Ромб и его свойства (страница 2)
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).
Свойства ромба:
\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:
\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;
\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\);
\(\blacktriangleright\) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:
\(\blacktriangleright\) все стороны равны;
\(\blacktriangleright\) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;
\(\blacktriangleright\) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.
Площадь ромба
1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.
2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Середины сторон ромба \(ABCD\) являются вершинами четырехугольника \(KLMN\). Середины сторон \(KLMN\) — четырехугольника \(PQRS\). Найдите отношение площади ромба \(ABCD\) к площади четырехугольника \(PQRS\)?
1) По теореме Вариньона \(KLMN\) – параллелограмм. Но т.к. \(KN\parallel BD, KL\parallel AC, BD\perp AC \ \Rightarrow \ KN\perp KL\), значит, \(KLMN\) — прямоугольник, причем \(S_{KLMN}=KN\cdot KL\).
Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то \(S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\). Но \(KN=\frac12 BD, KL=\frac12 AC\) как средние линии, следовательно, \(S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD=2KN\cdot KL=2\cdot S_{KLMN}\).
2) Аналогично \(PQRS\) – параллелограмм. Но, как средние линии, \(PQ=\frac12NL, PS=\frac12 KM\); а \(NL=KM\), значит и \(PQ=PS\). Следовательно, \(PQRS\) – ромб.
Заметим, что \(QS=KN, PR=KL\), значит, \(S_{PQRS}=\frac 12 QS\cdot PR=\frac 12 KLMN\).
Из всего этого следует, что \(S_{ABCD}=4S_{PQRS}\). Значит, отношение равно \(4\).
Площадь ромба равна \(6\). Одна из его диагоналей в три раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Пусть меньшая диагональ равна \(d\), тогда большая равна \(3d\). Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[6=S=0,5\cdot d\cdot 3d\quad\Rightarrow\quad d=2\]
Площадь ромба равна \(18\). Одна из его диагоналей равна \(12\). Найдите другую диагональ.
Пусть \(d\) – диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[18=S=0,5\cdot d\cdot 12\quad\Rightarrow\quad d=3\]
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны \(4\) и \(12\).
Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[S=0,5\cdot 4\cdot 12=24\]
Найдите площадь ромба, если его высота равна \(2\), а острый угол равен \(30^\circ\).
Проведем \(DH\perp AB\).
Так как \(\angle A=30^\circ\), а катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AD=2DH=2\cdot 2=4\). Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно, \[S=DH\cdot AB=4\cdot 2=8\] (\(AB=AD\), так как в ромбе по определению все стороны равны)
В ромбе \(ABCD\) угол \(DAB\) равен \(148^\circ\). Найдите угол \(BDC\). Ответ дайте в градусах.
Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle BDC=\angle BDA\). Так как у ромба все стороны равны, то \(AD=AB\), следовательно, \(\angle BDA=\angle DBA=x\). Тогда \(x+x+\angle DAB=180^\circ\), откуда \[x=(180^\circ-148^\circ):2=16^\circ\]
В ромбе \(ABCD\) угол \(CDA\) равен \(78^\circ\). Найдите угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.
Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle ACB=\angle ACD\). Так как у ромба все стороны равны, то \(AD=DC\), следовательно, \(\angle CAD=\angle ACD=x\). Тогда \(x+x+\angle CDA=180^\circ\), откуда \[x=(180^\circ-78^\circ):2=51^\circ\]
