Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.06 Задачи на работу и производительность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#17540Максимум баллов за задание: 1

Первая труба наполняет резервуар на 54 минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 36 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ литров — объём резервуара, а $x$ минут — время наполнения резерувуара второй трубой, тогда первая труба наполнит резервуар за $x + 54$ минуты. Составим таблицу, помня о том, что при работе двух труб одновременнно, их производительности складываются:


	Объём работы $A$ , л	Производительность $p$ , л/мин	Время наполнения $t$ , мин

I труба	$S$	$--S--- x+ 54$	$x + 54$

II труба	$S$	$S- x$	$x$

Обе трубы	$S$	$S S --+ ------ x x+ 54$	36

Таким образом, получим уравнение, основнное на равенстве $A = p⋅t$ для случая работы обеих труб одновременно:

$pict$

Поскольку $x > 0$ , выбираем единственный положительный ответ $x = 54$ .

Ответ: 54

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#20839Максимум баллов за задание: 1

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Показать ответ и решение

Обозначим количество деталей, которые делает в час второй рабочий, через $x> 0.$ Тогда первый рабочий делает в час $x+ 1$ деталь.

При этом на заказ в 110 деталей первый потратит $110-- x+ 1$ часа, второй — $110 x$ часа.

Учитывая, что первый потратит на 1 час меньше, получим следующее уравнение:

$pict$

Учитывая условие $x > 0,$ получаем, что подходит только $x =10.$

Тогда второй рабочий делает 10 деталей в час.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#20840Максимум баллов за задание: 1

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Показать ответ и решение

Обозначим количество литров, которые пропускает вторая труба в минуту, через $x$ , $x > 0.$ Тогда первая труба пропускает в минуту $x− 5$ литров.

Первая труба наполнит резервуар объемом 500 литров за $x50−05$ минут.

Вторая труба заполнит резервуар объемом 375 литров за $375x-$ минут. При этом будет затрачено на 10 минут меньше, чем на наполнение первой трубой резервуара объемом 500 литров, то есть

$pict$

Учитывая условие $x > 0,$ получаем, что подходит только $x =25.$

Тогда вторая труба пропускает 25 литров воды в минуту.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#35787Максимум баллов за задание: 1

Федя читает книжку, в которой $720$ страниц. За первый день он прочитал $5 12$ всей книжки, а за второй — $7- 18$ всей книжки. Сколько страниц ему осталось прочитать?

Показать ответ и решение

В первый день Федя прочитал $5-⋅720 12$ , во второй — $-7⋅720, 18$ тогда всего он прочитал: $5 7 5 ⋅60⋅12 7 ⋅40⋅18 --⋅720+ -- ⋅720 =--------+ --------= 5 ⋅60+ 7⋅40 = 300+ 280 = 580. 12 18 12 18$ Следовательно, Феде осталось прочитать: $720− 580 = 140$ страниц.

Ответ: 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#40311Максимум баллов за задание: 1

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 12 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Показать ответ и решение

Пусть объем бассейна — $x$ литров. Тогда первый и второй насосы заполняют $x$ литров за 9 минут, второй и третий насосы заполняют $x$ литров за 12 минут, первый и третий насосы заполняют $x$ литров за 18 минут.

Заполним таблицу:


	Производительность	Время	Работа

1 + 2	$x 9$ л/мин	9 мин	$x$ л

2 + 3	$x12$ л/мин	12 мин	$x$ л

1 + 3	$x18$ л/мин	18 мин	$x$ л

Сложим производительности первого и второго насосов, второго и третьего насосов, первого и третьего насосов. Получим производительность двух первых, двух вторых и двух третьих насосов при одновременной работе:

( ) x + x-+ -x = x 1 + 1-+ -1 = 9 12 18 9 12 18 ( 4+ 3+ 2) 9 x = x ---36--- = x⋅36 = 4

Тогда производительность в литрах в минуту трех насосов при одновременной работе равна

1 ⋅ x = x 2 4 8

Время в минутах, за которое три насоса заполнят бассейн при одновременной работе, равно отношению работы к производительности:

xx-= 8 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#41924Максимум баллов за задание: 1

Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 594 литра она заполняет на 5 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 648 литров?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, где $x$ л/мин — производительность второй трубы.

|------------|-------------|-----------------|------| |------------|Объем-работы--|Производительность-|Время-| |Первая труба|----648------|------x−-3-------|-x64−83--| -Вторая труба-----594--------------x------------59x4---

По условию время второй трубы на 5 минут меньше, чем первой, следовательно, можно составить следующее уравнение:

594 -648- x + 5=( x − 3) 594 ⋅(x − 3)+ 5⋅ x2− 3x = 648x 5x2− 69x− 594⋅3= 0 √--2---------- x1,2 = 69±--69-+-20⋅3⋅594 10√---- x1,2 = 69±-3-4489 10 x1,2 = 69±-3⋅67 10

Так как по условию $x> 0,$ то

69+ 3⋅67 69+ 201 x= ---10--- = --10---= 27

Тогда производительность второй трубы равна 27 л/мин.

Ответ: 27

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#57985Максимум баллов за задание: 1

Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 18 часов 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 40 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Показать ответ и решение

Пусть $A$ литров — объем бассейна, $v1$ л/ч — скорость первой трубы, $v2$ л/ч — скорость второй трубы, $x$ часов — время, за которое вторая труба наполняет бассейн. Составим таблицу:


	$v,$ л/ч	t, ч	Объем, л

Две трубы	$v1+ v2$	$56 3$	$A$

Первая труба	$v1$	40	$A$

Вторая труба	$v2$	$x$	$A$

Тогда

A 56 3A v-+-v-= 3- ⇒ v1+ v2 =-56- 1 2

С другой стороны,

A- A- v1 = 40 ⇒ v1 = 40

Значит,

v2 = (v1+ v2)− v1 = 3A-− A-= 15A-−-7A-= A 56 40 7 ⋅8⋅5 35

Таким образом,

A- A- x= v2 = A35 = 35 часов

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#58781Максимум баллов за задание: 1

Один рабочий пропалывает грядку за 12 часов, а двое рабочих вместе пропалывают грядку за 4 часа. За сколько часов прополет грядку второй рабочий?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — скорость первого рабочего, а $y$ — скорость второго рабочего.

По условию имеем:

{x = 1- 12 1 x+ y = 4

Вычтем первое уравнение из второго, получим

1 1 3− 1 1 y = 4 − 12 =-12- = 6

Таким образом, второй рабочий пропалывает одну грядку за 6 часов.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#71594Максимум баллов за задание: 1

Плиточник должен уложить $175 м2$ плитки. Если он будет укладывать на $10 м2$ в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Показать ответ и решение

пусть производительность плиточника равна $x,$ тогда время, за которое он уложит 175 м $2,$ равно $175 x$ . Составим уравнение:

175 175 -x-− x-+-10 = 2,

175(x+ 10)− 175x = 2(x)(x+ 10),

1750= 2x2+ 20x,

x2+ 10x − 875 =0.

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся формулой дискриминанта для четного коэффициента:
$( 10)2 2 D = 2- + 875⋅1= 30 ,$
$−10-+30 x1 = -2------= 25 1$ и $−-10− 30 x2 =--2-----= − 35. 1$ Очевидно, что отрицательное значение нам не подходит.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#73672Максимум баллов за задание: 1

Первый садовый насос перекачивает 10 литров воды за 5 минут, второй насос перекачивает тот же объем воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 72 литра воды?

Показать ответ и решение

Для работы $A,$ производительности $p$ и времени $t$ верна формула $A= pt.$ Следовательно, производительности первого и второго насосов равны соответственно

10 10 p1 =-5 = 2 и p2 =-7

Тогда их общая производительность равна

p= 2+ 10 = 24 7 7

Следовательно, оба насоса перекачают 72 литра воды за время в минутах, равное

72 72 t= p = 247 =21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#76266Максимум баллов за задание: 1

Вся семья Кевина уехала и оставила его одного дома. Он решил принять горячую ванну и прихорошиться, используя папины принадлежности. Он знает, что джакузи заполняется холодной водой за 3 минуты 12 секунд, горячей водой — за 40 минут, а если из полного джакузи вынуть пробку, то вода вытечет из него за $113 7$ минуты. Сколько минут ему придется ждать, чтобы полностью наполнить джакузи водой, если известно, что оба крана открыты, но Кевин забыл заткнуть пробку?

Показать ответ и решение

3 минуты 12 секунд равны $16 5$ минуты, $113= 80. 7 7$ Далее будем пользоваться формулой $A = pt,$ где $A= 1$ — совершенная работа (заполнение джакузи водой полностью), $p$ — производительность, $t$ — время. Если джакузи заполняется холодной водой за $16 -5$ минуты, то из $A p= -t$ следует, что за 1 минуту холодной водой наполняется $-5 16$ джакузи. Аналогично горячей водой за 1 минуту наполняется $1- 40$ джакузи, а при открытой пробке за 1 минуту вытекает $-7 80$ джакузи. Следовательно за 1 минуту при открытой пробке и открытых кранах с горячей и холодной водой мы заполним часть джакузи, равную

-5+ -1 − 7-= 1 16 40 80 4

Следовательно, по формуле $t= A- p$ всё джакузи заполнится водой в таком случае за 4 минуты.

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#83753Максимум баллов за задание: 1

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 360 литров она заполняет на 3 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 363 литра?

Показать ответ и решение

Пусть первая труба пропускает $v − 1$ литров в минуту. Тогда вторая пропускает $v$ литров в минуту.

Первая труба заполняет резервуар объёмом 363 литра за $363 t1 = v−1$ минуты.

Вторая труба заполняет резервуар объёмом 360 литров за $t2 = 36v0-$ минуты. По условию $t2+ 3 =t1.$

Тогда имеем уравнение:

$pict$

Отсюда получаем

$pict$

Отсюда имеем $v =12$ или $v = −10.$

Труба пропускает положительное количество воды в минуту, поэтому $v = 12.$

Тогда вторая труба пропускает 12 литров воды в минуту.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#101653Максимум баллов за задание: 1

Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим выполняемую работу за 1. За один час первый мастер заполняет $-1 40$ часть заказа, второй мастер — $1 24.$ Составим таблицу:

|--------------|------|--------|------------------| |--------------|Работа-|Время, ч|П-роизводительность-| | | | | 1 | |П ервы й мастер| 1 | 40 | 40 | |--------------|------|--------|------------------| |В торой мастер | 1 | 24 | 1- | |--------------|------|--------|--------24--------| |О ба мастера | 1 | ? | 1-+ 1- | --------------------------------------40---24------|

Вместе за один час они выполнят часть заказа, равную

-1 + 1-= -3- + -5-= -8- = 1-. 40 24 120 120 120 15

Таким образом, мастерам понадобится время, равное

1 1:15 = 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#90614Максимум баллов за задание: 1

Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя — за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Обозначим выполняемую работу за 1. Пусть Катя пропалывает грядку за $t$ минут. Составим таблицу:

|------------|-------|----------|-----------------------| |------------|Р-абота-|Время, мин|П-роизводительность в-мин| | | | | 1 | |К атя | 1 | t | t | |------------|-------|----------|-----------1-----------| |Н астя | 1 | 42 | 42 | |------------|-------|----------|-----------------------| |К атя и Настя | 1 | 24 | 1 + 1- | ------------------------------------------t--42---------|

Тогда можем составить уравнение:

1 + 1-= -1. t 42 24

Значит,

1 1 1 7 4 t = 24 − 42 = 24⋅7 − 42⋅4 = = 7−-4 = 3--= 1-. 168 168 56

Тогда время, за которое Катя одна пропалывает грядку равно

t= -1= -1 = 56. 1t 156-

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#101654Максимум баллов за задание: 1

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим выполняемую работу за 1. Пусть Аня пропалывает грядку за $t$ минут. Составим таблицу:

|-----------|------|----------|-----------------------| |-----------|Работа-|Время, мин|П-роизводительность-в мин| | | | | 1 | |А ня | 1 | t | t | |-----------|------|----------|-----------1-----------| |Таня | 1 | 36 | 36 | |-----------|------|----------|-----------------------| |А ня и Таня| 1 | 24 | 1+ -1 | ----------------------------------------t--36---------|

Тогда можем составить уравнение:

1 + 1-= -1. t 36 24

Значит,

1 1 1 3 2 t = 24 − 36 = 24⋅3 − 36⋅2 = = 3−-2= -1. 72 72

Тогда время, за которое Аня одна пропалывает грядку равно

t= -1= -1 = 72. 1t 172-

Ответ: 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#101655Максимум баллов за задание: 1

Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим выполняемую работу за 1. Пусть Юля пропалывает грядку за $t$ минут. Составим таблицу:

|----------|-------|----------|-----------------------| |----------|Р-абота-|Время, мин|П-роизводительность в-мин| | | | | 1 | |Ю ля | 1 | t | t | |----------|-------|----------|-----------1-----------| |Уля | 1 | 120 | 120 | |----------|-------|----------|-----------------------| |Ю ля и У ля 1 | 24 | 1 + 1-- | ---------------------------------------t---120---------|

Тогда можем составить уравнение:

1+ -1-= 1-. t 120 24

Значит,

1 1 1 5 1 t = 24-− 120 = 24-⋅5 − 120 = = 5−-1 = 4--= 1-. 120 120 30

Тогда время, за которое Юля одна пропалывает грядку равно

t= -1= -1 = 30. 1t 130-

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#101656Максимум баллов за задание: 1

Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим выполняемую работу за 1. За минуту первый насос заполняет $1- 11$ часть бака, второй насос — $1 15$ , а третий — $1 110.$ Составим таблицу:

|------------|-------|----------|------------------| |------------|Р-абота-|Время, мин|П-роизводительность-| |Первый насос| 1 | 11 | 1- | |------------|-------|----------|--------11---------| | | | | 1- | |Второй насос | 1 | 15 | 15 | |------------|-------|----------|--------1---------| |Третий насос | 1 | 110 | 110 | |------------|-------|----------|------------------| |Насосы вместе| 1 | ? | 1-+ -1 + 1-- | ------------------------------------11--15---110-----

Вместе за минуту они наполнят часть бака, равную

1-+ 1-+ -1- = 11 15 110 = 10-+ -1 + -1-= 110 15 110 -11 -1 1- -1 = 110 + 15 = 10 + 15 = 3 2 5 1 = 30 + 30 = 30-= 6.

Таким образом, трем насосам понадобится время в минутах, равное

1 : 1 = 6. 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#101615Максимум баллов за задание: 1

Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий изготавливает $x − 7$ деталей в час, при этом $x> 7.$ Составим таблицу:

|--------------|------------------------|-------------|--------| |--------------|П-роизводительность, дет./ч|Работа, детали|Время, ч| | | | | 198 | |Первый рабочий | x | 198 | x | |--------------|------------------------|-------------|--198---| |Второй рабочий| x − 7 | 198 | x-− 7 | ----------------------------------------------------------------

Так как второй рабочий тратит на это задание на 7 часов больше, составим уравнение:

-198--− 198-= 7 x− 7 x 198x-− 198(x−-7)= 7 x(x− 7) -198⋅7- x(x− 7) = 7 198 x(x−-7) = 1

Так как $x >7,$ домножим обе части уравнения на $x(x− 7),$ получим

2 198= x − 7x x2− 7x− 198= 0

Найдем дискриминант:

D = 72+ 4⋅198= 49+ 792= 841= 292.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

x1 = 7+-29= 18 и x2 = 7−-29< 0. 2 2

Так как $x >7,$ то первый рабочий изготавливает 18 деталей в час.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#101616Максимум баллов за задание: 1

Заказ на изготовление 323 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 2 детали больше второго?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий изготавливает $x − 2$ деталей в час, при этом $x> 2.$ Составим таблицу:

|--------------|------------------------|-------------|--------| |--------------|П-роизводительность, дет./ч|Работа, детали|Время, ч| | | | | 323 | |Первый рабочий | x | 323 | x | |--------------|------------------------|-------------|--323---| |Второй рабочий| x − 2 | 323 | x-− 2 | ----------------------------------------------------------------

Так как второй рабочий тратит на это задание на 2 часа больше, составим уравнение:

-323--− 323-= 2 x− 2 x 323x-− 323(x−-2)= 2 x(x− 2) -323⋅2- x(x− 2) = 2 323 x(x−-2) = 1

Так как $x >2,$ домножим обе части уравнения на $x(x− 2),$ получим

2 323= x − 2x x2− 2x− 323= 0

Найдем дискриминант:

D = 22+ 4⋅323= 22(1+ 323) = = 22⋅324 = 22⋅182 =362.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

2+-36 2−-36 x1 = 2 = 19 и x2 = 2 < 0.

Так как $x >2,$ то первый рабочий изготавливает 19 деталей в час.

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#101617Максимум баллов за задание: 1

Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть второй рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий изготавливает $x +8$ деталей в час, при этом $x> 0.$ Составим таблицу: