Квадратные и линейные уравнения (страница 3)
Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne
0, b\) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).
Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne
0,b,c\) – числа.
Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:
\(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня
\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)
\[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.
\(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:
Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения
\[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\]
а произведение
\[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\]
\(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:
\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).
\(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.
\(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} &x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\ &(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\ &(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \end{aligned}\]
Найдите произведение корней уравнения \((x^2+2)^2=6x^2+4\).
1 способ.
Сделаем замену: \(x^2+2=t\). Тогда \(x^2=t-2\) и уравнение примет вид: \[t^2-6(t-2)-4=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+8=0\] По теореме Виета корнями являются числа \(t=4\) и \(t=2\), следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2+2=2\\&x^2+2=4
\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2=0\\&x^2=2
\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x=0\\&x^2=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, один из корней уравнения равен \(0\), а значит, и произведение корней равно \(0\).
2 способ.
Раскроем скобки: \[x^4+4x^2+4=6x^2+4\quad\Leftrightarrow\quad x^4-2x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad
x^2(x^2-2)=0\]Следовательно, один из корней уравнения равен \(0\), а значит, и произведение корней равно \(0\).
Найдите положительный корень уравнения \((x^2+1)^2-6x^2-1=0\).
Сделаем замену: \(x^2+1=t\). Тогда \(x^2=t-1\) и уравнение примет вид: \[t^2-6(t-1)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+5=0\] По теореме Виета корнями являются числа \(t=5\) и \(t=1\), следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2+1=1\\&x^2+1=5 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2=0\\&x^2-4=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\&(x-2)(x+2)=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\&x=2\\&x=-2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, положительный корень – это \(x=2\).
Найдите больший корень уравнения \(x^2-x-40200=0\).
Данное уравнение является квадратным.
1 способ.
Дискриминант \(D=1+4\cdot 40200=160\,801\). Найдем, квадрат какого числа равен \(160\,801\). Заметим, что \(400^2=160\,000\), следовательно, \(\sqrt{160\,801}\) чуть больше, чем \(400\). Подбором убеждаемся, что \(401^2=160\,801\). Следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{1+401}{2}=201
\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{1-401}{2}=-200.\] Следовательно, больший корень – это \(x=201\).
2 способ.
Найдем корни по теореме Виета. Заметим, что их произведение равно \(-40200\), то есть отрицательно. Следовательно, они разных знаков, например \(a\) и \(-b\) (где \(a, b>0\)). Заметим, что их сумма равна \(1\), следовательно, \(a-b=1\). Попробуем найти \(a\) и \(b\).
Заметим, что \(40200=402\cdot 100=201\cdot 2\cdot 100\). Таким образом, если взять числа \(201\) и \(200\), то их разность равна \(1\).
Минус следует отнести к \(200\), то есть \(x_1=201\), \(x_2=-200\).
Найдите корень уравнения \(-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{4e}}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
\[-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}x = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}.\] Разделим левую и правую часть уравнения на \(-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}\). После деления: \(x = -\dfrac{1}{2}\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения
\[\begin{aligned} \sqrt{3}x^2 - (3\sqrt{3} + 3)x + 9 + f(\sqrt{3}x) = f(\sqrt{3}x), \end{aligned}\]
если \(f(z)\) – некоторая функция, определённая всюду, кроме \(z = 3\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: \(\sqrt{3}x \neq 3\), что равносильно \(x\neq\sqrt{3}\). Решим на ОДЗ: \[\sqrt{3}x^2 - (3\sqrt{3} + 3)x + 9 = 0.\] Разделим на \(\sqrt{3}\): \[x^2 - (3 + \sqrt{3})x + 3\sqrt{3} = 0,\] тогда по теореме Виета \(x_1 + x_2 = 3 + \sqrt{3}\), \(x_1\cdot x_2 = 3\sqrt{3}\), откуда \(x_1 = 3\), \(x_2 = \sqrt{3}\), но по ОДЗ подходит только \(x = 3\).
Найдите корень уравнения
\[\begin{aligned} \sqrt{\pi}x^2 - 6\sqrt{\pi}x + 4\sqrt{\pi} + \phi\left(\dfrac{\pi}{x}\right) = \phi\left(\dfrac{\pi}{x}\right) - 4\sqrt{\pi}, \end{aligned}\]
если \(\phi(z)\) – некоторая функция, определённая всюду, кроме \(z = \dfrac{\pi}{4}\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq 0\) и \(\dfrac{\pi}{x} \neq \dfrac{\pi}{4}\), что равносильно \(0\neq x\neq 4\). Решим на ОДЗ: \[\sqrt{\pi}x^2 - 6\sqrt{\pi}x + 4\sqrt{\pi} = - 4\sqrt{\pi}.\] Разделим на \(\sqrt{\pi}\): \[x^2 - 6x + 4 = -4\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 6x + 8 = 0.\] Дискриминант \(D = 36 - 32 = 4\), откуда \[x_1 = \dfrac{6 + 2}{2} = 4, \ x_2 = \dfrac{6 - 2}{2} = 2,\] но по ОДЗ подходит только \(x = 2\).
Найдите корень уравнения
\[\begin{aligned} g(\sin x) + \ln\pi\cdot x^2 - 8\ln\pi\cdot x + 17\ln\pi = g(\sin x) + 2\ln\pi, \end{aligned}\]
если \(g(z)\) – некоторая функция, определённая всюду, кроме \(z = \sin 3\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: \(\sin x \neq \sin 3\), что равносильно \(\pi - (3 - 2\pi) + 2\pi k\neq x \neq 3 - 2\pi + 2\pi k\). Решим на ОДЗ: \[\ln\pi\cdot x^2 - 8\ln\pi\cdot x + 17\ln\pi = 2\ln\pi.\] Разделим на \(\ln{\pi}\): \[x^2 - 8x + 17 = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 8x + 15 = 0.\] Дискриминант \(D = 64 - 60 = 4\), откуда \[x_1 = \dfrac{8 + 2}{2} = 5, \ x_2 = \dfrac{8 - 2}{2} = 3,\] но по ОДЗ подходит только \(x = 5\).
