Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций

Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.08 Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#780

Найдите наименьшее значение функции $y = cos2x$ на отрезке $[0;π].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

1) Найдем производную:

′ y = −2⋅sin2x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

πn − 2⋅sin2x =0 ⇔ 2x = πn, n ∈ℤ ⇔ x= -2-, n ∈ℤ

Производная существует при любом $x.$

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

Здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной.

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[0;π]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[0;π]:$

$PIC$

Таким образом, наименьшего на отрезке $[0;π]$ значения функция достигает в точке минимума $x = π-: 2$

( π) y 2 = cosπ =− 1

Ответ: -1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#781

Найдите наименьшее значение функции

y = ex2− 4

на отрезке $[− 10;− 2]$ .

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

1) Найдем производную:

y′ = 2x ⋅ ex2−4

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

x2− 4 2x ⋅ e = 0 ⇔ x = 0

Таким образом, $y′ = 0$ при $x = 0$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y ′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[− 10;− 2]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 10;− 2]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшего на отрезке $[− 10;− 2]$ значения функция достигает в точке $x = − 2$ .

Тогда $y (− 2) = e4−4 = 1$ — наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[− 10;− 2]$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2063

Найдите наименьшее значение функции $y = log (x2 +8x +19). 3$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2+ 8x + 19 > 0.$

1) Обозначим $x2+ 8x + 19 = t(x),$ тогда $y(t)= log3 t.$

Найдем производную функции $y$ по $x:$

y′ =y′t⋅t′x = (log3t)′⋅(x2+ 8x+ 19)′ = 1 1 1 2x+ 8 = ln3 ⋅ t ⋅(2x+ 8)= ln-3 ⋅x2+-8x+-19

1--⋅--2x-+8---= 0 ⇔ 2x+ 8= 0 ln3 x2+ 8x+ 19

Отсюда $x= −4.$ При этом производная существует всюду на ОДЗ.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ достигается в точке минимума $x =− 4:$

y(−4)= log33 =1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#331

Найдите наибольшее значение функции

$√- y = ecosx+sinx− 2$ .

Показать ответ и решение

1) Обозначим $√ -- cos x + sin x − 2 = t(x)$ , тогда $y(t) = et$ .

√ -- √- y′ = y′t ⋅ t′x = (et)′ ⋅ (cosx + sin x − 2)′ = et ⋅ (− sin x + cosx ) = ecosx+sin x− 2 ⋅ (− sin x + cosx).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√- ecosx+sinx− 2 ⋅ (− sin x + cosx ) = 0 ⇔ − sinx + cos x = 0

(так как $√- ecosx+sinx− 2 = et$ , но $et > 0$ при любом $t$ ), что равносильно $tgx = 1$ при $cos x ⁄= 0$ , откуда находим корни $x = π-+ πk, k ∈ − ℤ 4$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ : (их бесконечно много, но они чередуются)

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $π x = 4-+ 2πk, k ∈ ℤ$ – точки локальных максимумов функции $y$ и наибольшее значение достигается в одной из них:

$( π- ) cos(π4+2πk)+sin(π4+2πk)−√2 √2-+√2−√2- 0 y 4 + 2πk = e = e 2 2 = e = 1$ .

Итого: $1$ – наибольшее значение функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#335

Найдите наибольшее значение функции $2x x y =− e +4e + 3$ на отрезке $[0;1].$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки функции $2x x f(x) =− e +4e + 3.$ Для этого посчитаем производную:

′ ( 2x) x x x f(x)= 2⋅ −e + 4e =2e (2− e )

Теперь найдем нули производной:

x x x 2e (2 − e )= 0 ⇔ e = 2 ⇔ x = ln2

При этом $0 <ln2< lne= 1,$ то есть данная точка лежит на отрезке $[0;1].$

Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума или на концах отрезка. Сравним значения функции во всех таких точках:

$pict$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[0;1]$ равно 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1658

Найдите наибольшее значение функции $y =− e(x2−12x+36+2ln2).$

Показать ответ и решение

1) Обозначим $x2 − 12x + 36 + 2 ln 2 = t(x)$ , тогда $y(t) = − et$ .

y′ = y′⋅ t′ = (− et)′ ⋅ (x2 − 12x + 36 + 2ln2 )′ = − et ⋅ (2x − 12) = − ex2−12x+36+2 ln2 ⋅ (2x − 12). t x

− ex2−12x+36+2ln 2 ⋅ (2x − 12) = 0 ⇔ 2x − 12 = 0

(так как $ex2− 12x+36+2ln2 = et$ , но $et > 0$ при любом $t$ ), откуда находим корень $x = 6$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 6$ – точка максимума функции $y$ и наибольшее значение достигается в ней:

$y(6) = − e(2ln2) = − eln4 = − 4$ .

Итого: $− 4$ – наибольшее значение функции $y$ .

Ответ: -4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2067

Найдите наибольшее значение функции $y =√2 ⋅√x2-+1-$ на отрезке $[−1;1].$

Показать ответ и решение

1) Найдем производную:

√- √ - y′ = 2 ⋅-√2x2----= 2⋅√--x2--- 2 x + 1 x + 1

√- √-x---- 2 ⋅ x2+ 1 = 0 ⇔ x= 0

Производная существует при любом $x.$

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[−1;1]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 1;1]:$

$PIC$

Таким образом, наибольшего на отрезке $[−1;1]$ значения функция $y$ достигает в точке $x =− 1$ или в точке $x = 1.$ Сравним значения функции в этих точках:

√ - √---- √ - √- y(−1)= 2⋅ 1+ 1 = 2⋅ 2 = 2 √ - √---- √- √ - y(1)= 2⋅ 1 +1 = 2⋅ 2= 2

Тогда наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[−1;1]$ равно 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#20618

Найдите наименьшее значение функции $2x x y = e − 8e + 9$ на отрезке $[0;2].$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки функции $2x x f(x) =e − 8e + 9.$ Для этого посчитаем производную:

′ 2x x x x f (x)= 2 ⋅e − 8e = 2e (e − 4)

Теперь найдем нули производной:

x x x 2e (e − 4)= 0 ⇔ e = 4 ⇔ x = ln4

При этом $2 0 <ln4< lne = 2,$ то есть данная точка лежит на отрезке $[0;2].$

Наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума или на концах отрезка. Сравним значения функции во всех таких точках:

$pict$

Следовательно, график функции на отрезке $[0;2]$ выглядит так:

$x02ln4$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[0;2]$ равно $− 7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22950

Найдите наименьшее значение функции

∘ ----------- f (x)= x4− 4x2+ 13

Показать ответ и решение

Преобразуем исходную функцию:

∘ ----------- ∘ --------------- ∘ ------2---- x4− 4x2+ 13= (x4− 4x2+ 4)+ 9= (x2 − 2) + 9

Заметим, что $(2 )2 x − 2 ≥ 0.$ Значит,

( )2 ∘ ----------- x2− 2 + 9≥ 9 ⇒ (x2− 2)2 +9 ≥ 3 ⇔ f(x) ≥3

Мы доказали, что $f(x)≥ 3.$ Значит, если мы докажем, что существует такая точка $x = x0,$ что $f(x0) =3,$ то 3 будет наименьшим значением функции $f(x).$

Для этого найдем точку, в которой $(x2− 2)2 = 0:$

(x2− 2)2 = 0 ⇔ x2− 2 =0 ⇔ x= ±√2-

Пусть $x =√2, 0$ тогда

∘ ----------- ∘ (--)----(--)------ f(x0)= x40− 4x20+ 13= √2 4− 4 √ 2 2+13 = 3

Значит, наименьшее значение функции $f(x)$ равно 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45223

Найдите наименьшее значение функции

y = 4x2−14x+50

Показать ответ и решение

Способ 1.

Функцию можно переписать в виде

(x− 7)2+1 y = 4

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y = 4x 1$ и возрастающей при $x> 7$ и убывающей при $x< 7$ функции $2 y2 =(x − 7) + 1:$

y = y1(y2(x))

Следовательно, исходная функция возрастает при $x > 7$ и убывает при $x < 7,$ то есть $x= 7$ является точкой минимума.

Следовательно, в этой точке достигается наименьшее значение функции:

y(7) =41 = 4

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Способ 2.

Функция определена при всех $x∈ ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ (x2−14x+50)′ x2−14x+50 2 ′ x2−14x+50 y = 4 = 4 ⋅ln 4⋅(x − 14x+50 )= 4 ⋅ln4⋅(2x − 14)

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= 7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞; 7)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (7;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 7$ является точкой минимума и наименьшего значения функция достигает в этой точке:

72−14⋅7+50 1 y(7)= 4 = 4 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#74179

Найдите наибольшее значение функции $y = log9(− 2x2− 8x +1)− 10.$

Показать ответ и решение

Функция логарифма $y = log9g(x)$ монотонно возрастает: чем больше её аргумент $g(x),$ тем больше её значение.

То есть для нахождения максимального значения функции $y$ надо найти максимальное значение выражения $2 g(x) =− 2x − 8x+ 1$ в аргументе логарифма.

$2 g(x)= −2x − 8x+ 1$ — квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине этой параболы с абсциссой

x0 = −-(−-8)= −2, − 2⋅2

gmax(x0)= − 2⋅4− 8⋅(−2)+ 1= 9.

Таким образом, наибольшее значение $y :$

ymax(x0)= log9(9)− 10= − 9.

Ответ: -9

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#74183

Найдите наибольшее значение функции $y = −e2x+ 19ex+ 54$ на отрезке $[1;10,5].$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= ex :$

y(t)= −t2+ 19t+54.

По сути перед нами уравнение параболы ветвями вниз, максимальное значение достигается в вершине параболы:

−19- t0 = − 2 = 9,5.

ymax(9,5) =− 90,25+ 180,5+ 54= 144,25.

Но лежит ли точка, в которой $x e = 9,5$ и $y = 144,25,$ на отрезке $[1;10,5]?$

Выразим $x:$

ex = 9,5,

x = ln9,5.

Поскольку $2,7< e< 2,8,$ то логично, что $ln e= 1< ln 9,5< 3 = lne3.$ То есть точка максимума функции как раз лежит на отрезке $[1;10,5].$

Ответ: 144,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80088

Найдите наименьшее значение функции

y = log (x2 − 10x+ 26)+ 2x2−10x+25. 2

Показать ответ и решение

Основания показательной и логарифмической функций больше единички, следовательно, функции возрастающие и для них справедлив закон: чем больше аргумент функции, тем больше её значение.

Нам требуется найти минимальное значение сложной функции, значит, найдя минимальное значение суммы показательной и логарифмической функций по их минимальным аргументам, мы автоматически найдём ответ.

Рассмотрим аргументы показательной и логарифмической функций:

x2 − 10x + 25 = (x− 5)2,

x2 − 10x+ 26 = x2 − 10x+ 25 + 1 = (x− 5)2 + 1.

Минимальное значение суммы квадрата и фиксированного числа равно этому фиксированному числу, так как кнаименьшее значение квадрата равно нулю, и оно достигается в точке с абсциссой $x = 5.$

Таким образом, сумма значений показательной и логарифмической функций (то есть значение сложной функции) минимальна при $x = 5 :$

y(5) = log2(52 − 50 + 26) +252−50+25 = log2 1+ 20 = 0 + 1 = 1.

Ответ: 1

Предыдущий раздел

Следующий раздел