Остатки
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Теоретическая справка
#573
Что такое остаток?
Рассмотрим на примере остатка при делении на 3. Найдем остаток от 7 при
делении на 3. Мы можем вычесть 3 из 7 два раза, таким образом, 
то
есть 1 — остаток от 7 при делении на 3.
Из этого следует, что остатками при делении на 3 могут являться только числа 0, 1 и 2.
Определение Остатком числа 
при делении на 
называют такое число
что 
и 
делится на 
Имеет место представление 
где 
— неполное частное.
Из определения остатка следует, что это целое неотрицательное число, меньшее делителя, то есть при делении, например, на 5 числа могут давать только остатки, равные 0, 1, 2, 3 или 4.
«Одеваем очки по модулю»
Итак, пусть на доске выписаны числа 0, 1, 2, 3 и так далее. Давайте «оденем очки по модулю» (именно «оденем»). Представим, что такие очки позволяют вместо числа видеть его остаток при делении на определенное число. Тогда если мы «оденем очки по модулю 3», то мы увидим следующее:
| Без очков: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
| В очках по модулю 3: | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | … |
Таким образом, на числовой оси остатки располагаются циклично: 0, 1, 2 и так далее.
Арифметика остатков
Мы знаем, что числа можно складывать, вычитать и умножать. Эти же действия можно делать и с остатками. Важно: делить остатки нельзя!
То есть вместо того, чтобы работать с числами, можно проделывать арифметические операции с их остатками по определенному модулю.
Пример: найдем остаток числа 
при делении на 3.
Конечно, можно честно посчитать:
Но если бы числа были большими, то считать не очень хотелось бы. Вместо этого мы можем «одеть очки по модулю 3» и смотреть на остатки чисел: 7 дает остаток 1 при делении на 3, 5 дает остаток 2, 10 дает остаток 1. Тогда
