Равнобедренный треугольник (страница 2)
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 51^{\circ}\), \(\angle C =
77^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(P\) – такая точка на \(AB\), что \(PB = BC\). Найдите \(\angle ADP\). Ответ дайте в градусах.
Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 51^{\circ} - 77^{\circ} = 52^{\circ}\). Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD = 0,5\cdot \angle ABC = 26^{\circ}\).
Треугольники \(PBD\) и \(CBD\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle PDB = \angle CDB\). \(\angle CDB = 180^{\circ} - \angle CBD - \angle C = 180^{\circ} - 26^{\circ} - 77^{\circ} = 77^{\circ}\), тогда \(\angle PDC = 2\cdot \angle CDB = 154^{\circ}\). Тогда \(\angle ADP = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(BM\) – высота, причем \(AM = MC\), \(\angle ABM = 28^{\circ}\). Найдите \(\angle ABC\). Ответ дайте в градусах.
в треугольниках \(ABM\) и \(BMC\):
\(AM = MC\),
\(\angle AMB = \angle BMC\),
\(MB\) – общая,
тогда треугольники \(ABM\) и \(BMC\) равны по двум сторонам и углу между ними и, значит, \(AB = BC\), то есть треугольник \(ABC\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой, значит \(\angle MBC = \angle ABM = 28^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 2\cdot \angle ABM = 56^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(BN\) и \(CM\) – медианы, \(P\) – точка пересечения \(BN\) и \(CM\), \(\angle PBC = 35^{\circ}\), \(\angle BPC = 110^{\circ}\), \(AB = 4\). Найдите \(NC\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle PCB = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 35^{\circ} = 35^{\circ} = \angle PBC\), значит, треугольник \(PBC\) – равнобедренный и \(PB = PC\).
В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Так как \(PB = PC\), то \(MP = 0,5\cdot PC = 0,5 \cdot PB = PN\).
\(\angle MPB\) и \(\angle NPC\) – вертикальные, а значит, равные.
Таким образом, треугольники \(MPB\) и \(PNC\) – равны (по двум сторонам и углу между ними), тогда \(NC = MB = 0,5\cdot AB = 2\).
В треугольнике \(ABC\): \(BF\) и \(AE\) – медианы, \(AE = BF\), \(O\) – точка пересечения \(BF\) и \(AE\), \(\angle FOE = 147^{\circ}\). Найдите \(\angle ABO\). Ответ дайте в градусах.
\(\angle AOB = \angle FOE = 147^{\circ}\) (как вертикальные).
В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Так как \(AE = BF\), то \(AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}BF = BO\), тогда треугольник \(ABO\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle OAB = \angle ABO\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(180^{\circ} = \angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 2\cdot \angle ABO + 147^{\circ}\), откуда \(\angle ABO = 16,5^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(BM\) и \(CN\) – медианы, \(BM = CN\), \(O\) – точка пересечения \(BM\) и \(CN\), \(\angle OBC = 36^{\circ}\). Найдите \(\angle BOC\). Ответ дайте в градусах.
В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Так как \(BM = CN\), то \(BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}CN = CO\), тогда треугольник \(BOC\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle OCB = \angle OBC = 36^{\circ}\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 36^{\circ} = 108^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CD\) – высота, \(AC =
BC\), \(AB = 33\). Найдите \(CD\).
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой, тогда \(BD = 0,5\cdot AB = 16,5\).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle DBC = \angle BAC = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}\).
Так как \(CD\) – биссектриса, \(\angle DCB = 45^{\circ}\), то есть в треугольнике \(DCB\) углы при основании \(BC\) равны, тогда треугольник \(DCB\) – равнобедренный и \(CD = BD = 16,5\).
В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(BM\) – биссектриса, \(AC = 5\). Найдите \(AM\).
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда \(BM\) – медиана и \(AM = MC\). Таким образом, \(5 = AC = AM + MC = 2\cdot AM\), откуда находим \(AM = 2,5\).
