Тема 13. Решение уравнений

13.09 Логарифмические: сведение к простейшему уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#11885

Решите уравнение $log x2 = log (6x − 8) x−1 x−1$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17168

а) Решите уравнение $√ -2---- log3 x − 2x= 2.$

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[− 8;11].$

Показать ответ и решение

а) По определению логарифма имеем:

∘ -2---- log3 x − 2x = 2 ∘x2-− 2x = 32 x2− 2x = 92 2 x − 2x− 81= 0 √ -- x= 1± 82

б) Очевидно, что

√-- √ -- 1+ 82> − 8, 1− 82 < 11

Далее имеем:

$pict$

Таким образом, корень $√ -- 1 + 82$ попадает в требуемый промежуток.

Кроме того, имеем:

$pict$

Таким образом, корень $√ -- 1 − 82$ не попадает в требуемый промежуток.

Ответ:

а) $√ -- 1 ± 82$

б) $√ -- 1+ 82$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1202

а) Решите уравнение

√-------- log5(5x4 + 30) = 1 + log√5 5x2 + 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 5-38- − 3;13 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ данного уравнения:

{ { 5x4 + 30 > 0 5x4 + 30 > 0 √ --2----- ⇔ 2 5x + 2 > 0 5x + 2 > 0

Заметим, что так как любое выражение в четной степени всегда неотрицательно, то $x2 ≥ 0$ и $x4 ≥ 0$ , следовательно, $2 5x + 2 ≥ 2 > 0$ и $4 5x + 30 ≥ 30 > 0$ при всех $x$ . Таким образом, неравенства в системе выполнены при всех $x$ , то есть ОДЗ: $x ∈ ℝ$ .
Решим уравнение на ОДЗ.
Так как $1 = log 5 5$ , на ОДЗ $log b = log 2 b2 a a$ , то уравнение можно переписать в виде:

log (5x4 + 30) = log 5 + log (5x2 + 2) ⇒ log (5x4 + 30 ) = log (5(5x2 + 2)) 5 5 5 5 5

Данное уравнение имеет вид $log5f = log5 g$ , которое на ОДЗ равносильно $f = g$ :

5x4 + 30 = 25x2 + 10 ⇔ x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇔ x2 = 4 или x2 = 1

Следовательно,

⌊ x = 1 ||x = − 1 | ⌈x = 2 x = − 2

Все корни подходят под ОДЗ.

б) Отберем корни. Так как $− 5-= − 1 2 3 3$ , $38-= 2 12- 13 13$ , то в отрезок $[− 12;2 12] 3 13$ входят только $x = − 1; 1; 2$ .

Ответ:

а) $− 1;1;− 2;2$

б) $− 1;1;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18624

a) Решите уравнение $( 4 ) √-√ ---2---- 1+ log3 x + 25 = log 3 30x + 12.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 11; 16 . 5 5$

Показать ответ и решение

а) Так как $4 2 x +25 > 0, 30x + 12 > 0$ , то ОДЗ этого уравнения будет $x ∈ℝ.$

Преобразуем правую часть уравнения:

∘ -------- ( 2 )1 ( 2 )1 log√3 30x2+ 12 = log312 30x + 122 = 2log3 30x + 12 2 = 1 ( 2 ) ( 2 ) = 2 ⋅2⋅log3 30x + 12 = log3 30x + 12

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$pict$

Обозначим $x2 = t, t≥ 0.$ Тогда $x4 = t2$ и уравнение примет вид

$pict$

Таким образом, получим, что

⌊ √ - ⌊ ||x= 3√- ⌈x2 =3 ||x= − 3 x2 =7 ⇔ ||x= √7- ⌈ √- x= − 7

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

$pict$

Ответ:

а) $√- √- √ - √ - − 7, − 3, 3, 7$

б) $√ - √- √- − 3, 3, 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40242

а) Решите уравнение

x⋅log (15− 7x)⋅log 9= (√x)2 9 3−x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 1;3].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(|| 15− 7x> 0 ( 15 |||| |||| x< -7 { 3− x> 0 ⇔ { ||| 3− x⁄= 1 ||| x⁄= 2 |||( |( x≥ 0 x≥ 0

На ОДЗ по формуле $logab⋅logbc =logac$ уравнение равносильно

x⋅lo(g3−x9⋅log9(15− 7x))= x ⇔ x⋅ log3−x(15 − 7x)− 1 = 0 ⇔ ⌊ ⌈log3−x(15− 7x)= 1 ⇔ x = 0 ⌊ ⌈15 − 7x = 3− x x = 0 ⇔ x= 0;2

Корень $x = 2$ не подходит под ОДЗ.

б) Корень $x= 0$ принадлежит отрезку $[−1;3].$

Ответ:

а) $x ∈ {0}$

б) $x ∈{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40244

а) Решите уравнение

log (34− 33x)⋅log 5= 1 25 4−3x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3;3].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ||34 − 33x > 0 ( |{ {x < 3433- ||4 − 3x > 0 ⇔ (x ⁄= 1 |(4 − 3x ⁄= 1

На ОДЗ по формуле $log b⋅log c =log c a b a$ уравнение равносильно

1log4−3x(34− 33x)= 1 ⇔ 34−33x= (4−3x)2 ⇔ x2+x −2= 0 ⇔ x= −2;1 2

Корень $x = 1$ не подходит под ОДЗ.

б) На отрезке $[− 3;3]$ лежит корень $x = −2.$

Ответ:

а) $x ∈ {− 2}$

б) $x ∈{−2}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40245

а) Решите уравнение $10lg(lg√x)− lgx +lgx3− 3= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1;2].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x > 0,$ $lg√x > 0.$ Отсюда $x> 1.$

Преобразуем уравнение:

1 5 2 lgx− lgx+ 3lgx− 3= 0 ⇔ 2 lg x= 3 ⇔

6 6 ⇔ lgx = 5 ⇔ x = 10 5

Этот корень принадлежит ОДЗ, так как $10 65 > 101 = 10> 1.$

б) Корень $x = 1065$ не лежит на отрезке $[1;2],$ так как $1065 > 101 = 10> 2.$

Ответ:

а) $x ∈ {1065}$

б) $x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40246

а) Решите уравнение

-log25-+ lg(x+ 10)= 1+ lg(21x− 20)− lg(2x − 1) log210

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ||x+ 10> 0 |{ 20 ||21x− 20> 0 ⇔ x > 21 |(2x− 1> 0

На ОДЗ уравнение равносильно

lg5 +lg(x + 10)+ lg(2x − 1)= lg10+ lg(21x− 20) ⇔ lg(5(x+ 10)(2x− 1)) =lg(10(21x− 20)) ⇔ 5(2x2+ 19x − 10) =10(21x− 20) ⇔ 2x2− 23x+ 30= 0

$2 2 D = 23 − 240 =289 =17$ , следовательно,

23±-17 3 x= 4 ⇔ x = 10;2

Под ОДЗ подходят оба корня.

б) Оба корня лежат вне отрезка $[0;1],$ так как $3 10> 2 > 1.$

Ответ:

а) $x = 10; 3 2$

б) $x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#40306

а) Решите уравнение

2log (2x)+log (x2+ 1− 2x)= 4 8 8 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2;2].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( { 2x> 0 { x> 0 ( 2 ⇔ ( x − 2x+ 1> 0 x⁄= 1

Решим уравнение

6 6 4 log8(2x) + log8(x − 1)= log88 ⇒ (2x(x − 1))6 = 212 ⇔ ⌊ ⌈ 2x(x− 1)= 22 ⇔ 2x(x− 1)= −22 ⌊ x2− x− 2= 0 ⌈ x2− x+ 2= 0 ⇔ ⌊ x= 2 ⌈ x= − 1

Корень $x = −1$ не подходит по ОДЗ.

б) Корень $x= 2$ лежит в отрезке $[−2;2].$

Ответ:

а) $x ∈ {2}$

б) $x ∈{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40622

а) Решите уравнение

( ) ( ) ( ) 1lg x + 1 − lg x + 1 = 1lg x− 1 − lg x 2 8 2 2 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 1;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(|| x+ 1 >0 |||| 81 { x+ 2 >0 ⇔ x> 1 ||| x− 12 >0 2 |||( x> 0

На ОДЗ уравнение равносильно

( 1) ( 1) ( 1) lg x + 8 +2 lgx = lg x− 2 +2 lg x+ 2 ⇒ ( 2( 1) ) (( 1)2( 1) ) lg x x+ 8 = lg x+ 2 x− 2 ⇒ ( 1) ( 1)2 ( 1 ) x2 x+ 8 = x+ 2 x −2 ⇔ 3x2− 2x− 1= 0 ⇔ 1 x =− 3;1

Корень $x = − 13$ не подходит по ОДЗ.

б) Корень $x= 1$ лежит в отрезке $[−1;1].$

Ответ:

а) $x ∈ {1}$

б) $x ∈{1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40623

а) Решите уравнение

log1(−x − 1) +log1(1 − x) − log 1 (7+ x)= 1 2 2 √2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 2 ] −e ;− e .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ||− x− 1> 0 |{ ||1 − x > 0 ⇔ − 7< x< − 1 |(7 +x > 0

На ОДЗ уравнение равносильно

log1(− x− 1)+ log1(1− x)= log1 1+ log− 1(7+ x)2 ⇒ 2 2 ( 2 2 ) 2 log1((− x− 1)(1− x))= log1 1(7+ x)2 ⇒ 2 2 2 x2− 14x− 51= 0 ⇔ x= − 3;17

Корень $x = 17$ не подходит по ОДЗ.

б) Так как $2 2 − e < − 2 = −4$ , $− e >− 3$ , то корень $x = −3$ лежит в отрезке $[ ] − e2;−e .$

Ответ:

а) $x ∈ {− 3}$

б) $x ∈{−3}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40624

а) Решите уравнение

( ) ( ) 2log x + -6--- = log --3--− -2--- + 3 12 x− 5 12 x − 2 x− 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3;10].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( ||{x + -6--> 0 ||{ (x-−-2)(x−-3)> 0 x− 5 ⇔ x− 5 ⇔ x ∈(2;3)∪(5;+∞ ) ||( -3--− --2--> 0 ||( ---x−-5----> 0 x− 2 x − 3 (x − 2)(x− 3)

На ОДЗ уравнение преобразуется:

((x−-2)(x-− 3))2 ( ---x-−-5---) 3 log12 x− 5 − log12 (x− 2)(x− 3) = log1212 ⇒ ((x−-2)(x-− 3))3 3 log12 x− 5 = log1212 ⇒ ( ) (x−-2)(x-− 3) 3 = 123 ⇔ x − 5 (x-− 2)(x−-3)= 12 ⇒ x− 5 2 x − 17x+ 66= 0 x = 6;11

Оба корня подходят по ОДЗ.

б) На отрезке $[3;10]$ лежит корень $x= 6.$

Ответ:

а) $x ∈ {6;11}$

б) $x ∈{6}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40625

а) Решите уравнение

log (9− 16x4)= 2+ -----1----- 3−4x2 log2(3− 4x2)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( || 3− 4x2 > 0 (| √3- √3- |{ 2 |{− 2 < x< 2 || 3− 4x ⁄= 1 ⇔ || 1 |( 9− 16x4 > 0 (x ⁄= ±√2-

Преобразуем уравнение на ОДЗ:

log3−4x2(9− 16x4) = log3− 4x2(3− 4x2)2+log3− 4x22 ⇒ 4 ( 2 2) log3−4x2(9− 16x) = log3− 4x2 2(3− 4x) ⇒ 9 − 16x4 =2(3− 4x2)2 ⇔ (3− 4x2)(3 +4x2)= 2(3− 4x2)2 ⇔ (3− 4x2)(12x2− 3)= 0 ⇔ √ - x = ±--3;±1 2 2

Корни $x± √3 2$ не подходят по ОДЗ.

б) На отрезке $[0;1]$ лежит корень $x= 1. 2$

Ответ:

а) $x ∈ {− 0,5;0,5}$

б) $x ∈{0,5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#40626

а) Решите уравнение

3x2⋅log (2 +3x)− 6xlog1√32-+-3x= 3x2+ 2x 3 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ −1 ] −e ;0 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

2+ 3x> 0 ⇔ x > − 2 3

Преобразуем уравнение:

2 2 3x ⋅log3(2+ 3x)+ 2xlog3(2+ 3x)= 3x +2x ⇔ (log3(2+ 3x)− 1)(3x2+ 2x) =0 ⇒ ⌊ ⌈log3(2+ 3x)= 1 ⇒ x(3x+ 2)= 0 ⌊ |2+ 3x= 3 ||x =0 ⇔ ⌈ 2 x =− 3 x = − 2;− 1;0 3 3

Корень $2 x = −3$ не подходит по ОДЗ.

б) Корень $x = 0$ лежит в отрезке $−1 [−e ;0].$ Так как $1 1 − e < − 3$ , то $1 x− 3$ также лежит в этом отрезке.

Ответ:

а) $x ∈ {0}$

б) $x ∈{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#40627

а) Решите уравнение

log x+ log x = log x ⋅log x 2 3 2 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ln2;3].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x > 0.$

Преобразуем уравнение

log x + log 2⋅log x = log x ⋅log x ⇔ 2 3 2 2 3 log2x ⋅(1 +log32− log3x)= 0 ⇒ ⌊ ⌈ log2x= 0 ⇔ log3x= log33+ log32 ⌊ ⌈ x= 1 x= 6

Оба корня подходят по ОДЗ.

б) Так как $ln2 <1$ , то на отрезке $[ln2;3]$ лежит корень $x= 1.$

Ответ:

а) $x ∈ {1;6}$

б) $x ∈{1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#40628

а) Решите уравнение

log (x − 2)2 = logx 1(x− 2)2 2x+3 6+2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2;− lg 11].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(|| 2x+ 3> 0 |||| |||{ 2x+ 3⁄= 1 ({x >− 3 (x− 2)2 >0 ⇔ 2 |||| x 1 (x ⁄=− 1;2;3 ||||| 6 + 2 > 0 ( x6 + 12 ⁄= 1

Пусть $(x− 2)2 = 1$ , тогда уравнение примет вид $0= 0$ . Решениями $(x− 2)2 = 1$ являются $x= 1;3$ . Так как $x= 3$ не подходит по ОДЗ, то $x= 1$ является решением исходного уравнения.

При $2 (x− 2) ⁄=1$ можно преобразовать уравнение:

-------1------= -------(11------) ⇒ log(x−2)2(2x+ 3) log(x−2)2 6(x+ 3) (1 ) log(x−2)2(2x+-3)−-log(x−2)2(-6(x-+-3)) = 0 ⇒ log(x− 2)2(2x +3)⋅log(x−2)2 16(x+ 3) log(x−2)2-21x-+3- ----------------6(x-+3)(1-----) = 0 ⇒ log(x−2)2(2x+ 3)⋅log(x−2)2 6(x+ 3) ( ||| log(x−2)2-21x+-3- = 0 |{ 6(x +3) || log(x−2)2(2x + 3) ⁄=0 ⇒ ||( (1 ) ( log(x−2)2 6(x+ 3) ⁄= 0 || -2x+-3- =1 ||{ 16(x+ 3) | 2x+ 3⁄= 1 ⇒ |||( 1 6(x+ 3)⁄= 1 x = − 15 11

Корень подходит по ОДЗ.

б) На указанном отрезке лежит $15 x = −11$ , так как

15 − 11 < − lg11 15> 11lg11 lg1015 >lg1111 15 11 10 > 11

Ответ:

а) $x ∈ {− 15;1} 11$

б) ${ 15} x ∈ − 11$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#40629

а) Решите уравнение

log (x3+ 10x2+15x)⋅log(x+ 6)= log (3x2+ 5x) x+6 2 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−√10;0].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( ||| x+ 6> 0 ||| x >− 6 |||{ x+ 6⁄= 1 |||{ x ⁄=− 5 ⇔ √-- √-- ⇔ ||||| x3+ 10x2+ 15x >0 ||||| x(x− (−5− 10))(x − (−5 + 10)) >0 |( 3x2 +5x > 0 |( x(3x+ 5)> 0 √-- ⇔ x∈ (−6;−5)∪ (− 5;− 5+ 10)∪ (0;+∞ )

На ОДЗ уравнение равносильно

log2(x3+ 10x2+ 15x) =log2(3x2+ 5x) ⇒ x(x2+ 10x + 15)= x(3x+ 5) ⇔ x(x2+ 7x + 10) =0 ⇔ x= − 5;− 2;0

Корни $x= −5;0$ не подходят по ОДЗ.

б) Корень $x= −2$ лежит на указанном отрезке, так как $√-- 10 > 3$ .

Ответ:

а) $x ∈ {− 2}$

б) $x ∈{−2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#40630

а) Решите уравнение

( ) log2 5x − 3- = 0 x−198x0+91 10

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ e ] 10;1 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( || x2−-18x-+-91-> 0 ( ||||| 90 ||| (x − 9)2+ 10> 0 { x2−-18x-+-91- { 2 ||| 90 ⁄= 1 ⇔ ||| (x − 9) ⁄= 80 ⇔ |||| 3 ( x> 0,06 (5x − 10 > 0 ⇔ x∈ (0,06;9+ 4√5)∪ (9+ 4√5; +∞ )

На ОДЗ уравнение равносильно

-3 5x− 10 = 1 ⇔ x= 0,26

Подходит по ОДЗ.

б) Корень $x= 0,26$ не лежит в указанном отрезке, так как $e> 2,7.$

Ответ:

а) $x ∈ {0,26}$

б) $x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42153

а) Решите уравнение $(x2 +2x − 1)⋅(log (x2− 3)+log (√3-− x)) = 0. 2 0,5$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2,5;−1,5].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

( { x2− 3> 0 √- ( √- ⇔ x< − 3 3 − x > 0

Решим на ОДЗ.

⌊ ⌈ (x + 1)2 = 2 log (x2− 3)− log(√3 − x) =0 ⇒ ⌊ 2 √- 2 x= −1 ± 2 || √ - √ - ⇒ ⌈ log (x−-√-3)(x+---3) = 0 ⌊ 2 3− x x= −1 ± √2 ⌈ √- ⇒ log2(−x− 3) =0 ⌊ √- ⌈ x= −1 ± √2 x= −1 − 3

Под условие $√ - x< − 3$ подходят корни $√- √ - x= − 1− 3;−1− 2.$

б) Так как $1,7< √3-< 1,8$ , то $− 2,8< −1 − √3-< −2,7$ и первый корень не принадлежит отрезку $[−2,5;−1,5].$

Так как $√- 1,4< 2 < 1,5,$ то $√ - − 2,5< −1 − 2< −2,4$ и второй корень принадлежит указанному отрезку.

Ответ:

а) $− 1− √3;−1− √2$

б) $√ - − 1− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#72967

Решите уравнение $log5(3x− 11)+ log5(x− 27)= 3+ log58.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{3x − 11 > 0 x − 27 > 0

{ 11 x > 3 x > 27

Итоговая ОДЗ: $x∈ (27;+ ∞)$

Для решения уравнения преобразуем его:

log5((3x− 11)(x − 27))= log5125+ log5 8,

log5((3x− 11)(x− 27))= log5(125⋅8),

(3x − 11)(x − 27) =125⋅8,

3x2− 11x− 81x+ 11⋅27= 1000,

3x2− 11x − 81x +297 − 1000= 0,

3x2− 92x− 703= 0.

Посчитаем дискриминант: $2 D = 92 +4 ⋅3⋅703 = 16900,$ $√ -- D = 130,$
$92+ 130 x1 = --6----= 37,$
$x = 92−-130-= − 19 2 6 3$ — посторонний корень, т.к. не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$x = 37$

Предыдущий раздел

Следующий раздел