Квадратные и линейные уравнения (страница 2)
Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne
0, b\) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).
Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne
0,b,c\) – числа.
Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:
\(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня
\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)
\[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.
\(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:
Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения
\[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\]
а произведение
\[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\]
\(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:
\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).
\(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.
\(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} &x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\ &(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\ &(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \end{aligned}\]
Найдите корень уравнения \((x + 8)^2 = x^2 + 8\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(x^2 + 16x + 64 = x^2 + 8\), что равносильно \(16x = -56\), что равносильно \(x = -3,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((2x + 3)^2 = 4x^2 + 9\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 9\), что равносильно \(12x = 0\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Решите уравнение \(3,75x+\dfrac{37}4=\dfrac{2x}3\).
Данное уравнение является линейным. Преобразуем его, заметив, что \(3,75=3\frac34=\frac{15}{4}\):
\[\dfrac{15}4x-\dfrac23x=-\dfrac{37}4 \ \bigg|\cdot 12 \quad\Leftrightarrow\quad 45x-8x=-37\cdot 3\quad\Leftrightarrow\quad 37x=-37\cdot 3 \quad\Leftrightarrow\quad x=-3.\]
Найдите отрицательный корень уравнения \((3-x)(3x+4)=4\).
Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки: \[9x+12-3x^2-4x=4\quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-5x-8=0\]
1 способ.
Дискриминант \(D=25+4\cdot 3\cdot 8=121=11^2\), следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{5+11}{2\cdot 3}=\dfrac83
\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{5-11}{2\cdot 3}=-1.\] Следовательно, отрицательный корень – это \(x=-1\).
2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: \(3+(-8)=-5\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(-5\), следовательно, один из корней \(x_1=-1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-\frac83\)) равен \(x_2=\frac83\).
Решите уравнение \((1-x)^2+1=2(1-x)\).
1 способ.
Раскроем скобки: \[1-2x+x^2+1=2-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad
x=0.\]
2 способ.
Преобразуем: \[(1-x)^2-2(1-x)+1^2=0\quad\Leftrightarrow\quad(1-x-1)^2=0\quad\Leftrightarrow
\quad (-x)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]
Найдите корень уравнения \(\dfrac{4}{7}x^2 = 46\dfrac{2}{7}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После умножения на 7 левой и правой частей имеем \(4x^2 = 324\), что равносильно \(x^2 = 81\), что равносильно \(x = \pm 9\) – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней \(9\).
Найдите корень уравнения \((6,25x + 11)^2 = (6,25x + 9)^2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \((6,25x)^2 + 137,5x + 121 = (6,25x)^2 + 112,5x + 81\), что равносильно \(25x = -40\), откуда \(x = -1,6\) – подходит по ОДЗ.
