Геометрическая прогрессия

Из формулы следует, что \(b_{5}=\frac{1}{9} \cdot 3^5\) или \(b_{5}=27\).

В общем виде формула \(n\)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Приведем данную в условии формулу к этому виду: \[b_n=\dfrac34\cdot (-2)\cdot (-2)^{n-1}=-\dfrac32\cdot (-2)^{n-1}\] Следовательно, \(b_1=-\frac32\), \(q=-2\).

Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых \(n\) членов: \[S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1\] Следовательно, \[S_{10}=\dfrac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}\cdot \left(-\dfrac32\right)= \dfrac{1024-1}3\cdot \dfrac32=511,5\]

По формуле \(n\)-го члена \(40,5=0,5 \cdot q^4\), откуда \(q^4=81\) или \(q=3\).

Воспользуемся формулой \(n\)-го члена прогрессии \(b_n=a_1 \cdot q^{n-1}\), где \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.

\[\begin{aligned} b_{6} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^5,\\ b_{6} = 16 \cdot \frac{1}{32},\\ b_{6} = 0,5. \end{aligned}\]

Воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов прогрессии \(S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\), где \(й\) — знаменатель геометрической прогрессии.

\[\begin{aligned} S_{10} = \frac{4(1-(-2)^6)}{1-(-2)},\\ S_{13} = \frac{-252}{3},\\ S_{13} = -84. \end{aligned}\]

Найдем знаменатель этой прогрессии \(q=0,6:0,2=3\).

Значит, \(b_{7}= b_1 \cdot q^6 = 0,2 \cdot 3^6 =145,8\).

Из условия следует, что знаменатель прогрессии \(q = b_{n+1}: b_n = \frac{1}{4}\).

Тогда по формуле \(n\)-го члена \(b_5=\frac{288}{4^4}=1,125\).