Поиск точек экстремума у произведения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#311

Найдите точку локального минимума функции $y = (x2− 3)ex.$

Показать ответ и решение

1) Найдем производную:

′ x 2 x 2 x y = 2x⋅e + (x − 3)⋅e =(x + 2x− 3)⋅e

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

2 x 2 (x + 2x− 3)⋅e = 0 ⇔ x + 2x− 3 =0

— так как $ex > 0$ при любом $x,$ откуда находим корни $x1 = −3, x2 = 1.$ Таким образом,

′ x y = (x +3)(x− 1)e

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′ :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ — точка локального минимума функции $y.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1642

Найдите точку локального минимума функции

$y = x ⋅ ex + 11$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = ex + x ⋅ ex = (x + 1)ex$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x (x + 1)e = 0 ⇔ x = − 1

(так как $ex > 0$ при любом $x$ ). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2355

Найдите точку максимума функции $y = (x − 1)2(2x +4)2.$

Показать ответ и решение

Найдем производную функции:

′ 2 ′ 2 2 2 ′ y = ((x− 1)) ⋅(2x +4) + (x− 1)⋅((2x+ 4))

y′ = (2(x− 1))⋅(2x+ 4)2+ (x − 1)2⋅(2(2x + 4)⋅2)

y′ = 2(x− 1)(2x +4)(4x + 2)

Найдем нули производной:

⌊ x= 1 2(x− 1)(2x +4)(4x + 2)= 0 ⇔ |⌈x= − 2 x= − 0,5

Таким образом, знаки производной следующие:

$PIC$

Точкой максимума будет точка, в которой производная меняет свой знак с «+» на «-» при проходе слева направо. Следовательно, $xmax = −0,5.$

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#15807

Найдите точку максимума функции $x+8 y =(8− x)⋅e .$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки заданной функции

x+8 f(x)= (8− x)⋅e

Для этого вычислим её производную:

′ x+8 x+8 x+8 f(x)= −e + (8− x)⋅e = (7− x)⋅e

Далее найдем нули производной:

⌊ x+8 (7− x)⋅ex+8 = 0 ⇒ |⌈e = 0 7 − x = 0

Так как $x+8 e > 0$ при любом $x,$ то единственная критическая точка — это $x= 7,$ в этой точке производная меняет знак. Для того чтобы определить, является ли $x =7$ точкой максимума, нужно определить знаки производной при $x < 7$ и $x > 7.$

Если $x < 7,$ то $f′(x) > 0.$ Если $x >7,$ то $f′(x)< 0.$ Значит, точка $x = 7$ является точкой максимума, так как в ней производная меняет знак с « $+$ » на « $−$ » при проходе слева направо.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32341

Найдите точку максимума функции

2 y =(x− 2)(x− 4)+ 5

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 2(x− 2)(x− 4)+ (x − 2) = (x − 2)(3x− 10)

Найдем нули производной:

′ 10 y =0 ⇒ (x− 2)(3x − 10)= 0 ⇔ x =2; 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;2)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $( ) x ∈ 2;103-$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $( ) x∈ 103 ;+∞$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 2$ является точкой максимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32342

Найдите точку минимума функции

2 y =(x+ 3)(x+ 5)− 1

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 2(x+3)(x+5)+ (x +3) = (x +3)(3x+ 13)

Найдем нули производной:

′ 13- y =0 ⇒ (x +3)(3x+ 13)=0 ⇔ x= − 3 ;−3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $( ) x∈ −∞;− 133$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $( ) x∈ − 133 ;−3$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x ∈(−3;+∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −3$ является точкой минимума.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#310

Найдите точку локального максимума функции

$√- y = (x + 1) ⋅ e− x+ 2 + e2$ .

Показать ответ и решение

1) $√ - √ - √- y′ = e−x+ 2 − (x + 1) ⋅ e−x+ 2 = − x ⋅ e−x+ 2$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

−x+√2- − x ⋅ e = 0 ⇔ x = 0

(так как $et > 0$ при любом $t$ ). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#312

Найдите точку локального минимума функции

$√ -- y = x x − 60x + 3600$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = √x-+ -√x--− 60 2 x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√ -- -x--- √ -- x + 2√ x − 60 = 0 ⇔ x = 40

– при $x ⁄= 0$ , откуда находим $x = 1600$ . Производная функции $y$ не определена при $x ≤ 0$ , но $x < 0$ не входят ОДЗ, а $x = 0$ не является внутренней точкой ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1600$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 1600

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#313

Найдите точку локального минимума функции

$y = sin (πx ) ⋅ cos(πx )$ , лежащую на $[ ] 1- 1- − 3; 6$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = πcos2(πx ) − π sin2(πx) = π (cos2(πx ) − sin2(πx )) = π cos(2πx )$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

π cos(2πx) = 0 ⇔ cos(2πx) = 0,

откуда находим $π 2πx = --+ πk 2$ , где $k ∈ ℤ$ , что равносильно $1 k x = --+ -- 4 2$ , где $k ∈ ℤ$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ (их бесконечно много, но они чередуются):

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на отрезке $[ 1 1] − -; -- 3 6$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[ ] − 1; 1 3 6$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 0, 25$ – точка локального минимума функции $y$ на отрезке $[ ] 1-1- − 3;6$ .

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1643

Найдите точку локального максимума функции

$y = πx ⋅ e−x + π2017$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = πe−x − πx ⋅ e− x = π(1 − x)e−x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

−x π (1 − x )e = 0 ⇔ x = 1

(так как $e−x > 0$ при любом $x$ ). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1830

Найдите точку локального минимума функции

$y = (x2 − x − 15,5) ⋅ ex ⋅ ex$ .

Показать ответ и решение

Так как $′ (f(x ) ⋅ g(x) ⋅ h(x)) = f′(x ) ⋅ g(x ) ⋅ h(x) + f(x ) ⋅ g′(x) ⋅ h (x) + f(x) ⋅ g(x) ⋅ h ′(x)$ для произвольных дифференцируемых функций $f(x), g(x), h(x)$ , то:

1) $y ′ = (2x − 1) ⋅ ex ⋅ ex + (x2 − x − 15,5 ) ⋅ ex ⋅ ex + (x2 − x − 15, 5) ⋅ ex ⋅ ex =$
$2 x x 2 2x 2x = (2x − 32) ⋅ e ⋅ e = 2(x − 16) ⋅ e = 2(x − 4)(x + 4) ⋅ e$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2(x − 4)(x + 4) ⋅ e2x = 0 ⇔ (x − 4)(x + 4) = 0

(так как $et > 0$ при любом $t$ ), откуда находим корни $x1 = − 4, x2 = 4$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4$ – точка локального минимума функции $y$ .