Электростатика (страница 2)
Закон сохранения электрического заряда
В замкнутой системе тел алгебраическая сумма зарядов остается неизменной при любых процессах, происходящих с этими телами:
\[q_1+q_2+...+q_n=const\]
Закон Кулона в вакууме
Сила взаимодействия двух неподвижных точечный зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению абсолютных величин зарядов \(q_1\) и \(q_2\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) между ними.
\[F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\]
Где \(k=9\cdot 10^9\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.
\[k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\]
\(\varepsilon_0=8,85\cdot10^{-12}\ \dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}\) — электрическая постоянная.
Закон Кулона в диэлектрике
\[F=k\dfrac{q_1q_2}{\varepsilon r^2}\]
Напряженность электрического поля — это отношение вектора силы \(\vec{F}\), с которой поле действует на пробный заряд \(q\), к самому пробному заряду с учетом его знака.
\[\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q}\]
Единицы измерения: \(\displaystyle \Big[\dfrac{\text{В}}{\text{м}}\Big]\) (вольт на метр).
Линии напряженности всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
Напряженность электростатического поля точечного заряда Q в точке A, удаленной на расстояние \(r\) от заряда \(Q\), определяется формулой:
\[E=\dfrac{k\cdot |Q|}{r^2}\]
Напряженность заряженной бесконечной пластины где \(\sigma\):
\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]
Принцип суперпозиции полей
Пусть заряды \(\displaystyle q_1, q_2, q_3,... , q_n\) по отдельности создают в данной точке поля \(\vec{E}_1\), \(\vec{E}_2\),...,\(\vec{E}_n\). Тогда система этих зарядов создает в данной точке поле \(\vec{E}\), равное векторной сумме напряженностей полей отдельных зарядов.
\[\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+...+\vec{E}_n\]
Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют \(\varphi\) электрического поля:
\[\varphi=\dfrac{W_p}{q}\]
Единицы измерения: \(\displaystyle [\text{В}]\) (Вольт).
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.
Работа поля по перемещению заряда:
\[A_{\text{эл}}=q(\varphi_1-\varphi_2)=qU\]
Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется .
Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда \(q\) одного из проводников к разности потенциалов \(\Delta \varphi\) между ними:
\[C=\dfrac{q}{\Delta \varphi}\]
Единицы измерения: \(\displaystyle [\text{Ф}]\) (фарад).
Плоский конденсатор — система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.
Электроемкость плоского конденсатора
\[C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}\]
Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в \(\varepsilon\) раз:
\[C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}\]
Последовательное соединение конденсаторов
\[U=U_1+U_2\]
\[q=q_1=q_2\]
\[\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\]
Параллельное соединение конденсаторов
\[U=U_1=U_2\]
\[q=q_1+q_2\]
\[C=C_1+C_2\]
Энергия заряженного конденсатора
\[W=\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{qU}{2}=\dfrac{CU^2}{2}\]
На расстоянии \(r\) друг от друга находятся два положительно заряженных шарика. Модуль силы их электрического взаимодействия равен \(F_1\). Если эти шарики привести в соприкосновение, а затем расположить на расстоянии \(r_2\) друг от друга, то модуль силы их электрического взаимодействия станет равным \(F_2\). Отношение \(F_2\) к \(F_1\) равно 4,5. Чему равно отношение \(\dfrac{r_2}{r}\), если известно, что в первоначальном состоянии заряд первого шарика был больше заряда второго в 3 раза? Ответ округлить до десятых.
Пусть заряд второго шарика равен \(q\), тогда заряд первого равен \(3q\). После соприкосновения шариков их заряды распределились поровну и стали равны каждый \(q_2=\dfrac{3q+q}{2}=2q\).
По закону Кулона для начального и конечного положений шариков:
\[\begin{cases} F_1=k\cdot\dfrac{|q\cdot 3q|}{r^2} \\ F_2=k\cdot\dfrac{|2q\cdot 2q|}{r_2^2} \end{cases} \Rightarrow~~ \dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{4r^2}{3r_2^2}\]
Подставим значения: \[4,5=\dfrac{4r^2}{3r_2^2}~~\Rightarrow~~\dfrac{r_2}{r}\approx0,5\]
С какой электрической силой взаимодействуют в вакууме два неподвижных положительно заряженных шарика, находящихся на расстоянии 7 см друг от друга? Заряд каждого шарика \(q=9\) нКл. Ответ выразите в мкН и округлите до целых.
Введем обозначения величин: \(F\) — сила электрического взаимодействия шариков; \(q_1\) и \(q_2\) — первый и второй заряды соответственно; \(r\) — расстояние между зарядами.
По закону Кулона: \[F=k\dfrac{|q_1\cdot q_2|}{r^2}=k\dfrac{q^2}{r^2}=9\cdot 10^9 \cdot\dfrac{\text{Н}\cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}\cdot \dfrac{(9\cdot 10^{-9}\text{ Кл})^2}{(7\cdot 10^{-2}\text{ м})^2}\approx 149\text{ мкН }\]
Потенциал точки, находящейся на поверхности заряженной проводящего шара радиуса 12 см, равен 12 В. Найдите потенциал в центре шара. Ответ дайте в В
Потенциал внутри проводника равно потенциалу на поверхности проводника, следовательно, потенциал в центре шара равен 12 В.
Напряженность в точке \(A\) на поверхности сферы равна 200 В/м . Найдите напряженность в точке \(B\), если она расположена диаметрально противоположно точке \(A\)
Напряженность на поверхности проводника во всех местах одинаковая, следовательно, напряженность в точке \(B\) равна 200 В/м.
Проводящий шар радиусом \(r=6\) см имеет заряд равный 10 нКл. Найдите напряженность в точке \(A\)
Напряженность внутри проводника равна 0.
Потенциал точки, находящейся на поверхности заряженной проводящего шара радиуса 5 см, равен 24 В. Найдите потенциал внутри шара на расстоянии 2,5 см от центра. Ответ дайте в В.
Потенциал внутри проводника равно потенциалу на поверхности проводница, следовательно, потенциал в данном случае равен 24 В.
Два заряженных шарика в вакууме действуют друг на друга с силой Кулона, равной 4 мкН. Шарики погружают в среду, диэлектрическая проницаемость которой равна 2. Чему будет равна сила Кулона между шариками в этой среде, если расстояние между шариками и их заряды остались неизменны? Ответ выразить в мкН.
Введем обозначения: \(F_1\) — сила электрического взаимодействия в вакууме, \(F_2\) — сила электрического взаимодействия в среде, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды первого и второго шариков соответственно, \(r\) — расстояние между шариками.
По закону Кулона для вакуума и среды: \[\begin{cases} F_1=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot\dfrac{|q_1\cdot q_2|}{r^2} \\ F_2=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_0}\cdot\dfrac{|q_1\cdot q_2|}{r^2} \end{cases} ~~\Rightarrow~~ \dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{1}{\varepsilon} ~~\Rightarrow~~ F_2=\dfrac{F_1}{\varepsilon}=\dfrac{4\text{ мкН}}{2}=2\text{ мкН }\]
