Ромб и его свойства

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда \(\angle CDB = 90^{\circ} - \angle ACD = 64^{\circ}\).

\(BC = CD\), тогда \(\angle CBD = \angle CDB = 64^{\circ}\).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то \(\angle ABD = \angle CBD = 64^{\circ}\).

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), то сумма острого и тупого углов ромба равна \(180^{\circ}\).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\).

Треугольник \(ABD\) – равнобедренный, один из углов которого равен \(60^{\circ}\), тогда треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 2\sqrt{3}\).

Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда \(OD = 0,5 BD = \sqrt{3}\), следовательно, по теореме Пифагора находим: \(AO^2 + OD^2 = AD^2\), тогда \(AO^2 + 3 = 12\), откуда находим \(AO = 3\). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, \(AC = 6\).

Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^{\circ}\), следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\).

Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\), значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.

Пусть в ромбе \(ABCD\): \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH\) – расстояние до стороны \(AB\), \(\angle DAB = 60^\circ\), тогда \(\angle OAB = 30^\circ\). Получаем, что \(OH\) – катет лежащий напротив угла в \(30^\circ\), значит \(AO = 2\cdot OH = 6\). Т.к. \(AC\) и есть большая диагональ, то \(AC = 2\cdot AO = 12\).

Пусть в ромбе \(ABCD\): \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH\) – расстояние до стороны \(AB\), тогда \(S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 4 = 2\). Диагонали ромба делят его на \(4\) равных прямоугольных треугольника \(\Rightarrow\) \(S_{ABCD} = 4\cdot 2 = 8\).

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении \(3:4\). Зная периметр, найдем сторону ромба: \(40 : 4 = 10\). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник \(AOB\).



Пусть \(AO=4x\), \(BO=3x\).
Тогда по теореме Пифагора: \((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2\) \(\Rightarrow\) \(25x^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 4\) \(\Rightarrow\) \(x = 2\). Диагонали равны \(BD=2BO=12\) и \(AC=2AO=16\) \(\Rightarrow\) \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot12\cdot16 = 96\).

Пусть \(\angle B\) и \(\angle B_1\) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как \(3:1\), то можно обозначить их за \(3x\) и \(x\) соответственно.



Тогда и \(\angle D=\angle D_1\) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, \(\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(\triangle ADC\sim\triangle A_1D_1C_1\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен \(3\). Следовательно, их площади относятся как \(9:1\). А так как \(S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}\) и \(S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}\), то \(S_1:S_2=9:1\).