Уравнения и сложные задачи на системы счисления (страница 6)

Сколько единиц в двочиной записи числа \(2^{2019}+8^5+2\)?
Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: \(2^{2019}+8^5+2=2^{1024}+({2^3})^5+2^1=2^{2019}+2^{15}+2^1\). В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{15}+10\).
Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2001}1\underbrace{0...000}_{15}10 \end{array} \end{array}\]
Сколько единиц в троичной записи числа \(3^{2019}+27^7+3\)?
Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2019}+27^7+3=3^{2019}+({3^3})^7+3^1=3^{2019}+3^{21}+3^1\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{21}+10\).
Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{1995}1\underbrace{0...000}_{21}10 \end{array} \end{array}\]
Сколько единиц в троичной записи числа \(3^{2051}+81^6+8\)?
Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2051}+81^6+8=3^{2051}+({3^4})^6+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)=3^{2051}+3^{24}+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2051}+1\overbrace{0...000}^{24}+22\).
Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 22\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2024}1\underbrace{0...000}_{24}22 \end{array} \end{array}\]
Сколько четверок содержится в пятеричной записи числа \(5^{50}+25^3-125\)?
Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, получим: \(5^{50}+25^3-125=5^{50}+({5^2})^3-5^3=5^{50}+5^6-125\).
Для начала выполним сложение:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{43}1000000 \end{array} \end{array}\]
Вычтем из полученного \(5^3\):
\[\begin{array}{r}
-
\begin{array}{r}
_{\cdot\,4\,4\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
10...01000000\\
1000\\
\end{array}\\
\hline
\begin{array}{r}
1\underbrace{0...0}_{44}444000
\end{array}
\end{array}\\\]
Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит единица другого числа.
Сколько пятерок содержится в шестеричной записи числа \(6^{120}+216^3-55\)?
Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: \(6^{120}+216^3-321=6^{120}+({6^3})^3-(1\cdot6^2+3\cdot6^1+1\cdot6^0)=6^{120}+6^9-131\).
Для начала выполним сложение:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10..0..0000000000\\ 1000000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{109}1000000000 \end{array} \end{array}\]
Вычтем из полученного 131:
\[\begin{array}{r}
-
\begin{array}{r}
_{\cdot\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,6}\\
10..01000000000\\
131\\
\end{array}\\
\hline
\begin{array}{r}
1\underbrace{0...0}_{110}555555425
\end{array}
\end{array}\\\]
Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.
Решите уравнение: \(11_7+x=455_6\)
Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Переведем числа в десятичную систему счисления:
\(11_7=1\cdot7^0+1\cdot7^1=8_{10}\)
\(455_6=5\cdot6^0+5\cdot6^1+4\cdot6^2=179_{10}\)
Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:
\(8+x=179\)
\(x=179-8=171\)
Решите уравнение: \(22_3+x=33_4\)
Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Переведем числа в десятичную систему счисления:
\(22_3=2\cdot3^0+2\cdot3^1=8_{10}\)
\(33_4=3\cdot4^0+3\cdot4^1=15_{10}\)
Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:
\(8+x=15\)
\(x=15-8=7\)