Квадратичная функция

Общее уравнение параболы имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где знак \(a\) зависит от направления ветвей параболы, \(c\) — точка пересечения графика с осью \(y\).

У данной функции \(a>0\) — ветви направленны вверх, поэтому варианты 1) и 2) точно не подходят.

Так как график пересекает ось \(y\) ниже нуля, то \(c<0\). Подходит вариант 4).

Коэффициент \(c\) отвечает за ординату точки пересечения параболы с осью \(Oy\) (то есть любая парабола вида \(y=ax^2+bx+c\) проходит через точку \(A(0;c)\)). (Действительно, если подставить в \(y=ax^2+bx+c\) вместо \(x=0\), то получим \(y=0+0+c=c\).)
Данная парабола пересекает ось \(Oy\) в точке \(y=-1\). Следовательно, \(c=-1\).

Абсцисса вершины параболы \(y=ax^2+bx+c\) ищется по формуле \(x_0=\dfrac{-b}{2a}\). Следовательно, если \(x_0>0\), то \(\frac ba<0\), и наоборот. На нашем рисунке у параболы \(x_0>0\), следовательно, \(\frac ba<0\), откуда также следует, что и \(ab<0\). Тогда ответ \(-1\).

Заметим, что парабола проходит через точки: \(A(-1;1)\), \(B(-2;-3)\), \(C(-3; -5)\).



Следовательно, можно составить систему: \[\begin{cases} 1=a-b+c\\ -3=4a-2b+c\\ -5=9a-3b+c \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое, из третьего первое и получим новую систему: \[\begin{cases} -4=3a-b\\ -6=8a-2b \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 8=-6a+2b\\ -6=8a-2b \end{cases}\] Сложим два полученных уравнения, тогда \(2=2a\), откуда \(a=1\).

Из рисунка видно, что абсцисса вершины параболы равна \(x_0=-1\). Следовательно, \(-\frac b{2a}=-1\), откуда \(b=2a\) (*).
Ордината вершины параболы равна \(y_0=-3\), следовательно, \(-3=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\), откуда \(-3=a-b+c\) (**).
Так как парабола пересекает ось \(Oy\) в точке \(y=-1\), то есть проходит через точку \((0;-1)\), то \(-1=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\), откуда \(c=-1\).
(Коэффициент \(c\) отвечает за ординату точки пересечения параболы с осью \(Oy\) (то есть любая парабола вида \(y=ax^2+bx+c\) проходит через точку \(A(0;c)\)). Действительно, если подставить в \(y=ax^2+bx+c\) вместо \(x=0\), то получим \(y=0+0+c=c\).)
Подставляя в (**) \(c=-1\), получим \(-3=a-b-1\). Отсюда выразим \(a=b-2\) и подставим в \(b=2a\): \(b=2b-4\), откуда \(b=4\), \(a=2\).

Общее уравнение параболы имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где знак \(a\) зависит от направления ветвей параболы, \(c\) — точка пересечения графика с осью \(y\).

Только у графика B ветви направлены вниз, значит, только ему соответствует уравнение, где \(a<0\), то есть 2).

Рассмотрим графики A и C. Первый из них имеет отрицательную координату \(x\) вершины параболы, а второй — положительную.

Найдем координату вершины параболы, заданной уравнением 1).

\[x_{\text{верш} }= -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}<0.\]

Значит, графику A соответствует формула 1). Графику C соответствует формула 3).

Выберем 3 точки, принадлежащие графику функции, и имеющие целые координаты: (1;0), (2;1) и (3;-4).

Поочередно подставим пары значений \((x;y)\) в общее уравнение параболы. Затем решим полученную систему из трех уравнений относительно \(a, b, c\).

\[\begin{cases} 0 = a+b+c,\\ 1 =4a+2b+c,\\ -4 =9a+3b+c. \end{cases}\]

Выразим \(c = -a-b\) из первого уравнения и подставим в остальные.

\[\begin{cases} 1 =4a+2b-a-b, \\ -4 =9a+3b-a-b. \end{cases}\]

\[\Rightarrow\] \[\begin{cases} 1 =3a+b,\\ -4 =8a+2b. \end{cases}\]

Умножим обе части первого уравнения на 2, а затем вычтем полученное уравнение из второго.

\[\begin{cases} 2 =6a+2b,\\ -4 =8a+2b. \end{cases}\]

Откуда \(-6=2a\) или \(a=-3\). Тогда \(b=1-3a=10\).