Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)

Тема 13. Решение уравнений

13.06 Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#408

Решите уравнение $√3sin x+ cosx= 1.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное число.

Разделим левую и правую части уравнения на $∘ √--2---2 3 + 1 = 2:$

√ - --3 1 1 2 sin x+ 2 cosx = 2

Заметим, что можно принять $√3 π 1 π 2--= cos-6,2 = sin 6.$ Тогда уравнение примет вид

sinx cos π+ cosxsin π-= 1 6 6 2

По формуле синуса суммы имеем:

sin αcosβ+ sinβ cosα = sin(α+ β)

Тогда получаем уравнение

⌊ π π ⌊ ( π) 1 |x + 6 =-6 + 2πk, k ∈ℤ x1 = 2πk, k ∈ ℤ sin x + 6- = 2 ⇒ ⌈ π- 5π ⇒ ⌈x = 2π-+ 2πn, n ∈ ℤ x + 6 = 6 + 2πn, n ∈ℤ 2 3

Ответ:

$2π 2πk, 3 + 2πn, k,n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#574

а) Решите уравнение $sin x− cosx = 1.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[− π;π].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное число.

Разделим правую и левую части равенства на $∘12-+-(−-1)2 = √2-:$

√ - √- √- √ - --2sinx − -2-cosx = -2- ⇒ sinxcos π-− cosx sin π-=-2 ⇒ 2 2 2 4 4 2

( ) √ - ⌊x = π+ 2πm,m ∈ ℤ ⇒ sin x− π- = --2 ⇒ ⌈ 1 2 4 2 x2 = π + 2πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

−π ≤x1 ≤π ⇒ − 3 ≤ m ≤ 1 ⇒ m = 0 ⇒ x = π- 4 4 2

−π ≤x2 ≤π ⇒ −1 ≤n ≤ 0 ⇒ n= − 1;0 ⇒ x = −π;π

Ответ:

а) $π+ 2πm, π+ 2πn, n,m ∈ ℤ 2$

б) $π − π;2-;π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#974

а) Решите уравнение $√2sinx+ √2 cosx = 2.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[0;π].$

Показать ответ и решение

а) Разделим обе части уравнения на 2:

√- √ - -2-sinx+ --2cosx= 1 2 2

Далее воспользуемся равенством

π √2 π sin 4-= 2--= cos-4

Тогда имеем:

cos πsinx+ sin πcosx= 1 ⇔ sin(x+ π-)= 1 4 4 4 x+ π-= π-+ 2πn ⇔ x= π+ 2πn, n ∈ ℤ 4 2 4

б) Отберем корни с помощью неравенств:

π 1 3 0 ≤ 4 + 2πn ≤π ⇔ −8 ≤ n≤ 8

Отсюда получаем $n= 0$ и $π x= 4.$

Ответ:

а) $π+ 2πn, n ∈ ℤ 4$

б) $π 4-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1729

Решите уравнение

sinx + cos x = 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на $√ ------- √ -- 12 + 12 = 2$ :

√ -- √ -- √-- 1 1 1 2 2 2 √---sinx + √---cosx = √---⇔ ----sin x + ----cosx = ---- 2 2 2 2 2 2

Заметим, что можно принять $√2-- π π ----= sin --= cos -- 2 4 4$ :

√ -- π π 2 sin xcos 4-+ sin-4 cos x =-2--

Тогда по формуле $sin α cosβ + sinβ cosα = sin (α + β)$ имеем:

( ) √ -- sin x + π- = --2-⇒ x1 = 2πk, x2 = π-+ 2πn, k,n ∈ ℤ 4 2 2

Ответ:

$π 2πk, --+ 2πn, k,n ∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#409

Решите уравнение

4sinx + 3 cosx = 5

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на $√ ------- 42 + 32 = 5$ :

4- 3- 5 sinx + 5 cos x = 1

Т.к. $( )2 ( )2 4- 3- 5 + 5 = 1$ , то по основному тригонометрическому тождеству следует, что существует такой угол $ϕ$ (пусть он будет из $( π) 0; -- 2$ ), что $4 --= cosϕ 5$ , а $3 --= sinϕ 5$ .

Тогда уравнение примет вид:

π- sin x cosϕ + sinϕ cosx = 1 ⇒ sin(x + ϕ) = 1 ⇒ x = 2 − ϕ + 2πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную подстановку: т.к. $cos ϕ = 4-⇒ ϕ = arccos 4-⇒ 5 5$

π 4 x = 2-− arccos 5-+ 2πn, n ∈ ℤ

Ответ:

$π 4 -- − arccos--+ 2πn, n ∈ ℤ 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#771

а) Решите уравнение $2π ( π- ) 3π sin2x sin 5 + cos2 2 − x cos 5 = 1.$

б) Найдите все его корни из промежутка $( ) 17π; 37π . 2$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что по формулам приведения:

$( ) cos2 π-− x = cos(π − 2x)= − cos2x 2$ ;

$( ) cos 3π = cos π− 2π = − cos 2π 5 5 5$ .

Следовательно, уравнение переписывается в виде

2π 2π ( 2π) sin2x sin-5 + cos2xcos-5 = 1 ⇒ cos 2x− -5 = 1 ⇒

(преобразование было сделано по формуле косинуса разности $cosα cosβ + sinαsinβ =cos(α − β)$ )

2π π- ⇒ 2x− 5 = 2πn,n∈ ℤ ⇒ x = 5 +πn,n ∈ℤ

б) Отберем корни.

π 37π 4 3 17π <-5 + πn< -2- ⇒ 165 < n < 1810

Таким образом, целыми решениями этого неравенства будут $n= 17;18$ , при которых получаются корни $86π 91π x = -5-; 5--$ .

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ 5$

б) $86π; 91π 5 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1253

а) Решите уравнение

( ) cos π-cosx − cos π-− x sin π-= 1- 3 2 3 2

б) Найдите все его корни из промежутка $√ -- (− 1; 2)$ .

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( π ) cos --− x = sinx 2$ . Тогда уравнение примет вид неоднородного линейного уравнения:

π π 1 ( π ) 1 cos 3-cosx − sin xsin 3-= 2- ⇒ cos 3-+ x = 2- ⇒

(преобразование было сделано по формуле косинуса суммы $cos αcos β − sinα sin β = cos(α + β)$ )

⌊π π ⌊ --+ x = --+ 2πn,n ∈ ℤ x = 2πn, n ∈ ℤ ⇒ |⌈ 3 3 ⇒ ⌈ π- π- x = − 2π-+ 2πm, m ∈ ℤ 3 + x = − 3 + 2πm, m ∈ ℤ 3

б) Отберем корни.

√ -- 1 √2-- − 1 < 2πn < 2 ⇒ − ---< n < ---- 2π 2π

Заметим, что т.к. $3 < π < 4$ , то $− 1 < − 21π < 0$ и $√2-- 0 < ----< 1 2π$ . Следовательно, единственное целое подходящее $n = 0$ . Значит, корень $x = 0$ .

√ -- 2π- √ -- 1-- 1- --2- 1- − 1 < − 3 + 2πm < 2 ⇒ − 2π + 3 < m < 2π + 3

Заметим, что $1 < -1 < 1 8 2π 6$ , следовательно, $1 < − 1-+ 1 < -5 6 2π 3 24$ , то есть это некоторое положительное число меньше $1$ ;

$√ -- √ -- √ -- 3--2 +-8-< --2-+ 1-< --2-+-2 24 2π 3 6$ .

Как известно, $√ -- 1,4 < 2 < 1,5$ , следовательно, $√-- 12,2 < 3 2 + 8 < 12, 5$ и $√ -- 3,4 < 2 + 2 < 3,5$ . Значит, обе дроби $3√2+8 -24---$ и $√2+2 -6---$ — это также некоторые положительные меньшие $1$ числа. Следовательно, можно для удобства записать, что

0,...< m < 0,...,

то есть данное неравенство не имеет решений среди целых чисел.

Ответ:

а) $2π 2πn; − ---+ 2πm; n, m ∈ ℤ 3$

б) $0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1728

Решите уравнение $cosx= √3 sinx− 1.$

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

√ - cosx − 3sin x= −1

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

√- 1cosx− -3-sinx = − 1 2 2 2

Заметим, что можно принять

√3- π 1 π -2-= sin 3, 2 =cos3-

Тогда уравнение примет вид

cosxcos π-− sinxsin π-= − 1 3 3 2

Далее воспользуемся формулой

cosαcosβ− sinα sinβ = cos(α+ β)

Тогда имеем:

cos(x + π) =− 1 3 2 2π π- 2π π- x1 = 3 − 3 + 2πk, x2 = − 3 − 3 + 2πk π- x1 = 3 + 2πk, x2 =− π+ 2πk, k ∈ ℤ

Ответ:

$π-+ 2πk; − π+ 2πk, k ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2049

а) Решите уравнение $√ - sin 4x − cos4x = 2.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − 7π;−2π . 2$

Показать ответ и решение

а) Разделим правую и левую части уравнения на $√- 2$ с учетом того, что $1 √2 √2-= 2--:$

√ - √- --2 -2- π- π- 2 ⋅sin 4x − 2 ⋅cos4x = 1 ⇒ sin4x⋅cos4 − cos4x ⋅sin4 = 1 ⇒

( π) π π ⇒ sin 4x− 4- = 1 ⇒ 4x− 4-= 2-+ 2πm, m ∈ℤ ⇒

⇒ 4x= 3π + 2πm, m ∈ℤ ⇒ x= 3π + πm, m ∈ ℤ 4 16 2

б) Отберем корни с помощью неравенств.

7π 3π π 3 3 − 2- < 16 + 2-m <− 2π ⇒ −78 < m < −48

Таким образом, удовлетворяющие полученному неравенству целые $m = −7;−6;−5.$ При этих значениях $m$ получаем корни $x = − 53π;− 45π-;− 37π. 16 16 16$

Ответ:

а) $3π π- 16 + 2m, m ∈ ℤ$

б) $− 53π ;− 45π;− 37π 16 16 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2055

а) Решите уравнение $√3cosx− sin x= 2.$

б) Найдите все его корни из промежутка $[−π;3,5π].$

Показать ответ и решение

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на $∘ -√--2-----2- ( 3) + (− 1) =2 :$

√ - --3cosx− 1 sinx = 1 2 2 cos π-cosx − sin π-sinx = 1 6 6

По формуле косинуса суммы имеем:

cosαcosβ− sinα sinβ = cos(α+ β)

Тогда уравнение примет вид

(π ) cos -6 + x = 1 π 6-+ x= 2πn, n ∈ ℤ π x = −6-+ 2πn, n ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

−π ≤ − π-+ 2πn≤ 7π 6 2 5- 11 − 12 ≤ n ≤ 6

Таким образом, подходящие целые $n =0;1.$ При этих значениях $n$ получаем корни

x = − π-; 11π 6 6

Ответ:

а) $− π+ 2πn, n∈ ℤ 6$

б) $π 11π − -6;-6-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2056

а) Решите уравнение

√ -- cos 2x − sin 2x = 0, 5 6

б) Найдите все его корни из промежутка $[ ] − π-;π 2$ .

Показать ответ и решение

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на $√ ------- √ -- 12 + 12 = 2$ :

$-- -- -- -- 1 1 √ 6 √ 2 √ 2 √ 3 √--cos 2x − √---sin 2x = -√--- ⇒ ----cos2x − ---sin2x = ---- ⇒ 2 2 2 2 2 2 2$

по формуле косинуса суммы $cosα cos β − sin α sin β = cos(α + β )$

$√ -- ( ) √ -- π- π- --3- π- --3- ⇒ cos 4 cos2x − sin 4 sin 2x = 2 ⇒ cos 4 + 2x = 2 ⇒$

$⌊ π π ⌊ π --+ 2x = --+ 2 πn,n ∈ ℤ x = − ---+ πn, n ∈ ℤ ⇒ |⌈ 4 6 ⇒ |⌈ 24 π- π- 5π- 4 + 2x = − 6 + 2πm, m ∈ ℤ x = − 24 + πm, m ∈ ℤ$

б) Отберем корни.

π π 11 1 − --≤ − ---+ πn ≤ π ⇒ − ---≤ n ≤ 1--- 2 24 24 24

Таким образом, среди целых $n$ подходят только $n = 0;1$ . При этих значениях $n$ получаем корни $π 23π x = − --; ---- 24 24$ .

π 5π 7 5 − --≤ − ---+ πm ≤ π ⇒ − ---≤ m ≤ 1 --- 2 24 24 24

Таким образом, среди целых $m$ подходят только $m = 0;1$ . При этих значениях $m$ получаем корни $5π 19π x = − --; ---- 24 24$ .

Ответ:

а) $π 5π − ---+ πn; − ---+ πm, n,m ∈ ℤ 24 24$

б) $5π- π-- 19-π 23π- − 24 ; − 24; 24 ; 24$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2057

а) Решите уравнение

√ -- − 2 cosx = 2sinx − 6

б) Найдите все его корни, удовлетворяющие условию $|x| < 1$ .

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение к виду

√ -- --6- sin x + cosx = 2

Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на $------- -- √ 12 + 12 = √ 2$ :

$√ -- √ -- √ -- √-- √1-cos x + √1--sin x = -√-6- ⇒ --2-cosx + --2-sin x = -3-- ⇒ 2 2 2 2 2 2 2$

по формуле синуса суммы $sin α cosβ + sinβ cos α = sin(α + β)$

$√ -- √-- π- π- --3- (π- ) -3-- ⇒ sin 4 cosx + cos 4 sin x = 2 ⇒ sin 4 + x = 2 ⇒$

$⌊ π π ⌊ π --+ x = --+ 2πn, n ∈ ℤ x = ---+ 2πn,n ∈ ℤ | 4 3 | 12 ⇒ ⌈ π 2π ⇒ ⌈ 5 π --+ x = ---+ 2 πm, m ∈ ℤ x = --- + 2πm, m ∈ ℤ 4 3 12$

б) Отберем корни.
Заметим, что условие $|x| < 1$ равносильно условию $x ∈ (− 1;1)$ .

− 1 < -π-+ 2πn < 1 ⇒ − 1--− -1- < n < -1- − -1- 12 2π 24 2 π 24

Заметим, что т.к. $3 < π < 4$ , то $18 < 21π < 16$ .
Следовательно, точно можно сказать, что $− 1 < − 21π − 214 < 0$ и $0 < 12π − 124 < 1$ .

Таким образом, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n = 0$ , при котором получается корень $π x = --- 12$ .

5π 1 5 1 5 − 1 < ---+ 2πm < 1 ⇒ − ---− ---< m < ---− --- 12 2π 24 2π 24

Аналогично, $-1 -5 − 1 < − 2π − 24 < 0$ и $-1 -5 − 1 < 2π − 24 < 0$ . Таким образом, в данном случае нет целых $m$ , удовлетворяющих неравенству.

Ответ:

а) $π 5π ---+ 2 πn; ---+ 2πm; n,m ∈ ℤ 12 12$

б) $π-- 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#75178

Снегурочка готовится к сдаче ЕГЭ 2024 и изучает тригонометрию. В качестве тренировки Дед Мороз задал ей решить уравнение

sinx +cosx+ cos2 x= sin2x.

Во время своего отпуска в Великом Устюге это же уравнение увидел АН, после чего задал решить его своим ученикам на курсе, тем более что все затрагиваемые в его решении темы (а их тут минимум три штуки) уже были разобраны на вебинарах.

а) Решите уравнение

sinx +cosx+ cos2 x= sin2x.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−π;0.].$

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов $a2 − b2 = (a− b)(a+ b):$

sin x+ cosx + cos2x− sin2x = 0,

sinx + cosx +(cosx− sinx)(cosx + sinx)= 0,

(sinx +cosx)(1 + cosx − sin x)= 0,

$[ sin x+ cosx = 0, 1+ cosx − sinx= 0.$

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx +cosx= 0.

Перед нами однородное уравнение первого порядка, колдуем над ним следующим образом: допустим, косинус в этом уравнении равен 0. Тогда $sinx+ 0 =0,$ то есть и синус также равен 0. Тут возникает противоречие с ОТТ, ведь $02+ 02 ⁄= 1.$ Следовательно, этот случай не дает корней, и можно разделить обе части уравнения на $cosx.$ Тогда получим:

tgx +1 = 0,

tgx =− 1,

π x =− 4-+πn,n ∈ ℤ.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

1+ cosx− sinx = 0,

sinx − cosx= 1.

Здесь удобно вспомнить технику введения вспомогательного угла. Разделим уравнение на $√ -2---2 √- 1 + 1 = 2 :$

√- √- √- -2-sinx − -2cosx = -2, 2 2 2

( ) ( ) √ - cos π- sinx − sin π cosx = --2, 4 4 2

√- ( π) -2- sin x − 4 = 2 .

Получили простейшее уравнение, решением которого являются две серии:

$⌊x − π= π-+ 2πn,n∈ ℤ, |⌈ 4 4 x− π-= 3π +2πn,n ∈ℤ. 4 4$

$⌊ x= π-+ 2πn,n∈ ℤ, ⌈ 2 x= π + 2πn,n ∈ ℤ.$

б) Реализуем отбор графическим методом:

$PIC$

Минимальные вычисления для отобранных корней:

π- π- x1 = −4 + 2π⋅0= − 4,

x2 = π+ 2π⋅(−1)= −π.

Ответ:

а) $x = − π-+ πn; 4$ $x = π+ 2πn;$ $x = π+ 2πn; 2$ $n ∈ ℤ;$
б) $− π;− π4.$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80009

а) Решите уравнение $sin2x = 1+ √2cosx+ cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π- ] 2;2π .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса, получим

1+ √2-cosx + 2cos2x − 1 − 2 sinxcosx= 0 √- cosx(2cosx− 2sinx + 2)= 0 ⌊ |⌈ cosx= 0 √- sinx − cosx =-2- ⌊ 2 cosx= 0 |⌈ ( ) √ - √2 sinxcos π-− cosx sin π =--2 ⌊ 4 4 2 | cosx= 0 ⌈ ( π) 1 sin x − 4- = 2 ⌊ π- | x= 2 + πp,p∈ ℤ ||| π- π- || x− 4 = 6 + 2πn,n ∈ ℤ ⌈ π 5π x− 4-= -6 +2πm, m ∈ℤ ⌊ π- | x= 2 + πp,p∈ ℤ ||| 5π || x= 12 + 2πn,n∈ ℤ ⌈ 13π x= -12 + 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π;2π , 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$π312π3ππ 2212$

Следовательно, на отрезке $[π- ] 2;2π$ лежат числа $π-13π 3π 2; 12 ; 2 .$

Ответ:

а) $5π+ 2πn,n∈ ℤ; 13π +2πm, m ∈ℤ; π-+ πp,p∈ ℤ 12 12 2$

б) $π 13π 3π 2-;12-;2-$

Предыдущий раздел

Следующий раздел