Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.02 Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99497

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $2πt v = v0cos T ,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 2$ с — период колебаний, $v0 = 2$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $2 E = mv--, 2$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Найдем скорость, подставив в формулу скорости данные из условия:

v = 2 ⋅cos 2π-⋅50 = 2cos50π = 2. 2

Теперь найдем кинетическую энергию:

0,58 ⋅22 E = ---2---= 0,58⋅2 =1,16.

Ответ: 1,16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#286

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле $F = ρghSдна,$ где $F$ — сила давления в ньютонах, $ρ$ — плотность жидкости в $кг/м3,$ $h$ — высота столба жидкости в метрах, $Sдна$ — площадь дна в $м2.$ Во сколько раз увеличится сила давления на дно сосуда, если высоту столба жидкости уменьшить в 2 раза при одновременном увеличении радиуса круглого дна в 5 раз?

Показать ответ и решение

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна $F1$ Н, высота столба жидкости в начальном состоянии равна $h1$ м, а радиус его основания $r1$ м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна $F2$ Н, тогда высота столба жидкости в конечном состоянии равна $0,5h1,$ а радиус основания равен $5r1.$

Для начальных параметров известно, что

2 F1 = ρgh1⋅πr1

Для конечных параметров известно, что

2 2 F2 = ρg⋅0,5h1⋅π(5r1) = 12,5ρgh1⋅πr1 =12,5F1

Тогда сила давления на дно сосуда увеличится в 12,5 раз.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#529

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: $pV = νRT$ , где $p$ – давление в Паскалях, $V$ – объем в м $3$ , $ν$ – количество вещества в молях, $T$ – температура в кельвинах, $R$ – универсальная газовая постоянная, равная $8,31$ Дж/(К $⋅$ моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ – начальный объём газа в м $3$ , $T1$ – начальная температура газа в кельвинах, $T2$ – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда $3V1$ – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 =νRT1,

для конечных параметров известно, что

p ⋅3V1 =νRT2.

Умножая первое уравнение на $3$ , получаем

3pV1 =3νRT1,

откуда заключаем, что $3νRT1 = νRT2$ , следовательно, $T2 = 3T1$ , то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в $3$ раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1601

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона

pV =νRT

Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(K $⋅м оль).$ Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ — начальный объём газа в $м3,$ $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $T2$ — конечная температура газа в кельвинах. Так как объем газа увеличился в 3 раза, то $3V1$ — конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

p⋅3V1 =νRT2

Умножая первое уравнение на 3, получаем

3pV1 = 3νRT1

Отсюда заключаем, что

3νRT1 = νRT2 ⇒ T2 =3T1

Тогда температуру совершенного газа надо увеличить в 3 раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1602

Совершенный газ описывается законом Менделеева — Клапейрона $pV = νRT.$ Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К $⋅$ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в 2 раза по сравнению с первоначальным.

Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, если его температура увеличилась в 7 раз?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ — начальный объём газа в $м3,$ $p1$ — начальное давление газа в паскалях, $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $V2$ — конечный объем газа в $м3.$

Тогда $7T1$ — конечная температура, $2p1$ — конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что

p1V1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

2p1V2 = νR ⋅7T1

Умножая первое уравнение на 7, получаем

7p1V1 = 7νRT1

Отсюда заключаем, что

7p1V1 = 2p1V2 ⇔ V2 = 3,5V1

Тогда объем совершенного газа должен был увеличиться в 3,5 раза.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1608

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда $FA =ρgV.$ Здесь $ρ$ — плотность воды в кг/м $3,$ $g$ — ускорение свободного падения в м/с $2,$ $V$ — объем Игоря в м $3.$ Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Показать ответ и решение

Пусть до увеличения объем Игоря был равен $VИгоря$ м $3.$ Сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была равна $FA1.$

Тогда после увеличения объем Игоря стал равен $8VИгоря$ м $3,$ а сила Архимеда стала равна

FA2 = ρg⋅8VИгоря = 8ρgVИгоря = 8FA1

Значит, сила Архимеда увеличилась в 8 раз.

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#280

Иван вертикально бросил камень вниз с двух башен А и В (с начальными скоростями, равными 0). В результате он обнаружил, что время падения камня с башни А равно 2 секундам, а с башни В – 2,5 секундам. Иван может приближенно рассчитать высоту любой башни по формуле $2 h = 5t$ , где $h$ – высота этой башни в метрах, $t$ – время падения с неё камня в секундах. На сколько согласно подсчётам Ивана башня В выше, чем башня А? Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение

Первый способ:

Разность высот башен В и А равна $5 ⋅ 2, 52 − 5 ⋅ 22 = 5 ⋅ (6,25 − 4) = 5 ⋅ 2,25 = 11,25$ метров.

Второй способ:

Высота башни В равна $2 5 ⋅ 2,5 = 5 ⋅ 6,25 = 31,25$ метров,
высота башни А равна $2 5 ⋅ 2 = 5 ⋅ 4 = 20$ метров,
башня В выше башни А на $31,25 − 20 = 11, 25$ метров.

Ответ: 11,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#281

Агентство «Агентство» составляет рейтинг университетов на основании 4 показателей: $P1,$ $P2,$ $P3,$ $P4$ . Итоговый рейтинг каждого университета вычисляется по формуле

5P + 4P + 3P − P R = --1----2K---3---4,

где $K$ — некоторое число, а показатели $P1,$ $P2,$ $P3,$ $P4$ оцениваются по 100-балльной шкале. Университет «Университет» получил по 50 баллов по всем оцениваемым показателям и его рейтинг оказался $R = 50.$ Чему равно $K?$

Показать ответ и решение

50 = 5⋅50+-4⋅50+-3⋅50−-50 K 50= 11-⋅50- K K = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#282

Для средней кинетической энергии молекулы совершенного газа справедлива формула $mv2- 3 2 = 2kT,$ где $m$ — масса молекулы газа в кг, $v$ — средняя скорость молекулы газа в м/с, $T$ — абсолютная температура в кельвинах, а $k$ — постоянная Больцмана в Дж/К. Во сколько раз увеличится средняя скорость молекулы газа при увеличении его температуры в 4 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $v1$ — начальная средняя скорость молекулы газа в м/с, $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $v2$ — конечная средняя скорость молекулы газа в м/с, тогда $4T1$ — конечная температура газа.

Для начальных параметров известно, что

mv 2 3 -21-= 2 kT1

Для конечных параметров известно, что

mv22 3 2 = 2k ⋅4T1

Умножая первое уравнение на 4, получаем

4mv12 = 4⋅ 3kT1 2 2

Отсюда заключаем, что

2 2 mv2- =4 mv1- ⇒ v22 = 4v12 2 2

С учетом $v1 ≥ 0,v2 ≥ 0$ получаем

v2 = 2v1

Тогда средняя скорость молекулы газа увеличится в 2 раза.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#283

Для системы $N$ материальных точек справедлив второй закон Ньютона

F = m1a1+ ⋅⋅⋅+ mN aN,

где $F$ – сила в ньютонах, $mi$ — масса $i$ -ой точки в кг, $ai$ — ускорение $i$ -ой точки в $м/с2.$ Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами $m1 = 1,$ $m2 = 2,$ $m3 = 3,$ $m4 = 4,$ $m5$ и ускорениями $a1 = 1,$ $a2 = 1,$ $a3 = 1,$ $a4 = 1,$ $a5,$ пусть сила при этом $F = 30$ Н. Во сколько раз увеличится сила $F$ при увеличении ускорения 5-ой точки в 2,5 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $m5$ и $a5$ — начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально

F =1 ⋅1+ 2⋅1+ 3⋅1+ 4⋅1+ m5a5 = = 10 +m5a5 = 30 H,

откуда $m5a5 =20$ Н.

После увеличения ускорения 5-ой точки в 2,5 раза сила станет

F = 1⋅1+ 2⋅1+ 3⋅1+ 4⋅1 +m5 ⋅2,5a5 = = 10+ 2,5m5a5 = 10+ 2,5⋅20= 60 H,

то есть увеличится в 2 раза.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#284

Для системы $N$ материальных точек справедлив второй закон Ньютона

F = m1a1+ ⋅⋅⋅+ mN aN,

где $F$ — сила в ньютонах, $mi$ — масса $i$ -ой точки в кг, $ai$ — ускорение $i$ -ой точки в $м/с2.$ Пусть система состоит из трех материальных точек с массами $m1 = m2 = 0,5m3$ и ускорениями $a1 = a2 = a3.$ Во сколько раз увеличится сила $F$ при сохранении ускорений первой и второй точек и увеличении ускорения третьей точки в 4 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $mi$ и $ai$ – начальные параметры $i$ -ой точки, тогда изначально

F = m1a1 +m2a2 + m3a3 = 0,5m3a3 +0,5m3a3+ m3a3 =2m3a3

После увеличения ускорения третьей точки в 4 раза сила станет равной

F = m1a1+ m2a2+ m3 ⋅4a3 = 0,5m3a3+ 0,5m3a3 + 4m3a3 = 5m3a3

Тогда сила $F$ увеличится в 2,5 раза.

Ответ: 2,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#285

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле

ℰ = l−-l0, l0

где $l0$ — начальная длина стержня (в метрах), $l$ — конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) в 1,2 раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять 80% от длины, которая была в состоянии 1. Какое относительное удлинение получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

Показать ответ и решение

В состоянии 1 длина стержня стала $1,2l0,$ а после перехода в состояние 2 она стала составлять

-80 ⋅1,2l0 = 0,96l0. 100

Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно

ℰ = 0,96l0−-l0-= −0,04. l0

Ответ: -0,04

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#287

Сила тока в неразветвлённой части полной цепи с $n$ параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле

ℰ I = R-+-r, n

где $ℰ$ — ЭДС каждого источника в вольтах, $R = 5,25$ Ом — сопротивление цепи в омах, $r = 3$ Ом – внутреннее сопротивление каждого источника. Сила тока составила половину от силы тока короткого замыкания одного источника $Iкз = ℰ. r$ Сколько элементов ЭДС в цепи?

Показать ответ и решение

После подстановки в уравнение

--ℰ-r = 1⋅ ℰ R + n 2 r

известных значений получим

ℰ 1 ℰ 5,25+-3 = 2 ⋅-3 n

Последнее равносильно $---1-3-= 1, 5,25+ n 6$ то есть $5,25+ 3-= 6, n$ откуда находим $n= 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#530

Объем спроса $Q$ единиц в месяц на продукцию предприятия $N$ зависит от цены $P$ в тыс. руб. по формуле $Q (P) = 50 − P 2$ . Месячная выручка $R$ в тыс. руб. предприятия $N$ вычисляется по формуле $R = P ⋅ Q$ . Определите наименьшую цену $P$ , при которой месячная выручка $R$ составит $136$ тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

Показать ответ и решение

$R = P ⋅ Q = 50P − P 3$ . Месячная выручка составит $136$ тыс. руб. при цене $P$ , которая может быть найдена из уравнения

50P − P 3 = 136 ⇔ P 3 − 50P + 136 = 0.

Можно угадать один из корней последнего уравнения: $P = 4$ . Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(P − 4 )$ при помощи деления столбиком:

3 2 | P + 0 ⋅ P − 50P + 136 | ----P-−--4----- P-3 −--4P-2- | P 2 + 4P − 34 4P 2 − 50P | 4P-2 −-16P-- | − 34P + 136 | −-34P-+-136- | 0 |

Таким образом,

3 2 P − 50P + 136 = (P − 4)(P + 4P − 34).

Рассмотрим отдельно уравнение $P 2 + 4P − 34 = 0$ . Его корни $P = − 2 ± √38-$ .

В итоге уравнение $3 P − 50P + 136 = 0$ имеет корни $√ --- √ --- P1 = 4, P2 = − 2 + 38, P3 = − 2 − 38$ . Так как цена $P > 0$ , то $P3$ не подходит.

Среди $P1$ и $P2$ меньшим является $P1 = 4$ (так как $√ --- √ --- P2 = 38 − 2 > 36 − 2 = 6 − 2 = 4$ ).

Итого: наименьшая цена $P$ , при которой месячная выручка $R$ составит $136$ тыс. руб., равна $4$ тыс. руб.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#926

Материальная точка $P$ движется по прямой так, что её скорость в каждый момент времени $t$ может быть найдена по формуле $⃗v(t) = (x2(t) + x(t) + t)⃗ex$ , где $x(t)$ – координата точки $P$ . Известно, что при $t ∈ (− 1;0)$ точка двигалась в направлении $⃗ex$ , а при $t ∈ (0;1)$ – в противоположную сторону. Найдите $x(0)$ , если известно, что через положение $x = 0$ точка не проходила.

Показать ответ и решение

Так как при $t ∈ (− 1;0)$ точка двигалась в направлении $⃗ex$ , а при $t ∈ (0;1)$ – в противоположную сторону, то в момент $t = 0$ скорость точки должна быть равной $0$ , откуда

[ x(0) = 0 x2(0) + x (0) = 0 ⇔ x(0) = − 1,

но положение $x = 0$ точка не проходила, следовательно, ответ: $x (0 ) = − 1$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#944

Астероид вытянутой формы летит со скоростью $9000$ км/с относительно Игоря, который неподвижно стоит на Земле. Длина астероида, которую наблюдает Игорь в телескоп, может быть найдена по формуле $∘ ------ l = l 1− v2, н c2$ где $lн$ — длина неподвижного относительно Игоря астероида, $v$ км/с — скорость астероида, $c= 300000$ км/с — скорость света. Игорь уверен, что наблюдаемая им длина астероида равна $√---- 0,2 9991$ км. Чему тогда равна длина неподвижного относительно Игоря такого же астероида? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

Вычислим величину

v2 ( v)2 ( 9000 )2 ( 3 )2 9 c2 = c = 300000 = 100 = 10000

Теперь все имеющиеся данные подставим в формулу:

√---- ∘ -----9--- ∘ -9991-- √9991 0,2 9991= lн 1− 10000 = lн 10000 = lн-100-.

В итоге получим

√---- √9991 0,2 9991= lн -100-- ⇔ lн = 20

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1224

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m0 ⋅2− tT,$ где $m0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу:

− t 3 =96 ⋅2 3 − t 1 2 3 = 32 − t −5 2 3 = 2 t =15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1270

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV k = 1,25⋅108 П а⋅м4,$ где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k = 4. 3$ Найдите, какой объем $V$ в кубических метрах будет занимать газ при давлении $p,$ равном $2 ⋅105$ Па.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

5 43 8 2⋅10 ⋅V = 1,25 ⋅10 3√V-4 = 103⋅ 10⋅ 1 8 2

Тогда

( ) 3 V = 104⋅-1 4 = 103⋅-1 = 1000-= 125. 24 23 8

Ответ: 125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1603

Закон Ома гласит, что сила тока полной цепи, измеряемая в амперах, равна

I =--ℰ--, R + r

где $ℰ$ — ЭДС источника в вольтах, $R$ — сопротивление цепи в омах, $r = 3$ Ом — внутреннее сопротивление источника. При каком сопротивлении цепи сила тока будет составлять 0,3 от силы тока короткого замыкания

ℰ- Iкз = r ?

Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Условие $I = 0,3Iкз$ равносильно тому, что

-ℰ---=0,3⋅ ℰ- ⇔ --1--= 0,3⋅ 1 ⇔ R+ 3 3 R + 3 3 ⇔ --1--= 0,1 ⇔ R+ 3= 10 R +3

Отсюда находим $R = 7$ Ом.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1604

Антон метнул копьё под углом $φ$ к горизонтальной поверхности земли. Продолжительность полета копья в секундах можно найти по формуле

2v sinφ t= --0g---.

При каком наименьшем значении угла $φ$ в градусах время полета копья будет 3,2 секунды, если Антон метнул его с начальной скоростью $v0 = 32$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g =10 м/с2.$

Показать ответ и решение

Значение угла $φ,$ при котором время полета копья будет 3,2 секунды, можно найти из уравнения

3,2= 2-⋅32-⋅sinφ ⇔ sinφ = 0,5. 10

Наименьшее неотрицательное значение $φ,$ при котором $sinφ = 0,5$ равно $30∘.$

Ответ: 30