Уравнения и сложные задачи на системы счисления (страница 5)

Переведём числа в десятичную систему счисления:

\(1010001_2=2^6+2^4+1=65+16+1=81_{10}.\)

\(31_6=3\cdot6^1+1\cdot6^0=18+1=19_{10}.\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(x^2-81=19\)

\(x^2=19+81=100\)

\(x=\pm10\)

Наибольший корень \(x=10_{10}=1\cdot3^1+1\cdot3^0=13_3.\)

Приведем к общему основанию:

\(5^{40}+5^{15}-5^{9}\)

Переведем в пятеричную систему счисления и получим:

\(1\underbrace{000...000}_{40} +1\underbrace{000...000}_{15}-1\underbrace{000...000}_{9}\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{24}1\underbrace{00000...00000}_{15}\\ \ 1\underbrace{00..00}_{9} \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{24}0444444\underbrace{00..00}_{9} \end{array} \end{array}\]

Приведем к общему основанию:

\(9^{215}+27^{65}-81^{4} = (3^2)^{215} + (3^3)^{65} - (3^4)^4 = 3^{430} + 3^{195} - 3^{16}\)

Переведем в троичную систему счисления и получим:

\(1\underbrace{000...000}_{430} +1\underbrace{000...000}_{195}-1\underbrace{000...000}_{16}\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{234}1\underbrace{000...000}_{179}\underbrace{000...000}_{16}\\ \ 1\underbrace{000...000}_{16} \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{234}0\underbrace{222...222}_{179}\underbrace{000...000}_{16} \end{array} \end{array}\]

Переведем в десятичную систему счисления:

\(22_{3}=8_{10}\)

\(100_{2}=4_{10}\)

Вычислим:

\(8x^{2}-12x+4=0\)

\(x1=0,5\)

\(x2=1\)

Переведем в двоичную систему счисления наименьший корень

\(0,5_{10}=0,1_{2}\)

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: \(2^{1024}+4^5+2=2^{1024}+({2^2})^5+2^1=2^{1024}+2^{10}+2^1.\) В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{1024}+1\overbrace{0...000}^{10}+10.\)
Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{1013}1\underbrace{0...000}_{8}10 \end{array} \end{array}\]

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, а 117, поскольку оно не является степенью пятерки, перевдем в пятеричную систему счисления, получим:
\(5^{14}+25^3-117=5^{14}+({5^2})^3-(4\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0)=5^{14}+5^6-432.\)
Для начала выполним сложение:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_71000000 \end{array} \end{array}\] Вычтем из полученного 432:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,4\,4\,4\,5}\\ 10...01000000\\ 432\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_8444013 \end{array} \end{array}\\\] Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы(она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до последней цифры.

Если число оканчивается цифрой 0, это значит, что оно делится на основание системы счисления без остатка. Значит, необходимо найти наименьшее число, которое кратко как 4, так и 6 - это число 12.