Квантовая физика

Постулаты бора. Спектры излучения и поглощения

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Квантовая физика

Теоретическая справка

#595

Предыстория: модель атома Томсона

Первую модель атома предложил Джозеф Джон Томсон в 1904 году.

Модель «пудинга»/«булочки с изюмом»/«кекса»: сфера, равномерно заполненная положительным электричеством, внутри которой находятся электроны. Суммарный заряд этой сферы равен заряду электронов, атом в целом нейтрален.

Идея: существуют твердые тела, следовательно, атом должен быть чем-то заполнен. Данная идея выглядела правдоподобно.

Противоречие: согласно модели Томсона спектр атома должен быть сложным, но никак не линейчатым. Это противоречило экспериментам. Теория строения атома по Томсону была опровергнута экспериментами, проведенными Эрнестом Резерфордом в 1911 году.

Модель атома Резерфорда

На момент экспериментов Резерфорда ученым уже было известно о существовании радиоактивных элементов, законах радиоактивного распада и о трех основных типах распада (альфа-, бета- и гамма-распады), при этом было также известно, что альфа-распад имеет самые тяжелые частицы — ядра гелия.

Резерфорд предположил, что, если направить поток альфа-частиц на тонкую золотую фольгу, состоящую согласно модели атома Томсона из плотно расположенных атомов, то альфа-частицы в теории не должны пройти сквозь нее.

Проведя эксперимент, Резерфорд получил, что рассеянные альфа-частицы ударялись об экран, покрытый сернистым цинком, и вызывали вспышки света.

Большинство альфа-частиц рассеивались на углы порядка 3 $o$ . Отдельные альфа-частицы (одна из нескольких тысяч) отклонялись на большие углы, до 150 $o$ . Такое отклонение возможно лишь при взаимодействии практически точечного положительного заряда — ядра атома — с близко пролетающей альфа-частицей. Малая вероятность отклонения на большие углы говорит о малых размерах ядра.

Вывод: модель атома Томсона не «работает». Положительные и отрицательные частицы не расположены в атоме равномерно. Ядро атома не нейтрально. На основании полученных результатов была предложена планетарная модель атома.

Планетарная модель атома: в середине атома существует плотный клубок частиц, то есть в ядре атома находятся положительно заряженные протоны и нейтральные нейтроны. На значительном расстоянии от ядра по орбитам вокруг него обращаются отрицательно заряженные частицы — электроны.

Так как положительный заряд равен по величине отрицательному, то в целом атом электрически нейтрален. Он не несет никакого заряда. Но само ядро — это сосредоточие положительного заряда.

Противоречие: планетарная модель атома была в явном противоречии с классической электродинамикой. Электрон, двигаясь по окружности с нормальным ускорением, должен излучать энергию, следовательно, замедлять скорость и упасть на ядро. Модель Резерфорда не могла объяснить, почему атом устойчив.

Элементарная теория Бора

Нильс Бор сформулировал идею о дискретности энергетических состояний атомов, построил атомную модель, открыв условия устойчивости атомов. Также ученый создал первую квантовую модель атома, основанную на двух постулатах, которые прямо противоречили классическим представлениям и законам.

I. Первый постулат Бора: атом следует описывать как «пирамиду» стационарных энергетических состояний. Пребывая в одном из стационарных состояний, атом не излучает энергии. Другими словами, электроны в атоме движутся только по определенным (стационарным) орбитам, при этом излучения энергии не происходит.

Условие для стационарных орбит: из всех орбит электрона возможны только те, для которых момент импульса электрона равен целому числу, кратному постоянной Планка. То есть момент импульса электрона квантуется.

|--------| -Le-=-nℏ-|

где $Le$ — момент импульса электрона, $n$ — натуральные числа ( $n = 1,2,3...$ ) $ℏ = h-- 2π$ — приведенная постоянная Планка, $h$ — постоянная Планка.

Квантование в узком смысле — это деление какой-либо физической величины (энергии, момента импульса, электрического заряда и др.) на дискретные порции (кванты), в классической теории эти величины могут иметь только непрерывные значения.

Момент импульса — произведение импульса $p$ и плеча $R$ (для аналогии можно вспомнить момент силы $M = Fl$ ).

|--------| -L =-mvR--

«Исторический» вывод I постулата Бора

Рассмотрим первый и самый простой элемент периодической системы химических элементов — водород. Атом водорода $H1 1$ состоит из одного протона и одного электрона. Обозначим за $e$ элементарный заряд $e = 1,6 ⋅10− 19$ Кл.

Энергия электрона состоит из кинетической и потенциальной энергии:

E = E к + Eпот

Потенциальная энергия взаимодействия двух электрических частиц:

Eпот = k q1q2 R

Тогда общая энергия электрона:

mv2 ke2 E = -2--− -R-

В рамках классической механики на электрон действует сила Кулона $FК$ , которая создает центростремительное ускорение $a ц$ . По второму закону Ньютона:

v2 FК = ma ц = m R

Силу Кулона по определению можно найти как

2 FК = k|q1|2|q2|= ke2 R R

Приравняем два последних выражения и выразим величину $2 mv$ :

ke2 v2 2 ke2 R2 = m R ⇒ mv = R

С учетом этого общая энергия электрона равна:

ke2 ke2 ke2 E = 2R − R = − 2R

Вспомним правило квантования:

mvR = nℏ

Из приравненных выражений для второго закона Ньютона и силы Кулона выразим скорость:

2 2 ∘ --2- ke-= m v- ⇒ v = ke-- R2 R Rm

С учетом этого запишем правило квантования и выразим радиус:

∘---2 2 2 m ke-R = nℏ ⇒ R = n2ℏ-- Rm kem

Подставим полученное выражение для радиуса в формулу для полной энергии электрона:

ke2 ke2m-- k2e2m-- 1- E = − 2 ⋅ n2ℏ2 = − 2ℏ2 ⋅n2

Подставим вместо коэффициентов при $-12 n$ их численные значения:

9 2 22 − 19 2 − 31 (9-⋅10-(-Н-⋅м--)∕К-л-)-⋅(1,6-⋅10----Кл)-⋅1,9-⋅10----кг≈ 2,176 ⋅10− 18 Дж 2⋅1,05457⋅10−34 Д ж ⋅с

Переведем полученное значение в электронвольты:

−18 2,176⋅10 Д ж = 13,6 эВ

1 эВ — это энергия приобретаемая электроном при прохождении им разности потенциалов в 1 В.

− 19 1 эВ = 1,6 ⋅10 Дж

Таким образом, получаем следующую зависимость для энергетических уровней атома водорода:

----------------- | 13,6 | |En = − n2--, эВ | -----------------|

где $n$ — номер энергетического уровня.

Электрон может обладать одной из энергий $En$ и находиться на соответствующей орбите. Никаких промежуточных стадий в стабильных атомах быть не может. Энергия излучается или поглощается дискретными порциями (то есть квантами). Электрон не может излучить или поглотить дробное число фотонов.

II. Второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается один фотон с энергией

|------------| hν-=-Em-−-En--

Энергия светового кванта равна разности энергий тех станционарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона.

Отсюда появляются спектры излучения и поглощения — набор электромагнитных частот, которые атом может излучать или поглощать соответственно. Благодаря спектрам излучения и поглощения можно идентифицировать каждый химический элемент.

Недостатки теории Бора

— Внутренняя противоречивость: механическое соединение классической физики с квантовыми постулатами.

— Абсолютная невозможность применить теорию для объяснения спектров хотя бы атома гелия $He4 2$ (два электрона на орбите — и уже теория Бора не справляется). Даже для молекулы водорода $H2$ она не применима.

Теория Бора является лишь переходным этапом на пути создания более общей и правильной теории. Такой теорией стала квантовая механика.

Для задач*

Если в задаче нужно посчитать аналитически уровни для водородоподобного атома (атом, вокруг которого вращается лишь один электрон), то можно повторить ту же самую идею с расчетами и получить необходимую формулу.

Все уравнения, которые были ранее записаны для атома водорода, остаются справедливыми. Единственным отличием по сравнению с атомом водорода является то, что сила кулоновского взаимодействия валентного электрона с ядром водородоподобного атома равна $--1- Ze2- F = 4π𝜀0 ⋅ r2 .$ Следовательно, мы можем воспользоваться готовым результатом для энергии $En$ электрона на $n$ -й стационарной орбите, если заменим в ранее выведенной формуле $e2$ на $Ze2.$ В результате получим:

|------------------| | mee4Z2 1 | |En = − -8𝜀2h2--⋅n2 | ----------0--------

Предыдущая справка

Следующая справка