Равнобедренный треугольник
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 32^{\circ}\), \(\angle B =
70^{\circ}\). На продолжении стороны \(AC\) за точку \(C\) отложен отрезок \(CK = BC\). Найдите \(\angle K\) треугольника \(BCK\). Ответ дайте в градусах.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(CK = BC\), то \(\angle CBK = \angle K\).
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle BCK = \angle A + \angle ABC = 32^{\circ} + 70^{\circ} = 102^{\circ}\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BCK + \angle CBK + \angle K = 180^{\circ}\), но \(\angle CBK = \angle K\), тогда \(102^{\circ} + 2\cdot \angle K = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle K = 39^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 51^{\circ}\), \(\angle C =
77^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(P\) – такая точка на \(AB\), что \(PB = BC\). Найдите \(\angle ADP\). Ответ дайте в градусах.
Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 51^{\circ} - 77^{\circ} = 52^{\circ}\). Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD = 0,5\cdot \angle ABC = 26^{\circ}\).
Треугольники \(PBD\) и \(CBD\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle PDB = \angle CDB\). \(\angle CDB = 180^{\circ} - \angle CBD - \angle C = 180^{\circ} - 26^{\circ} - 77^{\circ} = 77^{\circ}\), тогда \(\angle PDC = 2\cdot \angle CDB = 154^{\circ}\). Тогда \(\angle ADP = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 40^{\circ}\), \(\angle B =
110^{\circ}\), \(AM\) – биссектриса, \(N\) – такая точка на \(AC\), что \(AB = AN\). Найдите \(\angle CMN\). Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}\). Так как \(AM\) – биссектриса, то \(\angle MAN =\cdot \angle BAM = 15^{\circ}\).
Треугольники \(ABM\) и \(ANM\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle BMA = \angle AMN\). \(\angle BMA = 180^{\circ} - \angle BAM - \angle B = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 110^{\circ} = 55^{\circ}\), тогда \(\angle BMN = 2\cdot \angle BMA = 110^{\circ}\). Тогда \(\angle CMN = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 52^{\circ}\), \(\angle C =
71^{\circ}\). На продолжении стороны \(BC\) за точку \(B\) отложен отрезок \(BD = AB\). Найдите \(\angle D\) треугольника \(ABD\). Ответ дайте в градусах.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(AB = BD\), то \(\angle BAD = \angle D\).
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle ABD = \angle C + \angle BAC = 71^{\circ} + 52^{\circ} = 123^{\circ}\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle D + \angle BAD + \angle ABD = 180^{\circ}\), но \(\angle BAD = \angle D\), тогда \(2\cdot \angle D + \angle ABD = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle D = 28,5^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(AC = BC\), \(BD\) – высота, \(\angle ABD =
25^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(BD\) – высота, то \(\angle ADB = 90^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}\). \(\angle ABD = 25^{\circ}\), тогда \(\angle A = 65^{\circ}\).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle CBA = \angle A = 65^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle CBA = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 65^{\circ} = 50^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(AD\) – высота, \(\angle CAD =
19^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(AD\) – высота, то \(\angle CDA = 90^{\circ}\), тогда \(\angle CAD + \angle C = 90^{\circ}\). \(\angle CAD = 19^{\circ}\), тогда \(\angle C = 71^{\circ}\).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle CAB = \angle C = 71^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle B = 180^{\circ} - \angle C - \angle CAB = 180^{\circ} - 71^{\circ} - 71^{\circ} = 38^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 22^{\circ}\), \(\angle C =
40^{\circ}\), \(BE\) – биссектриса внешнего угла при вершине \(B\), при этом точка \(E\) лежит на продолжении стороны \(AC\). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) выбрана точка \(D\), таким образом, что \(BC
= BD\). Найдите \(\angle CED\). Ответ дайте в градусах.
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle CBD = \angle A + \angle ACB = 22^{\circ} + 40^{\circ} = 62^{\circ}\).
Так как \(BE\) – биссектриса \(\angle CBD\), то \(\angle CBE = 0,5 \cdot \angle CBD = 31^{\circ}\).
\(\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 140^{\circ}\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BEC = 180^{\circ} - \angle CBE - \angle BCE = 9^{\circ}\).
Треугольники \(BCE\) и \(BDE\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle CED = 2\cdot \angle BEC = 18^{\circ}\).
