Введение в стереометрию. Параллельность

Важные аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: $\pi=(ABC)$(рис. 1).

 

2. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости: $a\in \pi$.
Говорят также, что плоскость содержит прямую: $\pi\subset a$ (рис. 2).

 

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой: $\pi\cap \mu=p$.
Данная прямая $p$ называется линией пересечения плоскостей (рис. 3).

 

Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?

 

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).

 

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

 

Доказательство

1. Действительно, отметим на прямой $a$ некоторые две точки $A$ и $B$. Тогда мы получим три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость $\pi$. А т.к. две выбранные точки $A$ и $B$ прямой лежат в этой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

 

2. Действительно, пусть $O$ – точка пересечения данных прямых $p$ и $q$. Отметим еще по одной точке $P$ и $Q$ на каждой прямой (отличающиеся от точки $O$). Получили три точки $P, Q, O$, не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость $\pi$. А т.к. две точки каждой прямой лежат в этой плоскости, то и все точки каждой прямой будут лежать в этой плоскости.  

$${\Large{\text{Параллельность в пространстве}}}$$

Определения

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 

Следствие 1

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Теорема 1

Через любую точку $A$ в пространстве, не лежащую на данной прямой $b$, проходит прямая $a$, параллельная данной, и притом только одна.

 

Доказательство

Через точку $A$ и прямую $b$ можно провести единственную плоскость (по аксиоме); пусть эта плоскость называется $\pi$. Прямая $a$, параллельная прямой $b$, должна лежать с ней в одной плоскости, а также должна проходить через точку $A$, следовательно, должна лежать в плоскости $\pi$. Но в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (теорема планиметрии), чтд.

 

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

 

Доказательство

Пусть $a\parallel b$ и $a\cap \pi=A$. Докажем, что и $b$ пересечет плоскость $\pi$ (назовем их точку пересечения $B$).

 

Проведем через прямые $a$ и $b$ плоскость $\mu$ (это возможно в силу определения параллельных прямых). Тогда плоскости $\pi$ и $\mu$ имеют общую точку $A$, следовательно, имеют и общую прямую $p$, на которой лежат все их общие точки. Но т.к. $b\parallel a$ и $a\cap p=A$, то прямая $b$ тоже пересекает прямую $p$. Значит, прямая $b$ пересекает и плоскость $\mu$ (это и есть точка $B$).

 

Теорема 3: о параллельности трех прямых

Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, а та в свою очередь параллельна прямой $c$, то $a\parallel c$.

 

Доказательство

1) Отметим некоторую точку $C$ на прямой $c$ и проведем плоскость $\pi$ через прямую $a$ и точку $C$. Прямая $c$ будет лежать в этой плоскости. Действительно, т.к. прямая $c$ и плоскость $\pi$ имеют общую точку $C$, то в противном случае прямая $c$ будет пересекать эту плоскость. Но т.к. $b\parallel c$, то и прямая $b$ будет пересекать $\pi$; а т.к. $a\parallel b$, то и прямая $a$ будет пересекать эту плоскость. А это противоречит нашему построению.

 

2) Теперь прямые $a$ и $c$ лежат в одной плоскости, значит, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны. Предположим, что $c$ пересекает $a$ в точке $A$. Тогда получается, что через точку $A$ проведены две прямые, параллельные прямой $b$, что противоречит теореме 1.  

Определение

Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;

2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;

3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

 

Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая $a$, не лежащая в плоскости $\pi$, параллельна некоторой прямой $p$, лежащей в плоскости $\pi$, то она параллельна данной плоскости (рис. 7).

 

Доказательство

 

Докажем, что прямая $a$ не может пересекать плоскость $\pi$ (случай, что прямая лежит в плоскости, невозможен по условию). Предположим, что это не так. Во-первых, проведем плоскость $\mu$ через прямые $a$ и $p$ (значит, плоскости $\pi$ и $\mu$ пересекаются по прямой $p$). Во-вторых, пусть $a\cap\pi=A$. Т.к. $a\parallel p$, то точка $A$ не может лежать на прямой $p$. Значит, плоскости $\pi$ и $\mu$ имеют еще одну общую точку $A$, не лежащую на их линии пересечения, что противоречит аксиоме 3. Чтд.

 

Следствие 2

Пусть прямая $p$ параллельна плоскости $\mu$. Если плоскость $\pi$ проходит через прямую $p$ и пересекает плоскость $\mu$, то линия пересечения плоскостей $\pi$ и $\mu$ — прямая $m$ — параллельна прямой $p$ (рис. 8).

 

Доказательство

 

Т.к. прямые $m$ и $p$ лежат в одной плоскости $\pi$, то они могут быть либо параллельны, либо пересекаться, либо совпадать. Совпадать они не могут, потому что тогда $p\in \mu$, а это противоречит условию. Если $m\cap p=O$, то $p$ пересекает плоскость $\mu$ в точке $O$, что опять же противоречит условию. Значит, $m\parallel p$.

 

Следствие 3

Если прямые $a$ и $b$ параллельны и прямая $a$ также параллельна плоскости $\alpha$, то и прямая $b$ либо параллельна, либо лежит в плоскости $\alpha$.

 

Определение

Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.

 

Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.

 

Теорема 5: признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

 

Доказательство

Рассмотрим две плоскости $\pi$ и $\mu$ и в них пересекающиеся прямые $a, b$ и $a_1, b_1$ соответственно, такие что $a\parallel a_1, \ b\parallel b_1$. Докажем, что плоскости не имеют общих точек.

 

Предположим, что это не так. Пусть плоскости имеют общую точку, значит они имеют и общую прямую $y$: $\pi\cap \mu=y$. Данная прямая не может быть параллельна обеим прямым $a$ и $b$ (т.к. они все лежат в одной плоскости $\pi$), значит, хотя бы одну из этих прямых она пересекает. Пусть это будет прямая $a$, то есть $a\cap y=Y$. Т.к. прямая $y$ лежит и в плоскости $\mu$, то $Y\in \mu$, то есть прямая $a$ имеет с плоскостью $\mu$ общую точку $Y$. Но это невозможно, т.к. по признаку параллельности прямой и плоскости прямая $a$ параллельна плоскости $\mu$. Чтд.

 

Следствие 4

Если две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены третьей плоскостью $\gamma$, то линии пересечения плоскостей также параллельны:

$$\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b$$

 

Следствие 5

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны:

$$\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2$$