Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.05 Задачи на движение по воде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#15804Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 153 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ — собственная скорость моторной лодки. Тогда на путь против течения лодка потратила $-153 t1 = v − 4$ часа, а на путь по течению — $t2 = 153- v+ 4$ часа.

Так как на путь по течению лодка потратила на 8 часов меньше, чем на путь против течения, то получаем следующее уравнение:

$-153- 153- t1 = t2+ 8 ⇔ v− 4 = v+ 4 + 8 2 153(v+ 4)= 153(v− 4)+ 8(v − 16) 2 153v+ 4⋅153= 153v− 4⋅153+ 8v − 8⋅16 8⋅153+ 8⋅16= 8v2 v2 = 169 ⇔ v = ±13$

Так как скорость лодки в неподвижной воде положительна, то выбираем $v = 13.$

Ответ: 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#18614Максимум баллов за задание: 1

Катер в 10:00 вышел из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению равна $x+ 2$ км/ч, против течения — $x− 2$ км/ч. По смыслу задачи подходит только $x> 2.$

Расстояние между пунктами A и B равно 15 км. Тогда катер потратил на дорогу в одну сторону между пунктами A и B время, равное $-15-- x +2$ часа, в другую сторону — $-15-- x− 2$ часа.

При этом катер еще пробыл в пункте B один час. Суммарно на дорогу было потрачено $15 − 10 =5$ часов. Тогда имеем уравнение:

-15-- -15-- x+ 2 + x− 2 + 1= 5 15(x − 2)+ 15(x+ 2)− 4(x− 2)(x +2) =0 30x− 4x2+ 16= 0 ⌊x =8 2x2− 15x − 8= 0 ⇔ ⌈ 1 x =− 2

Так как $x >2,$ то подходит только $x =8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#20838Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в 30 км от $A.$ Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в 18:00 того же дня. Определите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в километрах в час.

Показать ответ и решение

Обозначим скорость лодки через $x$ км/ч, $x> 0.$

Тогда скорость лодки по течению равна $x +1$ км/ч. Следовательно, время, затраченное на путь по течению, составляет $--30-- x + 1$ часа.

При этом скорость лодки против течения равна $x − 1$ км/ч. Следовательно, время, затраченное на путь против течения, составляет $-30-- x− 1$ часа.

Учитывая то, что лодка пробыла в пункте $B$ 2,5 часа и затратила на всю дорогу $18− 10= 8$ часов, получаем уравнение:

$pict$

С учетом условия $x> 0$ подходит только $x =11.$

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#69956Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Тогда из условия о разности времени, затраченного на путь против течение и на путь по течению, имеем соотношение:

tпротивтечения − tпотечению = 6 часов

Время равно отношению пройденного пути к скорости, отсюда получаем уравнение:

-112- − -112-= 6 11− x 11+ x 112⋅(11+ x) 112 ⋅(11− x) (11−-x)⋅(11+-x) − (11-+x)-⋅(11−-x) = 6 112⋅11+-112x-−-1122-⋅11-+112x-= 6 121− x --224x-- =6 121− x2 --112x-- 121− x2 =3 112x= 3⋅(121− x2) 3x2+ 112x − 363 = 0 2 2 D = 112 − 4⋅3⋅(−363)= 12544+ 4356= 16900= 130 −112+-130 18- x1 = 2⋅3 = 6 = 3 −-112-− 130 x1 = 2⋅3 < 0

Второй корень нас не устраивает по смыслу задачи. Следовательно, скорость течения реки 3 км/ч.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#71063Максимум баллов за задание: 1

Пристани $A$ и $B$ расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из $A$ в $B.$ На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$ Найдите скорость баржи на пути из $A$ в $B.$ Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда из тезиса о равенстве затраченного времени имеем тождество (помним, что скорость лодки есть отношение пройденного пути ко времени, на этот путь затраченному):

tизA иB = tизB иA+ 9,

390- -390- x = x +3 + 9,

390− -390-− 9= 0, x x + 3

390(x+-3)−-390x−-9x(x-+3)-= 0, x(x+ 3)

2 9x-+-27x-− 1170-= 0, x(x+ 3)

2 9x + 27x − 1170= 0,

2 x + 3x− 130= 0,

D = 9+ 4⋅1⋅130= 529= 232,

x1 = −3-+23-= 10; x2 = −-3−-23= −13. 2 2

Скорость лодки, очевидно, не может быть отрицательной, следовательно, корень $x2$ — постронний.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#71588Максимум баллов за задание: 1

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 60 км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправился катер, который, прибыв в пункт $B$ , тотчас повернул обратно и возвратился в $A$ . К этому времени плот прошел 36 км. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Скорость плота считается равной скорости течения, поэтому мы можем найти время, которое потратил на дорогу плот: $t= 36 = 9. 4$

При этом катер выехал на час позже, то есть он потратил на дорогу $9− 1= 8$ часов. За эти 8 часов катер прошел 120 километров, 60 из которых он плыл по течению, и 60 — против течения.

Пусть $v$ — собственная скорость катера, тогда составим уравнение:

60 60 v-+4 + v−-4 =8 -15- -15- v +4 + v− 4 =2 15(v− 4) +15(v+ 4)= 2(v +4)(v− 4) 30v =2v2− 32 2 v − 15v− 16= 0

По теореме Виета находим корни $v = −1 1$ и $v = 16. 2$ Очевидно, что отрицательное значение нам не подходит. Тогда собственная скорость катера равна 16 км/ч.

Ответ: 16

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#80086Максимум баллов за задание: 1

От речного вокзала в противоположные стороны отправляются лодка и плот — против и по течению реки соответственно, причём известно, что за час в стоячей воде лодка проплывает столько же, сколько плот за 10 часов по течению. Найдите скорость удаления лодки от плота, если за $2,5$ часа плот преодолел расстояние в 10 километров.

Показать ответ и решение

Если за час в стоячей воде лодка проплывает столько же, сколько плот за 10 часов по течению, то логично, что скорость лодки в 10 раз больше скорости плота, вернее скорости течения реки, поскольку плот собственной скорости не имеет.

Пусть скорость лодки равна $10x$ км/ч, тогда скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Если за $2,5$ часа плот преодолел расстояние в 10 километров, то справедливо тождество:

10 = x ⋅2,5,

x = 4.

В таком случае скорость лодки равна $4⋅10 = 40.$

Плот и лодка движутся в противоположные стороны, но лодка при этом движется против течения, следовательно, скорость их удаления друг от друга:

Vудаления = 40 − 4+ 4 = 40 км/ч.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#101499Максимум баллов за задание: 1

Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость баржи на пути от пристани А до пристани В равна $x$ км/ч, тогда на пути от пристани В до пристани А она равна $x+ 2$ км/ч, при этом $x> 0.$ Составим таблицу:

-----------С-корость, км/ч-Расстояние, км-Время, ч- | | | | 264 | |От А до В| x | 264 | -x- | |---------|--------------|-------------|--------| |От В до А| x+ 2 | 264 | 264-- | ------------------------------------------x+-2---

На пути от В до А баржа сделала остановку на 1 час, то есть время в пути от А до В на 1 час больше времени в пути без остановок от В до А. Составим уравнение:

264 264 -x-− x-+2-= 1 264(x+-2)−-264x-= 1 x(x+ 2) 264x+-264⋅2−-264x x(x+ 2) = 1 528 x(x+-2) = 1

Так как $x >0,$ можем домножить обе части уравнения на $x(x+ 2),$ получим:

528 =x(x +2) 528= x2+ 2x x2+ 2x− 528= 0

Найдем дискриминант:

D = 22+ 4⋅528= 22(1+ 528) = 2 2 2 2 = 2 ⋅529 = 2 ⋅23 =46 .

Тогда корни квадратного уравнения равны

−2+ 46 −2 − 46 x1 = --2---= 22 и x2 =---2---< 0.

Так как $x >0,$ то скорость баржи на пути из А в В равна 22 км/ч.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#101500Максимум баллов за задание: 1

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 168 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого теплохода равна $x$ км/ч, при этом $x> 0.$ Составим таблицу:

|---------------|--------------|-------------|--------| |---------------|Скорость, км/ч|Расстояние, км|Время, ч| | | | | 168 | |П ервый теплоход | x | 168 | x | |---------------|--------------|-------------|--168---| |Второй теплоход | x + 2 | 168 | x+-2- | ------------------------------------------------------|

Так как второй теплоход выехал на 2 часа позже, его время на 2 часа меньше. Составим уравнение:

168− -168-= 2 x x +2 168x+-168⋅2−-168x= 2 x(x+ 2) -168⋅2- x(x+ 2) = 2

Так как $x >0,$ можем домножить обе части уравнения на $x(x+ 2),$ получим:

168⋅2= 2x(x+ 2) 168 =x(x +2) x2+ 2x− 168= 0

Найдем дискриминант:

D = 22+ 4⋅168= 22(1+ 168) = = 22⋅169 = 22⋅132 =262.

Тогда корни квадратного уравнения равны

−2+ 26 −2 − 26 x1 = --2---= 12 и x2 =---2---< 0.

Так как $x >0,$ скорость первого теплохода равна 12 км/ч.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#101501Максимум баллов за задание: 1

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 27 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 32 часа после отправления из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км — путь, пройденный теплоходом за весь рейс. Заметим, что если теплоход проплыл $x 2$ км от пункта отправления в пункт назначения и $x 2$ км обратно, то он ровно один раз плыл по течению и один раз — против течения.

Заполним таблицу:

|--------------|-------------|--------------|---------| |Направление---|Скорость, км/ч|Р-асстояние, км-|В-рем-я, ч| | | | x | x | |Против течения | 27− 1 | 2 |2⋅(27−-1)-| |--------------|-------------|--------------|---------| |По течению | 27+ 1 | x |---x-----| ------------------------------------2--------2⋅(27+-1)--

На путь туда и обратно с учетом остановки теплоход потратил 32 часа. Так как остановка длилась 5 часов, то на путь туда и обратно теплоход потратил $32− 5 =27$ часов. Следовательно, получаем уравнение

x x 2-⋅(27−-1) + 2-⋅(27+-1) = 27 x-+ -x = 27 52 56 -14x-+ -13x- = 27 52⋅14 56 ⋅13 14x+-13x = 27 728 -x- =1 728 x = 728

Тогда за весь рейс теплоход проходит 728 км.

Ответ: 728

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#101502Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки $x$ км/ч, при этом $x > 2,$ так как лодка может плыть против течения. Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | -117-- | |По течению | x+ 2 | 117 | x+ 2 | |--------------|-------------|-------------|---117----| |Против течения| x− 2 | 117 | x−-2- | -----------------------------------------------------|

Так как на путь по течению лодка потратила на 4 часа меньше, составим уравнение:

-117-− -117--=4 x − 2 x+ 2 117(x+-2)−-117(x−-2)= 4 (x− 2)(x +2) 117x+-117-⋅2−-117x-+117⋅2- x2− 4 = 4 2⋅117⋅2 -x2−-4- = 4 -1217- = 1 x − 4

Так как $x >2,$ то можем домножить обе части уравнения на $x2 − 4,$ получим:

117= x2− 4 x2 = 121 x= ±11

Так как $x> 2,$ то $x= 11.$ Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

Ответ: 11

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#101503Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки $x$ км/ч, при этом $x > 3,$ так как лодка может плыть против течения. Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | -91-- | |По течению | x+ 3 | 91 | x+ 3 | |--------------|-------------|-------------|---91----| |Против течения| x− 3 | 91 | x−-3- | -----------------------------------------------------|

Так как на путь по течению лодка потратила на 6 часов меньше, составим уравнение:

-91--− -91--=6 x − 3 x+ 3 91(x+-3)−-91(x−-3) =6 (x− 3)(x +3) 91x-+-91-⋅3−-91x-+-91-⋅3 x2− 9 = 6 2⋅91⋅3 x2−-9-= 6 -291- = 1 x − 9

Так как $x >3,$ то можем домножить обе части уравнения на $x2 − 9,$ получим:

91= x2− 9 x2 = 100 x= ±10

Так как $x> 3,$ то $x= 10.$ Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#101549Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки $x$ км/ч, при этом $x > 1,$ так как лодка может плыть против течения. Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | -143-- | |По течению | x+ 1 | 143 | x+ 1 | |--------------|-------------|-------------|---143----| |Против течения| x− 1 | 143 | x−-1- | -----------------------------------------------------|

Так как на путь по течению лодка потратила на 2 часа меньше, составим уравнение:

-143-− -143--=2 x − 1 x+ 1 143(x+-1)−-143(x−-1)= 2 (x− 1)(x +1) 143x+-143−-143x-+143- x2− 1 = 2 2⋅143 x2−-1 = 2 -1243- = 1 x − 1

Так как $x >1,$ то можем домножить обе части уравнения на $x2 − 1,$ получим:

143= x2− 1 x2 = 144 x= ±12

Так как $x> 3,$ то $x= 12.$ Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#71584Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 48 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения $x$ км/ч, при этом $0< x <8.$ Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | 48 | |По течению | 8+ x | 48 | 8+-x- | |--------------|-------------|-------------|---------| |Против течения| 8− x | 48 | -48-- | ----------------------------------------------8−-x---|

Так как на путь по течению лодка потратила на 8 часов меньше, составим уравнение:

-48--− -48--=8 8− x 8+ x 48(8+-x)−-48(8−-x) =8 (8− x)(8 +x) 48⋅8+ 48x − 48⋅8+ 48x -------64−-x2-------= 8 2⋅48x 64−-x2 = 8 -12x-2 = 1 64− x

Так как $0< x < 8,$ то можем домножить обе части уравнения на $64 − x2,$ получим:

2 12x= 64− x x2+ 12x− 64= 0

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

D = 122+4 ⋅64 = 42(9+ 16)= = 42 ⋅25 = 42⋅52 = 202.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

−-12+-20- 8 −-12−-20 x1 = 2 = 2 = 4 и x2 = 2 < 0.

Так как $0< x < 8,$ то скорость течения равна 4 км/ч.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#101550Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения $x$ км/ч, при этом $0< x <13.$ Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | 168 | |По течению | 13 +x | 168 | 13-+x- | |--------------|-------------|-------------|---------| |Против течения| 13 − x | 168 | -168-- | ----------------------------------------------13-− x--|

Так как на путь по течению лодка потратила на 2 часа меньше, составим уравнение:

-168- − -168-= 2 13− x 13+ x 168(13+-x)−-168(13−-x)= 2 (13− x)(13+ x) 168⋅13+ 168x − 168 ⋅13 +168x ---------169−-x2----------= 2 2⋅168x 169−-x2 =2 --168x-2 =1 169− x

Так как $0< x < 13,$ то можем домножить обе части уравнения на $169− x2,$ получим:

2 168x= 169− x x2 +168x− 169= 0

По теореме Виета

{ x1⋅x2 = −169 x1+ x2 = −168

Значит,

x1 = 1 и x2 = − 169 <0.

Так как $0< x < 13,$ то скорость течения равна 1 км/ч.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#101551Максимум баллов за задание: 1

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения $x$ км/ч, при этом $0< x <9.$ Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | 72 | |По течению | 9+ x | 72 | 9+-x- | |--------------|-------------|-------------|---------| |Против течения| 9− x | 72 | -72-- | ----------------------------------------------9−-x---|

Так как на путь по течению лодка потратила на 6 часов меньше, составим уравнение:

-72--− -72--=6 9− x 9+ x 72(9+-x)−-72(9−-x) =6 (9− x)(9 +x) 72⋅9+ 72x − 72⋅9+ 72x -------81−-x2-------= 6 2⋅72x 81−-x2 = 6 -24x-2 = 1 81− x

Так как $0< x < 9,$ то можем домножить обе части уравнения на $81 − x2,$ получим:

2 24x= 81− x x2+ 24x− 81= 0

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

D = 242+ 4⋅81= 22(144+ 81)= = 22⋅225 = 22⋅152 =302.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

−-24+-30- 6 −-24−-30 x1 = 2 = 2 = 3 и x2 = 2 < 0.

Так как $0< x < 9,$ то скорость течения равна 3 км/ч.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#101553Максимум баллов за задание: 1

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. При этом $x > 2,$ так как скорость течения равна 2 км/ч, а теплоход может плыть против течения. Заметим, что если теплоход проплыл от пункта отправления в пункт назначения и обратно, то он ровно один раз плыл по течению и один раз — против течения.

Заполним таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |Против течения| x− 2 | 80 | -80-- | |--------------|-------------|-------------|--x−-2---| | | | | -80-- | -По-течению----------x+-2-----------80---------x+-2---|

На путь туда и обратно теплоход потратил 13 часов. Так как остановка длилась 4 часа, то на путь туда и обратно он потратил $13 − 4 = 9$ часов. Следовательно, получаем уравнение

-80-- -80-- x − 2 + x+ 2 =9 80⋅(x+ 2)+ 80⋅(x − 2) ----(x−-2)(x-+2)-----= 9 80x+-160+-80x-−-160-= 9 (x− 2)(x +2) ----160x---- (x− 2)(x +2) = 9

Так как $x> 2,$ можем домножить обе части уравнения на $(x − 2)(x+ 2)> 0,$ получаем:

160x= 9(x− 2)(x +2) 160x = 9(x2− 4) 2 9x − 160x− 36= 0

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

2 2 D = 160 + 4⋅9⋅36= 4 (1600+ 81)= = 42⋅1681 = 42⋅412 =1642.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

x1 = 160-+164-= 324= 18 и x2 = 160-−-164-< 0. 2⋅9 18 18

Так как $x >2,$ то скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#101555Максимум баллов за задание: 1

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 10 часов. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. При этом $x > 4,$ так как скорость течения равна 4 км/ч, а теплоход может плыть против течения. Заметим, что если теплоход проплыл от пункта отправления в пункт назначения и обратно, то он ровно один раз плыл по течению и один раз — против течения.

Заполним таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |Против течения| x− 4 | 48 | -48-- | |--------------|-------------|-------------|--x−-4---| | | | | -48-- | -По-течению----------x+-4-----------48---------x+-4---|

На путь туда и обратно теплоход потратил 10 часов. Так как остановка длилась 5 часов, то на путь туда и обратно он потратил $10− 5 =5$ часов. Следовательно, получаем уравнение

-48-- -48-- x − 4 + x+ 4 =5 48⋅(x+ 4)+ 48⋅(x − 4) ----(x−-4)(x-+4)-----= 5 48x-+-48-⋅4+-48x-−-48-⋅4= 5 (x− 4)(x +4) ----96x---- (x− 4)(x +4) = 5

Так как $x> 4,$ можем домножить обе части уравнения на $(x − 4)(x+ 4)> 0,$ получаем:

96x= 5(x − 4)(x+ 4) 96x = 5(x2− 16) 2 5x − 96x − 80 = 0

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

2 2 D = 96 + 4⋅5⋅80= 8 (144+ 25)= = 82⋅169= 82⋅132 = 1042.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

x1 = 96-+104 = 200= 20 и x2 = 96−-104-< 0. 2 ⋅5 10 10

Так как $x >4,$ то скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#101558Максимум баллов за задание: 1

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. При этом $x > 3,$ так как скорость течения равна 3 км/ч, а теплоход может плыть против течения. Заметим, что если теплоход проплыл от пункта отправления в пункт назначения и обратно, то он ровно один раз плыл по течению и один раз — против течения.

Заполним таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |Против течения| x− 3 | 567 | -567-- | |--------------|-------------|-------------|--x−-3---| | | | | -567-- | -По-течению----------x+-3-----------567--------x+-3---|

На путь туда и обратно теплоход потратил 54 часа. Так как остановка длилась 6 часов, то на путь туда и обратно он потратил $54− 6= 48$ часов. Следовательно, получаем уравнение

567-- -567- x− 3 + x + 3 = 48 567 ⋅(x +3)+ 567⋅(x− 3) -----(x-−-3)(x+-3)-----= 48 567x+-567⋅3+-567x−-567⋅3= 48 (x − 3)(x+ 3) --2⋅567x--- (x − 3)(x+ 3) = 48

Так как $x> 3,$ можем домножить обе части уравнения на $(x − 3)(x+ 3)> 0,$ получаем:

2⋅567x = 48(x− 3)(x+ 3) |:6 189x = 8(x2− 9) 2 8x − 189x− 72= 0

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

2 2 D =189 + 4⋅8⋅72 =3 (3969 + 256)= = 32⋅4225 = 32⋅652 =1952.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

x1 = 189-+195-= 384= 24 и x2 = 189-−-195-< 0. 2⋅8 16 16

Так как $x >3,$ то скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#101559Максимум баллов за задание: 1

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 468 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 47 часов. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость течения. При этом $0< x <22.$ Заметим, что если теплоход проплыл от пункта отправления в пункт назначения и обратно, то он ровно один раз плыл по течению и один раз — против течения.

Заполним таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |Против течения| 22 − x | 468 | -468-- | |--------------|-------------|-------------|--22-− x--| | | | | 468 | |По течению | 22 +x | 468 | 22-+x- | -----------------------------------------------------

На путь туда и обратно с учетом остановки теплоход потратил 47 часов. Так как остановка длилась 3 часа, то на путь туда и обратно теплоход потратил $47− 3 =44$ часа. Следовательно, получаем уравнение

468 468 22−-x + 22-+x = 44 468⋅(22-+x)+-468⋅(22−-x)= 44 (22 − x)(22+ x) 468⋅22⋅2 = 44 484− x2 --468-- 484− x2 =1

Так как $0< x < 22,$ можем домножить обе части уравнения на $2 484− x > 0,$ получаем:

468 =484− x2 −16= − x2 2 x = 16 x = ±4

Так как $x >0,$ скорость течения равна 4 км/ч.

Ответ: 4