Поиск точек экстремума у произведения (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Если функция задана как произведение двух других функций, то \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\[\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{1} & c & 0\\&&\\
\textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\
\textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\
\textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\
\textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\
\textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\
\textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\
\textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex]
\hline
\end{array} \quad \quad \quad \quad
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\
\textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\
\textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\
\textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex]
\hline
\end{array}\]
Найдите точку локального максимума функции
\(y = \pi x\cdot e^{-x} + \pi^{2017}\).
1) \(y' = \pi e^{-x} - \pi x\cdot e^{-x} = \pi (1 - x)e^{-x}\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\pi (1 - x)e^{-x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] (так как \(e^{-x} > 0\) при любом \(x\)). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку локального минимума функции
\(y = \sin(\pi x)\cdot \cos(\pi x)\), лежащую на \(\left[-\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{6}\right]\).
1) \(y' = \pi\cos^2(\pi x) - \pi\sin^2(\pi x) = \pi(\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) = \pi\cos(2\pi x)\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\pi\cos(2\pi x) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos(2\pi x) = 0,\] откуда находим \(2\pi x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\), что равносильно \(x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) (их бесконечно много, но они чередуются):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на отрезке \(\left[-\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{6}\right]\):
4) Эскиз графика \(y\) на отрезке \(\left[-\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{6}\right]\):
Таким образом, \(x = -0,25\) – точка локального минимума функции \(y\) на отрезке \(\left[-\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{6}\right]\).
