Тема 17. Задачи по планиметрии

17.12 Теоремы Менелая и Чевы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#946

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть нам дан $△ABC$ , проведем в нем медианы $AA1, BB1, CC1$ и докажем что они пересекаются в одной точке.

$PIC$

Воспользуемся теоремой Чевы:

AB CA BC 1 1 1 ----1 ⋅---1-⋅----1 = --⋅--⋅ --= 1, B1C A1B C1A 1 1 1

так как $A1, B1, C1$ – середины сторон $BC, AC, AB$ соответственно.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Доказательство

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33123

На медиане $AA1$ треугольника $ABC$ взята точка $M,$ причём $AM :MA1 = 1 :3.$ В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC?$

Показать ответ и решение

Пусть $B1$ — точка пересечения прямых $BM$ и $AC.$ Запишем теорему Менелая для треугольника $AA1C$ и прямой $BB1 :$

CB AM A B CB 1 1 B-A1⋅ MA--⋅-B1C- =1 ⇔ B-1A-⋅3 ⋅2 = 1 1 1 1

$PIC$

Отсюда искомое отношение равно

CB :B A= 6 :1 1 1

Ответ: 6:1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33125

Точки $M$ и $N$ расположены соответственно на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC,$ причём $AM :MB = 1:2,$ $AN :NC = 3:2.$ Прямая $MN$ пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $F.$ Найдите отношение $CF :BC.$

Показать ответ и решение

Запишем теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $MN :$

BM AN CF 2 3 CF MA--⋅NC-⋅F-B = 1 ⇔ 1 ⋅2 ⋅F-B = 1

$PIC$

Отсюда получаем

CF :FB = 1 :3 ⇔ CF :BC = 1:2

Ответ: 1:2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2235

В треугольнике $ABC$ на середине стороны $AB$ отмечена точка $M.$ Точка $P$ на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ такова, что $AC = CP.$ Найдите меньший из отрезков, на которые прямая $MP$ делит сторону $BC,$ если $BC =3.$

Показать ответ и решение

Пусть $N$ — точка пересечения прямых $MP$ и $BC.$

Способ 1.

По условию имеем:

AM :MB = 1:1, CP :PA = 1:2

Тогда по теореме Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $MP :$

AM BN CP MB--⋅NC--⋅PA-= 1 BN--= MB--⋅ P-A = 1⋅ 2 = 2 NC AM CP 1 1

Так как $BN :NC = 2:1,$ то искомый отрезок равен

1 NC = 3BC = 1

$PIC$

Способ 2.

Проведем $MK ∥ BC.$ Тогда по теореме Фалеса точка $K$ поделит $AC$ в том же отношении, что точка $M$ поделит отрезок $AB.$ Тогда $AK = KC$ и так как $AC = CP,$ то $KC = 1CP. 2$

Заметим, что $△NP C ∼ △MP K$ по двум углам, так как $∠P$ — общий и $∠NCP = ∠MKP$ как соответственные. Тогда имеем:

NC--= CP- ⇔ NC--= 2KC- = 2 MK KP MK 3KC 3

Отсюда получаем $NC = 2 MK. 3$ Далее, так как $MK$ — средняя линия в $△ABC,$ то $MK = 1BC. 2$ Тогда окончательно получаем

2 1 1 NC = 3 ⋅2BC = 3BC = 1

Очевидно, что $NC <BN,$ так как отрезок $BN$ в таком случае равен $23BC = 2.$

Ответ: 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33126

Через точку $P,$ лежащую на медиане $CC1$ треугольника $ABC,$ проведены прямые $AA1$ и $BB1.$ При этом точки $A1$ и $B1$ лежат на сторонах $BC$ и $CA$ соответственно. Докажите, что $A1B1 ∥ AB.$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Запишем теорему Чевы для треугольника $ABC :$

AB1-⋅ CA1-⋅ BC1 =1 B1C A1B C1A AB1-⋅ CA1 ⋅ 1= 1 B1C A1B 1 AB1- A1B- B1C = CA1

Отсюда по обратной теореме о пропорциональных отрезках получаем, что $A1B1 ∥AB.$

$PIC$

Способ 2.

Запишем теорему Менелая для треугольника $ACC 1$ и прямой $B B : 1$

AB1-⋅ CP--⋅ C1B-= 1 ⇔ AB1-⋅-CP-⋅ 1= 1 B1C PC1 BA B1C P C1 2 AB1 2P C1 B1C-= CP---

Запишем теорему Менелая для треугольника $BCC1$ и прямой $A1A :$

BA CP C A BA CP 1 A--1C ⋅PC--⋅A1B--= 1 ⇔ A-C1⋅P-C-⋅ 2 = 1 1 1 1 1 BA1-= 2P-C1- A1C CP

Из двух отношений получаем

AB1 :B1C = 2PC1 :CP = BA1 :A1C

Cледовательно, по обратной обобщенной теореме Фалеса $A1B1 ∥ AB.$

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33127

На сторонах $BC,$ $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ отмечены точки $A1,$ $B1,$ $C1$ соответственно, причем $BA1 :A1C = 1:2,$ $AB1 :B1C = 1:3,$ $AC1 :C1B = 8 :3.$ Отрезки $BB1$ и $CC1$ пересекаются в точке $D.$ Докажите, что $ADA1B1$ — параллелограмм.

Показать ответ и решение

Запишем теорему Менелая для треугольника $B1BA$ и прямой $C1C :$

B1D BC1 AC B1D 3 4 B1D 2 -DB- ⋅C1A-⋅CB1-= 1 ⇔ -DB- ⋅8 ⋅3 = 1 ⇔ -DB- = 1

Получили, что $B1D :DB = 2:1= CA1 :A1B ⇒ CB1 ∥A1D ⇒ AB1 ∥ DA1$ по обратной теореме о пропорциональных отрезках.

Пусть $E$ — точка пересечения $B A 1 1$ и $CC . 1$ Запишем теорему Менелая для треугольника $BCD$ и прямой $A1B1 :$

BA1 CE DB1 1 CE 2 CE 3 A1C- ⋅ED-⋅BB1- = 1 ⇔ 2 ⋅ ED-⋅3 = 1 ⇔ ED- = 1

Получили, что $CE :ED = 3:1 =CB1 :B1A ⇒ B1E ∥AD ⇒ B1A1 ∥ AD$ по обратной теореме о пропорциональных отрезках.

Итого имеем $B1A1 ∥AD$ и $AB1 ∥DA1,$ следовательно, $AB1A1D$ — параллелограмм.

$PIC$

Ответ: Задача на доказательство

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2253

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть нам дан $△ABC$ , проведем в нем биссектрисы $AA1, BB1, CC1$ и докажем что они пересекаются в одной точке.

$PIC$

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:

Для биссектрисы $AA1 : BA1--= AB-- A1C AC$

Для биссектрисы $BB : CB1-- = BC-- 1 B1A BA$

Для биссектрисы $AC1-- CA-- CC1 : C B = CB 1$

Воспользуемся теоремой Чевы:

BA1 CB1 AC1 AB BC CA AB ⋅ BC ⋅ CA -----⋅ -----⋅-----= ----⋅ ----⋅---- = -------------- = 1. A1C B1A C1B AC BA CB AB ⋅ BC ⋅ CA

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33130

Точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно выпуклого четырёхугольника $ABCD.$ Отрезок $EF$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в различных точках $G$ и $H$ соответственно. Докажите, что $CG :GA = BH :HD.$