-a−-√x-− a-√-x+-a+--x-− a-= x+ a+ x− a (x +a)− (x− a) 2a = √x-+-a+-√x-−-a = √x+-a+-√x-−-a-

Заметим, что в знаменателе находится сумма строго возрастающих неограниченных функций, поэтому исходная функция на бесконечности стремится к нулю. Найдём ОДЗ исходного уравнения:

{ { x+ a≥ 0 ⇒ x≥ −a x− a≥ 0 x≥ a

Рассмотрим случай $a> 0.$ Тогда $a >− a$ и исходная функция является строго убывающей на ОДЗ: $x≥ a.$
Наибольшее значение функция принимает в точке $x = a:$
$√ ----- √----- √-- y(a)= a+ a− a − a= 2a.$
Эскиз графика выглядит следующим образом:

$xy0a√2a$

Тогда из эскиза видно, что уравнение имеет хотя бы одно решение, если $0< y ≤ √2a.$
Рассмотрим случай $a< 0.$ Тогда $− a> a$ и исходная функция является строго возрастающей на ОДЗ: $x≥ −a.$
Наименьшее значение функция принимает в точке $x= −a :$
$y(−a)= √ −a+-a-− √ −a−-a-=− √−-2a.$
Эскиз графика выглядит следующим образом:

$√--- xy0−−a− 2a$

Тогда из эскиза видно, что уравнение имеет хотя бы одно решение, если $√---- − − 2a≤ y < 0.$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ {0}$

Если $a > 0,$ то при $( √ --] y ∈ 0; 2a$

Если $a < 0,$ то при $[ √---- ) y ∈ − − 2a;0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#126994Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

∘ -2---2 ∘ -2---2 y = x + a − x − a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, если $√------ √------ x2+ a2+ x2 − a2 =0.$
Тогда имеем:
${ { x2 +a2 = 0 ⇒ x =0 x2 − a2 = 0 a= 0$
Если $a =0,$ то $√ -- √ -- y = x2− x2 = |x|− |x|= 0.$ Отсюда только в случае $y = 0$ имеем хотя бы одно решение.
Рассмотрим случай, если $√------ √------ x2+ a2+ x2 − a2 ⁄=0.$
Тогда преобразуем исходное уравнение:

$∘ ------ ∘ ------ y = x2+ a2− x2− a2 = (√x2+-a2− √x2-− a2)(√x2-+-a2-+√x2-−-a2) = ----------√-2---2--√--2---2----------= x +a + x + a = (√x2+-a2)−-(x√2−-a2)= √-----2a2√------- x2+ a2+ x2− a2 x2+ a2+ x2− a2$

Заметим, что функция стремится к нулю на бесконечности. Найдем ОДЗ исходного уравнения:

${ 2 2 x2+ a2≥ 0 ⇒ (x− a)(x+ a)≥ 0 x − a ≥ 0$
- Рассмотрим случай $a> 0.$
  Тогда ОДЗ уравнения примет вид: $x ∈(−∞; −a]∪ [a;+∞ ).$ Тогда для исходного уравнения с учетом ограничений получим:
  - если $x> a > 0,$ то знаменатель возрастает и дробь убывает;
  - если $x< − a< 0,$ то знаменатель убывает и дробь возрастает.
  Найдем значения функции в точках $x= a$ и $x = −a:$
  
  $∘ ------ ∘------ √ - y(a)= y(−a)= a2+ a2− a2 − a2 =a 2$
  
  Нарисуем эскиз графика функции:
  
  $√- xy0−aa a2$
  
  Тогда из эскиза видно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $( √-] y ∈ 0;a 2 .$
- Рассмотрим случай $a< 0.$
  Тогда ОДЗ уравнения примет вид: $x ∈ (− ∞;a]∪ [−a;+∞ ).$ Тогда для исходного уравнения с учетом ограничений получим:
  - если $x> − a> 0,$ то знаменатель возрастает и дробь убывает;
  - если $x< a < 0,$ то знаменатель убывает и дробь возрастает.
  Найдем значения функции в точках $x= a$ и $x = −a:$
  
  $∘ ------ ∘ ------ √ - y(a)= y(− a) = a2+ a2− a2− a2 = −a 2$
  
  Нарисуем эскиз графика функции:
  
  $√ - xy0a−− aa 2$
  
  Тогда из эскиза видно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $( √ -] y ∈ 0;−a 2 .$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ {0}$

Если $a > 0,$ то при $( √ -] y ∈ 0;a 2$

Если $a < 0,$ то при $( √-] y ∈ 0;− a 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#126995Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

∘ -2---2 ∘ -2---2 y = x + a + x − a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ уравнения:

{ 2 2 x2+ a2≥ 0 ⇒ (x− a)(x+ a)≥ 0 x − a ≥ 0

Рассмотрим случай $a= 0.$
Тогда $y = √x2-+ √x2 = 2 |x|.$ Отсюда получаем, что решение есть при $y ≥ 0.$
Рассмотрим случай $a> 0.$
Тогда ОДЗ уравнения примет вид: $x∈ (− ∞;− a]∪[a;+ ∞).$ Рассмотрим исходное уравнение с учетом ограничений:
- если $x > a> 0,$ то функция $y(x) =√x2-+-a2+ √x2−-a2$ возрастает;
- если $x <− a< 0,$ то функция $y(x) =√x2-+-a2+ √x2−-a2$ убывает.
Найдем значения функции в точках $x= a$ и $x = −a:$

$∘ -2---2 ∘-2---2 √ - y(a)= y(−a)= a + a + a − a =a 2$

Нарисуем эскиз графика функции:

$√- xy0−aa a2$

Тогда из эскиза видно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если $y ∈ [a√2;+∞ ).$
Рассмотрим случай $a< 0.$
Тогда ОДЗ уравнения примет вид: $x∈ (− ∞;a]∪ [− a;∞ ).$ Рассмотрим исходное уравнение с учетом ограничений:
- если $x >− a> 0,$ то функция $y(x) =√x2-+-a2+ √x2−-a2$ возрастает;
- если $x< a< 0,$ то функция $y(x)= √x2-+a2-+√x2-−-a2$ убывает.
Найдем значения в точках $x= a$ и $x= −a :$

$∘ -2---2 ∘ -2---2 √ - y(a)= y(− a) = a + a + a − a = −a 2$

Нарисуем эскиз графика функции:

$xy0a−− aa√2-$

Тогда из эскиза видно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если $[ √- ) y ∈ −a 2;+∞ .$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ [0;+ ∞)$

Если $a > 0,$ то при $[√ - ) y ∈ a 2;+∞$

Если $a < 0,$ то при $[ √- ) y ∈ −a 2;+∞$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#126996Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях параметра $a$ уравнение

a= log2(x+ 2)− log2(x− 2)

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ уравнения:

{ x+ 2 >0 ⇒ x> 2 x− 2 >0

Преобразуем исходное выражение следующим образом:

( ) a = log2 x-+-2 x − 2 ( --4-) a= log2 1+ x− 2

Рассмотрим функцию $4 t(x)= 1+ x−-2.$ Тогда с учетом $x > 2$ получаем ограничение $t> 1.$ Это правая ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой $x = 2$ и горизонтальной асимптотой $t= 1.$ Изобразим ее в осях $xOt :$

$xt021$

Видим, что $t$ может принимать любые значения $t> 1.$ Тогда функция $a(t)$ принимает любые значения $a =log2t> log21 =0.$

Таким образом, у исходного уравнения будет хотя бы одно решение при $a > 0.$

Ответ:

$a ∈(0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126997Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = log8(x+ a)− log8(x− a)

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ уравнения:

{ { x+ a> 0 ⇒ x> −a x− a> 0 x> a

Преобразуем исходное уравнение следующим образом:

( ) y = log8 x-+-a ( x − a ) y = log8 1+ -2a-- x− a

Пусть $a= 0.$ Итоговая ОДЗ: $x > 0.$ Тогда на ОДЗ полученное уравнение равносильно $y = log81$ . Отсюда видим, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение только при $y = log81 = 0.$

Рассмотрим функцию $2a t(x)= 1+ x−-a.$

Пусть $a> 0.$ Так как в таком случае $a >− a,$ то итоговая ОДЗ: $x > a.$ Тогда с учетом ограничения $t(x)$ задает правую ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой $x = a$ и горизонтальной асимптотой $t= 1.$ Изобразим ее в осях $xOt:$

$xt0a1$

Видим, что $t$ может принимать любые значения $t> 1.$ Тогда функция $y(t)$ принимает любые значения $y = log8t> log81 =0.$
Таким образом, у исходного уравнения будет хотя бы одно решение при $y > 0.$
Пусть $a< 0.$ Так как в таком случае $− a > a,$ то итоговая ОДЗ: $x> −a.$ Заметим, что $t(− a)= 0.$ Тогда с учетом ограничения $t(x)$ задает часть гиперболы с вертикальной асимптотой $x= a$ и горизонтальной асимптотой $t= 1.$ Изобразим ее в осях $xOt:$

$xt0a−1 a$

Видим, что $t$ может принимать любые значения $0 < t< 1.$ Тогда функция $y(t)$ принимает любые значения $y = log8t< log81 =0.$
Таким образом, у исходного уравнения будет хотя бы одно решение при $y < 0.$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ {0}$

Если $a > 0,$ то при $y ∈ (0;+ ∞)$

Если $a < 0,$ то при $y ∈ (− ∞;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#126999Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = log6(x+ a)− log6(x− a)

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ уравнения:

{ { x+ a> 0 ⇒ x> −a x− a> 0 x> a

Преобразуем исходное уравнение следующим образом:

( ) y = log6 x-+-a ( x − a ) y = log6 1+ -2a-- x− a

Пусть $a= 0.$ Итоговая ОДЗ: $x > 0.$ Тогда на ОДЗ полученное уравнение равносильно $y = log61$ . Отсюда видим, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение только при $y = log61 = 0.$

Рассмотрим функцию $2a t(x)= 1+ x−-a.$

Пусть $a> 0.$ Так как в таком случае $a >− a,$ то итоговая ОДЗ: $x > a.$ Тогда с учетом ограничения $t(x)$ задает правую ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой $x = a$ и горизонтальной асимптотой $t= 1.$ Изобразим ее в осях $xOt:$

$xt0a1$

Видим, что $t$ может принимать любые значения $t> 1.$ Тогда функция $y(t)$ принимает любые значения $y = log6t> log61 =0.$
Таким образом, у исходного уравнения будет хотя бы одно решение при $y > 0.$
Пусть $a< 0.$ Так как в таком случае $− a > a,$ то итоговая ОДЗ: $x> −a.$ Заметим, что $t(− a)= 0.$ Тогда с учетом ограничения $t(x)$ задает часть гиперболы с вертикальной асимптотой $x= a$ и горизонтальной асимптотой $t= 1.$ Изобразим ее в осях $xOt:$

$xt0a−1 a$

Видим, что $t$ может принимать любые значения $0 < t< 1.$ Тогда функция $y(t)$ принимает любые значения $y = log6t< log61 =0.$
Таким образом, у исходного уравнения будет хотя бы одно решение при $y < 0.$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ {0}$

Если $a > 0,$ то при $y ∈ (0;+ ∞)$

Если $a < 0,$ то при $y ∈ (− ∞;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#127000Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

--1-- y = x+ x − a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем производную функции $y(x)= x+ --1-- x− a$ и приравняем ее к нулю:

′ 1 y(x)= 1− (x−-a)2-= 0 (x−-a)2-− 1-= 0 (x − a)2 (x− a− 1)(x − a +1) -----(x-− a)2---- = 0

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$xaaa+−−+−+ 11$

Видим, что $x= a− 1$ — это точка локального максимума, $x = a+ 1$ — точка локального минимума, а в точке $x = a$ функция не определена.

Найдем значения функции в точках $x= a − 1$ и $x= a+ 1:$

y(a− 1)= a− 1+ ---1----= a− 1− 1= a− 2 a − 1 − a y(a+ 1)= a+ 1+ ---1----= a+ 1+ 1= a+ 2 a +1 − a

Также заметим, что при приближении $x$ к $a$ слева значение $y(x)$ неограниченно убывает, а при приближении $x$ к $a$ справа — неограниченно возрастает. Тогда эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$xy0aaaaa−+−+ 1122$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

y ∈(−∞; a− 2]∪[a+ 2;+∞ ).

Ответ:

Если $a∈ (−∞;+ ∞ ),$ то при $y ∈(− ∞;a− 2]∪ [a+ 2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#127001Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях параметра $a$ уравнение

--1-- a= x+ x − 2

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем производную функции $a(x)= x+ --1-- x− 2$ и приравняем её к нулю:

′ 1 a (x) =1 − (x-−-2)2- a′(x)= (x−-3)(x−-1) (x− 2)2 (x−-3)(x-− 1) (x − 2)2 = 0

$x123+−−+$

Видим, что $x= 1$ — это точка локального максимума, $x = 3$ — точка локального минимума, а в точке $x = 2$ функция не определена.

Найдем значения функции в точках $x= 1$ и $x = 3:$

a(1) =1 + -1--= 1 − 1 = 0 1− 2 a(3) =3 + -1--= 3 +1 = 4 3− 2

Также заметим, что при приближении $x$ к числу 2 слева значение $a(x)$ неограниченно убывает, а при приближении $x$ к числу 2 справа — неограниченно возрастает. Тогда эскиз графика функции $a(x)$ выглядит следующим образом:

$xa01342$

Тогда из эскиза понятно, что при $a≤ 0$ или $a ≥4$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

$a ∈(−∞; 0]∪[4;+ ∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#127002Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях параметра $a$ уравнение

-1--- 2a =x + x− a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ исходного уравнения: $x− a ⁄= 0.$ При этом условии умножим на знаменатель исходное уравнение:

2a(x − a)= x (x − a)+ 1 2 2 x − 3ax+ 2a + 1= 0

Квадратное уравнение имеет хотя бы одно решение, если его дискриминант неотрицателен:

D = 9a2− 4(2a2 +1) ≥0 2 a − 4≥ 0 (a− 2)(a +2)≥ 0 a∈ (−∞; −2]∪[2;+∞ )

Найдём, когда корень уравнения $2 2 x − 3ax+ 2a + 1= 0$ не удовлетворяет условию $x− a⁄= 0.$ Для этого запишем систему:

{ x− a =0 x2− 3ax+ 2a2+ 1= 0 2 2 2 a − 3a + 2a + 1= 0 ⇒ 1= 0

То есть такого случая не может быть.

Тогда у исходного уравнения есть хотя бы одно решение при $a ≤ −2$ или $a ≥2.$

Ответ:

$a ∈(−∞; −2]∪ [2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#127003Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $a$ уравнение

|x| a= 12

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

При любом $x$ имеем $|x|≥0.$ По свойствам степени с основанием, большим 1, получаем

a = 12|x| ≥ 120 =1.

Значит, с учетом неограниченности модуля от линейной функции при $a ≥ 1$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

$a ∈[1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#127004Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $a$ уравнение

x a= 5

имеет ровно одно решение?

Показать ответ и решение

Пользуясь свойствами степени с положительным основанием, при любом $x$ имеем:

a= 5x > 0.

Кроме того, в силу строгой монотонности каждое свое значение функция $a = 5x$ принимает ровно один раз. Значит, с учетом неограниченности линейной функции при $a> 0$ исходное уравнение имеет ровно одно решение.

Ответ:

$a ∈(0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#127005Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $a$ уравнение

x2 a = 5

имеет ровно два решения?

Показать ответ и решение

При любом $x$ имеем $x2 ≥ 0.$ По свойствам степени с основанием, большим 1, получаем

a = 5x2 ≥ 50 = 1.

Кроме того, в силу четности каждое свое значение, кроме $a= 1$ (так как оно достигается при $x= 0$ ), функция $a= 5x2$ принимает ровно два раза. Значит, с учетом неограниченности квадратичной функции при $a> 1$ исходное уравнение имеет ровно два решения.