Тема Регион 9 класс

Регион 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела регион 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88676Максимум баллов за задание: 7

Коля и Дима играют в игру на доске $8 ×8,$ делая ходы по очереди, начинает Дима. Коля рисует в клетках крестики, а Дима накрывает прямоугольниками $1× 2$ (доминошками) пары соседних по стороне клеток доски. За свой ход Коля должен поставить один крестик в любую пустую клетку (т.е. в клетку, в которой ещё не нарисован крестик и которая ещё не покрыта доминошкой). Дима за свой ход должен накрыть доминошкой две соседних клетки (ещё не накрытые другими доминошками), в которых суммарно чётное число крестиков ( $0$ или $2$ ). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Дима может класть доминошку, накрывая два соседних крестика, либо класть доминошку в "зазоры" между крестиками. Логично предположить, что тогда Коля будет пытаться расположить крестики не в соседних клетках, но и недалеко друг от друга. Поищите инварианты или полуинварианты (вспомните часто используемые в задачках на доске). Возможно поможет сначала придумать пример стратегии, а уже потом доказать, что она выигрышная.

Подсказка 2

Игра какая-то скучная - привнесем в нее красок!:) Сделайте какую-то двухцветную раскраску клеток доски. Посмотрите, какими могут быть цвета в паре клеток, покрытых доминошкой.

Подсказка 3

Раскрасим доску в шахматном порядке. Заметим, что доминошка покрывает ровно 1 черную и 1 белую клетки. Крестик же может быть на клетке любого цвета, не покрытой доминошкой. Как стоит действовать Коле, чтобы лишить Диму хода?

Подсказка 4

Пусть Коля ходит только в клетки черного цвета, не накрытые доминошкой. Всего он сможет сделать 16 ходов, потому что ровно 1 клетка черного цвета будет занята в ход Коли и ровно 1 черная клетка в ход Димы. Дело за малым! Осталось понять, почему после 16 хода Коли, Дима не сможет ходить.

Показать ответ и решение

Приведём выигрышную стратегию за Колю. Мысленно раскрасим доску шахматным образом и будем ставить крестики только в чёрные клетки. Дима за один свой ход покрывает ровно одну чёрную клетку. Всего черных клеток на доске $32,$ поэтому Коля сможет сделать $16$ ходов.

Покажем, что Дима не сможет сделать свой $17$ -й ход. Пока Коля действует по стратегии, в белых клетках нет крестиков. Под каждой Диминой доминошкой белая клетка будет без крестика, тогда и черная клетка должна быть без крестика. Значит, Дима не сможет накрыть доминошкой ни один крестик.

Тогда за $16$ пар ходов все чёрные клетки будут покрыты доминошками или крестиками, но ни в одной белой клетке не будет крестика. Значит, Дима не сможет поставить доминошку, соблюдая правила игры.

Ответ:

Коля

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#134548Максимум баллов за задание: 7

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AC$ опущена высота $BH.$ На стороне $BC$ отмечена точка $D,$ на отрезке $BH$ — точка $E,$ а на отрезке $CH$ — точка $F$ так, что $∠BAD =∠CAE$ и $∠AF E =∠CF D.$ Докажите, что $∘ ∠AEF =90 .$

Показать доказательство

Пусть точка $E′$ симметрична точке $E$ относительно $AC.$ Тогда точки $E′,$ $F,$ $D$ лежат на одной прямой, теперь достаточно доказать, что $′ ∘ ∠AE D = 90,$ то есть, что четырёхугольник $′ ABDE$ — вписанный. Для этого заметим, что