Геометрическая прогрессия (страница 2)
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\), знаменатель которой равен \(\frac{1}{2}\) а \(b_1=16\).
Найдите \(b_{6}\).
Воспользуемся формулой \(n\)-го члена прогрессии \(b_n=a_1 \cdot q^{n-1}\), где \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.
\[\begin{aligned} b_{6} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^5,\\ b_{6} = 16 \cdot \frac{1}{32},\\ b_{6} = 0,5. \end{aligned}\]
О геометрической прогрессии известно, что \(b_1=0,5\) и \(b_5 = 40,5\). Найдите разность этой прогрессии при условии, что она отрицательная.
По формуле \(n\)-го члена \(40,5=0,5 \cdot q^4\), откуда \(q^4=81\) или \(q=3\).
Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана условием \(b_n=\frac34\cdot (-2)^n\). Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
В общем виде формула \(n\)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Приведем данную в условии формулу к этому виду: \[b_n=\dfrac34\cdot (-2)\cdot (-2)^{n-1}=-\dfrac32\cdot (-2)^{n-1}\] Следовательно, \(b_1=-\frac32\), \(q=-2\).
Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых \(n\) членов: \[S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1\] Следовательно, \[S_{10}=\dfrac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}\cdot \left(-\dfrac32\right)= \dfrac{1024-1}3\cdot \dfrac32=511,5\]
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\), знаменатель которой равен \(2\), а \(b_1=140\). Найдите \(b_4\).
Используя формулу \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) для геометрической прогрессии, где \(q\) – знаменатель, получаем \(b_4=b_1\cdot q^3=140\cdot 8=1120\).
(Для решения этой задачи достаточно знать, что такое геометрическая прогрессия – последовательность, где каждый следующий член в \(q\) (знаменатель) раз больше, чем предыдущий. Тогда можно найти \(b_2=b_1\cdot q=280\), \(b_3=b_2\cdot q=560\), \(b_4=b_3\cdot q=1120\). Но это долго.)
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель равен \(4\), а \(b_1=\frac18\). Найдите сумму первых пяти ее членов.
Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых \(n\) членов: \[S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1\] Следовательно, \[S_5=\dfrac{1-4^5}{1-4}\cdot \dfrac18=\dfrac{1024-1}{3\cdot 8}=\dfrac{341}8= 42,625\]
(Для решения этой можно было последовательно вычислять члены прогрессии: \(b_2=\frac12\), \(b_3=2\), \(b_4=8\), \(b_5=32\). Тогда \(S_5=\frac18+\frac12+2+8+32=42,625\). Таким способом вычисления даже легче. НО только в случае, когда нужно находить не очень большое количество членов прогрессии.)
О геометрической прогрессии \((b_n)\) известно, что \(b_5=\frac23\), \(b_8=\frac94\). Найдите знаменатель прогрессии.
Если \(q\) – знаменатель геометрической прогрессии, то \(b_6=b_5\cdot q\), \(b_7=b_6\cdot q=b_5\cdot q^2\), \(b_8=b_5\cdot q^3\). Следовательно, \[q^3=\dfrac{b_8}{b_5}=\dfrac{\frac94}{\frac23}=\dfrac{27}8\] Следовательно. \(q=\frac32=1,5\).
О геометрической прогрессии \((b_n)\) известно, что \(b_5=1\), \(b_7=\frac14\). Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что он положительный.
Если \(q\) – знаменатель геометрической прогрессии, то \(b_6=b_5\cdot q\), \(b_7=b_6\cdot q=b_5\cdot q^2\). Следовательно, \[q^2=\dfrac{b_7}{b_5}=\dfrac14\] Так как \(q>0\), то \(q=\frac12=0,5\).
