Логарифмические неравенства с переменным основанием —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#499

Решите неравенство

log 2 4 > 1 x +2x+2

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x2 + 2x + 2 > 0 2 ⇔ x ⁄= − 1 x + 2x + 2 ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log 2 4 > log 2 (x2 + 2x + 2 ) x +2x+2 x+2x+2

Так как на ОДЗ $2 2 x + 2x + 2 = (x + 1) + 1 > 1$ , то исходное неравенство равносильно неравенству

√ -- √ -- 4 > x2 + 2x + 2 ⇔ x2 + 2x − 2 < 0 ⇔ (x + 1 − 3)(x + 1 + 3) < 0,

откуда $x ∈ (− 1 − √3;-− 1 + √3-)$ . Тогда с учётом ОДЗ

√ -- √ -- x ∈ (− 1 − 3;− 1) ∪ (− 1;− 1 + 3)

Ответ:

$√ -- √-- (− 1 − 3;− 1) ∪ (− 1;− 1 + 3 )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1804

Решите неравенство

log 2 ≥ 1 x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x > 0 x ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

--1--- log x ≥ 1 ⇔ 0 < log2x ≤ 1 ⇔ log2 1 < log2x ≤ log2 2 ⇔ 1 < x ≤ 2. 2

C учётом ОДЗ: $x ∈ (1;2].$

Ответ:

$(1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1805

Решите неравенство

log 2 x ≥ 1 + log x2 x x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x2 > 0 { |{ 2 x ⁄= 1 ⇔ x > 0 ||| x > 0 x ⁄= 1 ( x ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

1- 1- 1- 2 log |x|x ≥ 1 + 2 logx |x| ⇔ 2 logxx ≥ 1 + 2 logxx ⇔ 2 ≥ 3.

Таким образом,

x ∈ ∅.

Ответ:

$∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1806

Решите неравенство

log 2 x ≤ 5 + log 3 x2 x x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x2 > 0 |||| 2 { { x ⁄= 1 x > 0 x > 0 ⇔ |||| x3 > 0 x ⁄= 1 ||( x3 ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

1 2 1 2 1 2 --log |x|x ≤ 5 + --logxx ⇔ --logxx ≤ 5 + -- ⇔ --≤ 5 + --. 2 3 2 3 2 3

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ:

x ∈ (0;1) ∪ (1; +∞ ).

Ответ:

$(0;1) ∪ (1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#500

Решите неравенство

log22 3 − 2,75 log 3 + 7,5625 ≤ 0 x |x|

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( |{ x2 > 0 2 |( x ⁄= 1 |x| ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

2 2 0,25log|x|3 − 2, 75log|x|3 + 7,5625 ≤ 0 ⇔ log|x|3 − 11 log |x|3 + 30,25 ≤ 0

Сделаем замену $log|x|3 = t$ :

2 2 t − 11t + 30,25 ≤ 0 ⇔ (t − 5,5) ≤ 0 ⇔ t = 5,5,

откуда на ОДЗ

log 3 = 5,5 = log |x|5,5 ⇔ 3 = |x|112- ⇔ 3121 = |x|, |x| |x|

откуда

2- x = ±3 11

– подходят по ОДЗ.

Ответ:

$2- -2 3 11,− 311$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#501

Решите неравенство

log 2 (22 + ax2 − bx + c) > log 2 ((a + 1)x2 − bx + c), ax −bx+c ax− bx+c

если $a$ , $b$ и $c$ таковы, что при любом $x ∈ ℝ$ выполнено $2 ax + bx + c > 1$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || ax2 − bx + c > 0 |{ 2 ax − bx + c ⁄= 1 ||| 22 + ax2 − bx + c > 0 ( (a + 1)x2 − bx + c > 0

Зафиксируем произвольное $x ∈ ℝ$ , тогда $− x ∈ ℝ$ , следовательно, $2 2 1 < a(− x) + b(− x) + c = ax − bx + c$ , таким образом, при любом $x ∈ ℝ$

ax2 − bx + c > 1,

следовательно, исходное неравенство равносильно

22 > x2,

откуда

√ ---√ --- x ∈ (− 22; 22).

Ответ:

$√ ---√ --- (− 22; 22)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#502

Найдите все такие $x ∈ ℝ$ , которые являются решениями неравенства

log e + log e + ...+ log e ≥ 0 x (x+1) (x+N)

при любых $N ∈ ℕ.$

Показать ответ и решение

Зафиксируем произвольное $N ∈ ℕ$ .

ОДЗ:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 |||{ x + 1 > 0 { x > 0 | x + 1 ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 |||| ... ||| ||| x + N > 0 ( x + N ⁄= 1

На ОДЗ:

1 1 1 logx e + log(x+1)e + ...+ log(x+N )e ≥ 0 ⇔ ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Рассмотрим отдельно случаи $x ∈ (0;1 )$ и $x ∈ (1;+∞ )$ .

1) $x ∈ (1;+ ∞ )$ , тогда

ln x > 0, ln(x + 1) > 0, ..., ln(x + N ) > 0,

следовательно,

1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- > 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Таким образом, все $x ∈ (1;+ ∞ )$ идут в ответ.

2) $0 < x < 1$ .
Так как искомые $x$ должны удовлетворять исходному неравенству при любых $N ∈ ℕ$ , то они должны удовлетворять ему и при $N = 1$ . Рассмотрим этот случай отдельно:

-1-- ----1---- lnx + ln(x + 1) ≥ 0

Так как $0 < x < 1$ , то $ln x < 0$ , а $ln(x + 1) > 0$ , следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству

ln(x + 1) + ln x ≤ 0 ⇔ ln (x (x + 1)) ≤ ln 1 ⇔ x (x + 1) ≤ 1 ⇔ ⇔ x2 + x − 1 ≤ 0

По методу интервалов на $(0;1)$ :

$PIC$

Таким образом, $x ∈ (0; √5-−-1-] 2$ .

Для всякого $N ∈ ℕ$ , $N > 1$ при $( ] √5-− 1 x ∈ 0; ------- 2$ :

-1-- ---1----- ---1----- ----1----- lnx + ln (x + 1 ) ≥ 0, ln(x + 2) > 0, ..., ln (x + N ) > 0,

следовательно,

1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0, lnx ln (x + 1) ln(x + N )

то есть $( ] √ -- x ∈ 0;--5-−-1 2$ идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все $x$ из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

( √ -- ] x ∈ 0;--5-−-1 ∪ (1;+ ∞ ). 2

Ответ:

$( √ -- ] 0;0,5 5 − 0,5 ∪ (1; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#874

Решите неравенство

2 2 (x-−-3)-- logx2+1 (x − 3) ⋅ logx2+1 (x2 + 1)3 ≤ − 2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( || x2 + 1 > 0 ||| 2 { { x + 1 ⁄= 1 x ⁄= 0 | (x − 3)2 > 0 ⇔ x ⁄= 3 ||| (x − 3)2 |( --2----3-> 0 (x + 1)

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x ∈ (− ∞; 0) ∪ (0;3) ∪ (3; +∞ )$
Решим неравенство на ОДЗ:

log 2 (x − 3)2 ⋅ (log 2 (x − 3)2 − log 2 (x2 + 1)3) ≤ − 2 x +1 x +1 x +1

Сделаем замену $t = logx2+1(x − 3)2$ , тогда неравенство примет вид:

t(t − 3) ≤ − 2 ⇔ (t − 1)(t − 2 ) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2

Сделаем обратную подстановку:

{ { logx2+1(x − 3)2 ≥ 1 logx2+1 (x − 3)2 ≥ logx2+1 (x2 + 1 ) log 2 (x − 3)2 ≤ 2 ⇔ log 2 (x − 3)2 ≤ log 2 (x2 + 1 )2 x +1 x +1 x +1

Заметим, что так как на ОДЗ $2 x > 0$ , то $2 x + 1 > 1$ , следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны

( ( { 2 2 |{ x ≤ 4- |{ x ≤ 4- (x − 3) ≥ x + 1 ⇔ 3 ⇔ 3 (x − 3)2 ≤ (x2 + 1 )2 |( 2 2 |( 2 (x − 3 − x − 1)(x − 3 + x + 1) ≤ 0 (x − x + 4)(x + 2)(x − 1) ≥ 0

Решая второе неравенство методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [1;+ ∞ )$
После пересечения данного множества с $4 x ≤ 3$ и с ОДЗ получим окончательный ответ $[ 4] x ∈ (− ∞; − 2] ∪ 1; 3$

Ответ:

$[ ] (− ∞; − 2] ∪ 1; 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1807

Решите неравенство

log x2016 ≤ log x + log 2016 x2 x 5 x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x > 0 |||| { { x ⁄= 1 x > 0 x2016 > 0 ⇔ |||| x2016 ⁄= 1 x ⁄= 1 ||( x2 > 0

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

2 1 2016logx |x | ≤ log5 x +-----log |x||x| ⇔ 2016 logxx ≤ log5 x + ----- ⇔ 2016 1008 ⇔ 2016 − --1--≤ log x ⇔ log 5201510100078 ≤ log x ⇔ 5201511000708 ≤ x. 1008 5 5 5

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при

201511000078 x ∈ [5 ;+ ∞ ).

Ответ:

$1007 [520151008;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1808

Решите неравенство

log 10 > log 10 x (x+0,5)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x > 0 ( |{ |{ x > 0 x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 ||| x + 0,5 > 0 |( ( x + 0,5 ⁄= 1 x ⁄= 0,5

На ОДЗ:

log 10 > log 10 ⇔ -1--> ----1------. x (x+0,5) lg x lg(x + 0,5)

Рассмотрим отдельно случаи $x ∈ (0;0, 5)$ , $x ∈ (0,5; 1)$ и $x ∈ (1;+ ∞ )$ .

1) $x ∈ (0;0,5)$ , тогда

lg x < 0, lg (x + 0, 5) < 0,

следовательно,

-1-- > -----1----- ⇔ lg(x + 0,5 ) > lg x ⇔ lg x-+-0,5-> lg1 ⇔ lgx lg(x + 0,5) x x + 0,5 ⇔ --------> 1 ⇔ x + 0, 5 > x ⇔ 0, 5 > 0 x

Таким образом, все $x ∈ (0; 0,5)$ идут в ответ.

2) $x ∈ (0,5;1)$ , тогда

lg x < 0, lg (x + 0, 5) > 0,

следовательно,

-1--< 0 < -----1----- lgx lg(x + 0,5)

Таким образом, среди $x ∈ (0,5;1)$ решений нет.

3) $x ∈ (1;+ ∞ )$ , тогда

lg x > 0, lg (x + 0, 5) > 0,

следовательно,

-1-- > -----1----- ⇔ lg(x + 0,5 ) > lg x ⇔ lg x-+-0,5-> lg1 ⇔ lgx lg(x + 0,5) x x + 0,5 ⇔ --------> 1 ⇔ x + 0, 5 > x ⇔ 0, 5 > 0 x

Таким образом, все $x ∈ (1; +∞ )$ идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все $x$ из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

x ∈ (0;0,5) ∪ (1; +∞ ).

Ответ:

$(0;0,5) ∪ (1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1809

Решите неравенство

2 logx3+ 5log|x|3 +6 > 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

{ x > 0 x ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log2x3+ 5logx3+ 6> 0

Сделаем замену $logx3 =t :$

t2+ 5t+ 6> 0 ⇔ (t+ 2)(t+ 3) >0

По методу интервалов находим $t∈ (−∞;− 3)∪(−2;+∞ ).$ Отсюда получаем

[logx3< −3 ⌊logx 3< logxx−3 (1) ⇔ ⌈ −2 logx3> −2 logx 3> logxx (2)

Решим неравенство (1) с учетом того, что $1 0< √33-< 1 :$

⌊( ⌊(| x> 1 { x> 1 |{ ( 3√- )( 2 3√ 3√- ) ||( 3< x−3 |||( -x-3−-1--x--9-+x--3+-1--<0 ||| ⇔ ||| x3 ||({ 0< x< 1 ||(|{ 0< x< 1 ⌈ −3 |⌈ ( 3√- )( 2 3√ 3√- ) ( 3> x |( -x-3−-1--x-39-+x--3+-1-->0 ⌊( x |{ x> 1 || 1 |||( 0< x< -3√3 |||( (-1- ) ||||| 0< x< 1 ⇔ x∈ √33-;1 ||{ ⌊x< 0 |⌈||| ⌈ 1 ( x> √33-

Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Решим неравенство (2) с учетом того, что $0< √1-< 1: 3$

⌊( ⌊(| { x> 1 |{ x(>√1 )( √ - ) ||( 3> x−2 |||( -x-3-− 1-x--3+-1-> 0 ||| ⇔ ||| x2 ||({ 0< x < 1 ||(|{ 0< x < 1 ⌈ |⌈ ( √- )( √ - ) ( 3< x−2 |( -x-3-− 1-x--3+-1-< 0 ⌊( x2 || x> 1 |||||{ ⌊ 1 || |x <− √3- ||||||| |⌈ 1 |||( x > √3- ( ) ||( ⇔ x ∈ 0; 1√- ∪ (1;+∞ ) ||||| 0< x < 1 3 ||||{ ⌊ 1-- |||| || − √3 <x < 0 ⌈||||( ⌈ -1- 0< x < √3

Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Объединив решения неравенств (1) и (2), окончательно получим

( 1 ) ( 1 ) x ∈ 0;√3- ∪ 3√3-;1 ∪(1;+∞ )

Ответ:

$( 1-) (-1- ) 0;√3 ∪ √33-;1 ∪ (1;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1810

Решите неравенство

log 2 22 > log 2 x2, ax −bx+c ax −bx+c

если $a$ , $b$ и $c$ таковы, что при любом $x ∈ ℝ$ выполнено $2 ax + bx + c > 1$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( |{ ax2 − bx + c > 0 2 |( ax − bx + c ⁄= 1 x2 > 0

Зафиксируем произвольное $x ∈ ℝ$ , тогда $− x ∈ ℝ$ , следовательно, $1 < a(− x)2 + b(− x) + c = ax2 − bx + c$ , таким образом, при любом $x ∈ ℝ$

2 ax − bx + c > 1,

следовательно, ОДЗ: $x ⁄= 0$ и исходное неравенство на ОДЗ равносильно

22 > x2,

откуда с учётом ОДЗ

√ --- √ --- x ∈ (− 22;0) ∪ (0; 22).

Ответ:

$√ --- √--- (− 22;0) ∪ (0; 22 )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2551

Решите неравенство

−1 2 logx(2x--)-⋅ logx-(2x-) log2xx ⋅ log2x−2 x < 40

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ всех логарифмов:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 ( ) ( ) { 2x −1 > 0 1- 1- √ -- √ -- | 2x2 > 0 ⇔ x ∈ 0;2 ∪ 2;1 ∪ (1; 2) ∪ ( 2;+ ∞ ) ||| |||| 2x ⁄= 1 ( 2x −2 ⁄= 1

Решим неравенство на ОДЗ. В числителе оба логарифма распишем по формуле $loga (bc) = loga b + logac$ , а в знаменателе – по формуле $loga b = --1--- logb a$ , а затем по первой формуле:

(logx 2 + logx x− 1) ⋅ (logx 2 + logxx2) (logx2 − 1)(logx2 + 2) --------1----------------1----------< 40 ⇒ -----1----------1------< 40 --------------⋅--------------−2 ----------⋅---------- logx 2 + logx x logx 2 + logx x logx 2 + 1 logx2 − 2

Сделаем замену: $log 2 = t x$ . Тогда неравенство примет вид:

(t − 1)(t + 1)(t − 2)(t + 2) < 40 ⇒ (t2 − 1)(t2 − 4) < 40 ⇒ t4 − 5t2 − 36 < 0

Сделаем еще одну замену: $t2 = z$ . Тогда неравенство станет квадратичным:

z2 − 5z − 36 < 0 ⇒ (z + 4)(z − 9) < 0

Подставим вместо $2 z = t$ :

2 (t + 4)(t − 3)(t + 3) < 0

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ:

t ∈ (− 3;3)

Сделаем обратную замену:

( { { 3 |{ logx(2x3) > 0 logx2 > − 3 ⇒ logx 2 + logx x > 0 ⇒ ( ) logx2 < 3 logx 2 − logx x3 < 0 |( logx -2- < 0 x3

Каждое неравенство можно решить методом рационализации:

( 3 ( |{ (x − 1)(2x − 1) > 0 |{ (x − 1)(2x3 − 1) > 0 ( 2 ) ⇒ 3 |( (x − 1) ---− 1 < 0 |( (x − 1) ⋅ 2 −-x-< 0 x3 x3

Решая каждое неравенство методом интервалов, получим:

( ( ) | -1-- ( ) { x ∈ − ∞; 3√ -- ∪ (1;+ ∞ ) -1-- √3-- | √2-- ⇔ x ∈ 0;3√2-- ∪ ( 2;+ ∞ ) ( x ∈ (0;1) ∪ ( 32;+ ∞ )

Теперь осталось пересечь полученный ответ с ОДЗ:

( ) ( ) (√ --√ -) √ -- x ∈ 0; 1 ∪ 1;√1-- ∪ 32; 2 ∪ ( 2;+ ∞ ) 2 2 32

Ответ:

$( ) ( ) (3√ --√ -) √ -- 0; 12 ∪ 12; 13√2- ∪ 2; 2 ∪ ( 2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2721

Решите неравенство

log e + log e < 0 x (x+2)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x > 0 { |{ x ⁄= 1 ⇔ x > 0 ||| x + 2 > 0 x ⁄= 1 ( x + 2 ⁄= 1

На ОДЗ:

log e + log e < 0 ⇔ -1--+ ---1-----< 0. x (x+2) ln x ln(x + 2)

Рассмотрим отдельно случаи $x ∈ (0;1 )$ и $x ∈ (1;+∞ )$ .

1) $x ∈ (1;+ ∞ )$ , тогда

ln x > 0, ln (x + 2) > 0,

следовательно,

-1--+ ---1-----> 0. lnx ln(x + 2)

Таким образом, среди $x ∈ (1;+ ∞ )$ решений нет.

2) $0 < x < 1$ , тогда

ln x < 0, ln (x + 1) > 0,

следовательно,

1 1 ----+ ---------< 0 ⇔ ln (x + 2) + ln x > 0 ⇔ ln(x(x + 2)) > ln 1 ⇔ lnx ln (x + 2 ) ⇔ x(x + 2) > 1 ⇔ x2 + 2x − 1 > 0

По методу интервалов на $(0;1)$ :

$PIC$

Таким образом, $√ -- x ∈ ( 2 − 1;1)$ .

Так как мы рассмотрели все $x$ из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

√ -- x ∈ ( 2 − 1;1).

Ответ:

$√ -- ( 2 − 1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20621

Решите неравенство

2⋅4x− 15 ⋅2x + 23 logx2+1 -4x−-9⋅2x+-14--≥ 0

Показать ответ и решение

Заметим, что $2 x +1 > 1$ при $x⁄= 0$ , а значит мы можем опустить логарифм с учетом того, что при $x= 0$ выражение не имеет смысла:

$pict$

Для начала решим второе неравенство системы:

x x x2 x 2⋅4x-−-15⋅2x-+-23− 1 ≥0 ⇔ 2⋅(2x)2-−-15⋅x2-+-23− 1 ≥0 4 − 9 ⋅2 + 14 (2 ) − 9 ⋅2 +14

Обозначим $2x = t, t> 0$ , тогда неравенство примет вид

2t2− 15t+-23 -t2-− 6t+-9- --(t− 3)2-- t2− 9t+ 14 − 1 ≥0 ⇔ (t− 2)(t− 7) ≥0 ⇔ (t− 2)(t− 7) ≥0

Решим последнее неравенство методом интервалов:

$PIC$

Получим $t∈ (0;2)∪(7;+∞ )∪ {3}$ .

Вернемся к исходным обозначениям:

$pict$

Тогда система примет вид

$pict$

Отсюда окончательно получаем

x ∈(−∞; 0)∪(0;1)∪(log27;+∞ )∪ {log23}

Ответ:

$(− ∞;0)∪ (0;1)∪ (log27;+ ∞)∪ {log23}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41109

Решите неравенство

log (22x+1 − 2x+2+ 2)≤---x-- 2|2x−1| |2x− 1|

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t,$ тогда неравенство примет вид

log (2(t2− 2t+ 1))≤ ---x-- 2|2x−1| |2x − 1|

Найдем ОДЗ. Основание логарифма положительно, поэтому

2(t2− 2t+ 1)> 0 ⇔ 2(t− 1)2 > 0 ⇔ t⁄= 1 ⇒ x ⁄= 0

Кроме того, основание логарифма не равно 1 и знаменатель дроби не равен 0, то есть

2|2x−1| ⁄= 1, |2x − 1|⁄= 0 ⇒ x ⁄= 1 2

Тогда $2|2x−1| > 20 > 1,$ следовательно, неравенство равносильно при этом условии и на ОДЗ:

2 ( |2x−1|)|2xx−1| 2(t− 1) ≤ 2 ⇒ 2 2(t− 1) ≤ t ⇔ 2t2 − 5t+ 2≤ 0 ⇔ 1 2 ≤ t≤2 ⇒ − 1≤ x ≤ 1

Исключая $1 x= 0;2,$ получаем ответ

x∈ [− 1;0)∪ (0;0,5)∪(0,5;1]

Ответ:

$x ∈[−1;0)∪(0;0,5)∪ (0,5;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#71554

Решите неравенство

2 logx−4(2x − 9x+ 4)> 1.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

(|2x2− 9x+ 4> 0, {x − 4 > 0, |( x − 4 ⁄= 1.

( 2 |{ x − 4,5x +2 > 0, |( x> 4, x⁄= 5.

Нули левой части первой строки системы легко определить по Виету: $x1+ x2 = 4 +0,5= 4,5$ и $x1⋅x2 = 4⋅0,5 = 2.$

( |{ 2(x − 0,5)(x− 4)> 0, |( x> 4, x⁄= 5.

Таким образом, получаем ОДЗ $x∈ (4;5)∪ (5;+ ∞).$

Перейдём к решению неравенства. представим единицу как $logx−4(x − 4):$

logx−4(2x2− 9x+ 4)> logx−4(x− 4),

log (2x2− 9x + 4)− log (x − 4)> 0. x−4 x−4

Применим метод рационализации:

(x− 4− 1)((2x2− 9x+ 4)− (x − 4))> 0,

(x − 5)(2x2− 10x +8)> 0,

(x − 5) ⋅2 ⋅(x2− 5x +4)> 0,

2(x− 5)(x2 − x − 4x + 4) >0,

2(x− 5)(x(x− 1)− 4(x − 1))> 0,

2(x − 5)(x− 1)(x − 4)> 0.

По методу интервалов для рационального неравенства получаем $x ∈(1;4)∪(5;+∞ ).$

Пересекаем промежутки ОДЗ и решений рационального неравенства и получаем $x ∈ (5;+∞ ).$

Ответ:

$x ∈(5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72115

Решите неравенство

2 2 2log(x2−8x+17)2(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x + 7x + 5)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(|(x2− 8x+ 17)2 > 0 ||||3x2+ 5 >0 |||{ 2 2 (x2− 8x+ 17) ⁄= 1 |||||2x2 + 7x+ 5 >0 |||(x − 8x +17 >0 x2 − 8x +17 ⁄=1

Первое неравенство является следствием пятого, поэтому его можно опустить. Шестое неравенство входит в третье, поэтому его также можно исключить. Остаётся:

( 2 5 |||{ x >2 − 3 2 (x2− 8x + 17) − 1⁄= 0 |||( 2x + 7x+ 5> 0 x2− 8x+ 17> 0

Первое неравенство верно для любого $x,$ т.к. квадрат любого числа всегда неотрицательный, поэтому его можно отбросить. У четвертого неравенства $D = 64− 4⋅17= − 4< 0,$ то есть парабола не имеет пересечений с осью $\text{[math]}$ и всегда положительна. Поэтому остается только:

{(x2− 8x+ 16)(x2− 8x+ 18)⁄= 0 2(x+ 5)(x + 1) >0 2

Так как у неравенства $x2− 8x+ 18⁄= 0$ дискриминант равен
$D = 64− 4⋅8 =− 8< 0,$ то решений у неравенства нет.

{ (x − 4)2 ⁄= 0 (x + 5)(x+ 1)> 0 2

{x ⁄= 4 (x+ 2,5)(x+ 1)> 0

Итоговая ОДЗ: $x∈ (−∞; −2,5)∪ (−1;4)∪(4;+∞ ).$

Мы уже знаем, что квадратный трехчлен $x2− 8x+ 17$ не имеет корней, то есть график параболы всегда находится над осью $x$ и всегда положителен. В соответствии с этим мы имеем право вынести из основания левого логарифма степень 2 и при этом не ставить модуль, так как при любом $x$ трехчлен принимает исключительно положительные значения.

2log2 (3x2+ 5)≤ log 2 (2x2+ 7x+ 5). 2 x −8x+17 x −8x+17

Теперь решим неравенство с помощью метода рационализации:

2 2 logx2−8x+17(3x + 5)− logx2−8x+17(2x + 7x+ 5)≤ 0,

(x2− 8x+ 17− 1)(3x2+ 5− (2x2 +7x +5))≤ 0,

(x2− 8x+ 16)(x2− 7x)≤ 0,

(x− 4)2x(x− 7)≤ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$047+––+$

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет: $[0;4) ∪(4;7].$

Ответ:

$x ∈[0;4) ∪(4;7]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#73290

Решите неравенство

2 (5x − 13)⋅log2x−5(x − 6x + 10) ≥0.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 6x+ 10> 0, { ( ) { x > 52, 5 |( 2x− 5> 0 x ⁄= 3 x ∈ 2;3 ∪(3;+∞ ). 2x− 5⁄= 1

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(5x− 13)⋅(log2x−5(x2− 6x+ 10)− 0)≥ 0,

(5x− 13)⋅(log2x−5(x2− 6x+ 10)− log2x−51)≥ 0,

(5x− 13)(2x− 5− 1)(x2− 6x+ 10− 1)≥ 0,

(5x− 13)(2x − 6)(x2− 6x + 9) ≥0,

(x− 13)(x− 3)(x− 3)2 ≥ 0. 5

$PIC$

С учетом ОДЗ:

$PIC$

( ] x∈ 5; 13 ∪ (3;+∞ ). 2 5

Ответ:

$( ] x ∈ 52; 135 ∪ (3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#78013

Решите неравенство

2log(x+3)22+ log16(x +3)≥ 2,125.

Показать ответ и решение

ОДЗ определяют три неравенства:

(| (x+ 3)2 > 0, { 2 |( (x+ 3) ⁄= 1, x+ 3 >0,

решая которые находим, что $x∈ (−3;−2)∪ (− 2;+ ∞ ).$
Так как на ОДЗ $x +3 > 0,$ получаем

2 log(x+3)2 2+ log24(x + 3) ≥2,125,

2⋅ 1 logx+32+ 1 ⋅log2(x+ 3)≥ 2,125, 2 4

8logx+3 2+ 2log2(x+ 3)≥ 17,

8⋅ ---1-----+ 2log2(x+ 3)≥ 17. log2(x+ 3)

Пусть $t= log2(x + 3),$ тогда

8 t +2t− 17≥ 0,

2t2−-17t+8 t ≥ 0.

Найдем нули квадратного трехчлена:

2t2− 17t+8 = 0,

D = (−17)2− 4 ⋅2⋅8= 225,

√--- t1 = 17−--225= 17-− 15-= 1, 2⋅2 4 2

√--- t1 = 17+-225-= 17+-15= 8. 2 ⋅2 4

Воспользуемся методом интервалов

1 2(t−-2)(t− 8)-≥0. t

$PIC$

Обратная замена. Обращаем внимание на то, что основание логарифма $2 > 1,$ поэтому знак неравенства сохраняется:
1 случай.

1 0 <t ≤ 2,

0< log2(x + 3) ≤ 1, 2

12 log21< log2(x+ 3)≤ log22 ,

1< x +3 ≤ √2,

− 2< x≤ √2 − 3.

2 случай.

t≥ 8,

log2(x+ 3)≥ 8,

log2(x+ 3)≥ log228,

x + 3≥ 256,

x≥ 253.

С учётом ОДЗ

$PIC$

получаем $x∈ (−2;−3+ √2]∪ [253;+∞ ).$

Ответ:

$( √-] x ∈ − 2;− 3+ 2 ∪ [253;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием