Принцип крайнего

Под принципом крайнего в математике принято понимать рассуждения, в которых фигурируют объекты с экстремальными свойствами: самый большой, самый длинный, самый правый, и так далее. Эти свойства выбираются исходя из задачи. Собственно, именно в искусстве выбора таких свойств и состоит основная сложность таких задач.

Для начала рассмотрим следующую задачу.

1.  На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что какая-то из ладей бьет не более двух других.

Решение. Рассмотрим самую левую ладью, а если таких несколько — из них самую нижнюю. Рассматриваемая ладья, во-первых, не бьет ни одной фигуры слева от себя, иначе была бы более левая ладья, а также не бьет ни одной фигуры снизу, иначе мы бы выбрали ладью ниже. Поэтому такая ладья бьет не более двух других: сверху и справа.

Как видим, существование ладьи, бьющей не более двух других, вызывает вопросы, а вот существование самой левой ладьи, а из левых ладей — самой нижней, не вызывает никакого удивления. Тем самым мы искусно подменяем понятия и доказываем, что описанная выше ладья подходит под условие задачи.

А вот другой пример, где крайний объект выбирается по-другому. Общее правило выбора крайнего свойства такое: надо понять, где с большими шансами может находиться подходящий объект, а затем аккуратно сформулировать свойства такого объекта.

2.  По кругу выписаны несколько чисел, каждое равно полусумме двух соседних. Докажите, что все числа равны.

Решение. Рассмотрим самое большое из выписанных чисел. Если таких несколько, то рассмотрим любое. Обозначим это число через а его соседей — через и Тогда по условию Но в силу выбора мы имеем два неравенства: и Поэтому равенство возможно только в случае, когда Продолжая рассуждения для числа и его соседей и получаем, что следующее число также равно наибольшему числу. Таким образом мы получим, что все числа равны между собой.

Разумеется, в данном случае отлично подходит и самое маленькое из чисел.

В следующем примере можно воспользоваться полуинвариантом, а можно решить задачу короче с помощью принципа крайнего. Рассмотрим именно второе решение.

3.  Новая футбольная схема тренера Г. предлагает игрокам всегда при получении мяча делать пас ближнему, а самим не двигаться с места. Докажите, что если изначально все попарные расстояния между игроками различны, то рано или поздно какие-то двое будут передавать мяч друг другу.

Решение. Из всех игроков, до которых дошел мяч, выберем двух человек и между которыми расстояние наименьшее. Тогда рано или поздно до кого-то из этих двух, в силу их выбора, дойдет мяч. В этот момент мяч будет переходить только от к и обратно: ведь из всех, до кого доходит мяч, у игрока минимальное расстояние именно до и то же верно для игрока по отношению к Значит, именно эти двое и будут передавать мяч друг другу.

Вот так можно выбирать объекты с экстремальными свойствами и за счет этого решать задачи. При это следует помнить, что здесь очень важно четко формулировать свойства рассматриваемого объекта, тогда решение будет следовать буквально из этих свойств.