Задачи на квадрат

\(AD = CD\); по теореме Пифагора находим: \(AС^2 = AD^2 + CD^2 = 2\cdot AD^2\), тогда \(AD^2 = 50\), но площадь квадрата \(ABCD\) и равна \(AD^2\).

Пусть \(E\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\).

В квадрате диагонали равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, тогда \(AE = ED\) и \(\angle DAE = \angle EDA\).

Так как квадрат является и ромбом, то в квадрате диагонали делят углы пополам, тогда \(\angle DAE = 0,5 \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}\), тогда \(\angle AED = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}\).

В треугольнике \(ADE\) опустим из \(E\) высоту \(EF\) на \(AD\) (длина \(EF\) и есть расстояние от точки \(E\) до стороны). Так как \(AE = ED\), то \(EF\) является и медианой, но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(EF = 0,5\cdot AD\).

Аналогично остальные расстояния от \(E\) до сторон квадрата равны половине стороны квадрата, тогда \(AD = 10\), следовательно, площадь квадрата \(ABCD\) равна 100.

Если сумма диагоналей равна \(2\sqrt2\), а диагонали квадрата равны, то одна диагональ равна \(\sqrt2\). Т.к. диагональ квадрата в \(\sqrt2\) раз больше стороны, то сторона равна \(1\) \(\Rightarrow\) периметр равен \(4\).

Если сумма диагоналей равна \(4\), а диагонали квадрата равны, то каждая диагональ равна \(2\). Так как площадь квадрата, как и ромба, равна полупроизведению диагоналей, то площадь равна \(\frac{1}{2}\cdot2\cdot2 = 2\).

Сторона квадрата равна \(2:4 = 0,5\) \(\Rightarrow\) его площадь равна \(0,5\cdot0,5 = 0,25\).

Пусть \(AB=x\) – сторона квадрата, тогда \(x^2 = 1\) \(\Rightarrow\) \(x = 1\). Периметр квадрата равен \(4\cdot x = 4\cdot1 = 4\).

Отрезок \(KL\), соединяющий середины \(AB\) и \(AD\), является средней линией в \(\triangle ABD\) \(\Rightarrow\) \(2\cdot KL = BD\) \(\Rightarrow\) диагональ \(BD = 6 = AC\) \(\Rightarrow\) \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot6\cdot6 = 18\).