Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.03 Графики квадратичных функций (параболы)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13549

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(11).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ с вершиной $(x0;y0)$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(− 2;− 1),$ значит функция имеет вид

f(x)= a(x+ 2)2− 1

Также по картинке видно, что в точке $x = 0$ функция равна 3. Это условие можно записать следующим образом:

3 =f(0)= a(0+ 2)2− 1 ⇔ 4 = 4a ⇔ a= 1

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= (x + 2)2− 1

Тогда искомое значение равно

2 f(11)= (11+ 2) − 1 = 168

Ответ: 168

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16793

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(6).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $f(x)= ax2+ bx +c$ можно представить как

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(− 4;3),$ значит, функция имеет вид

f(x)= a(x+ 4)2+ 3

Также по картинке видно, что в точке $x= 0$ функция равна 5. Это условие можно записать следующим образом:

2 1 5 =f(0)= a(0+ 4)+ 3 ⇔ 2 = 16a ⇔ a= 8

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) = 1x2+ x+ 5 8

Тогда имеем:

1 2 f(6)= 8 ⋅6 + 6+ 5= 15,5

Ответ: 15,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17165

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = ax2 +bx +c,$ где числа $a,b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

где $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(4;−3),$ значит функция имеет вид

f(x)= a(x − 4)2+ (−3)= a(x− 4)2− 3

Также по картинке видно, что в точке $x = 2$ функция равна $− 4.$ Это условие можно записать следующим образом:

2 f(2)= −4 = a(2 − 4) − 3 − 1= 4a a= − 1 4

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) =− 1(x− 4)2− 3 4

Тогда

f(−1)= − 1(− 1− 4)2 − 3 = −9,25 4

Ответ: -9,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#17241

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a$ , $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(−4).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(3;5),$ значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 3)2+ 5

Также по картинке видно, что в точке $x = 1$ функция равна 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= f(1)= a(1 − 3)2+ 5 ⇔ −4 = 4a ⇔ a= −1

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= −(x − 3)2+ 5

Тогда имеем:

2 f(−4)= − (− 4− 3) +5 = −44

Ответ: -44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#19491

На рисунке изображён график функции вида $f(x) =ax2 +bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую функцию вида $f(x)= ax2+ bx + c$ можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(5;4).$ Значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 5)2+ 4

Также по картинке видно, что в точке $x= 4$ значение функции равно 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= f(4)= a(4− 5)2+ 4 1= a+ 4 ⇔ a =− 3

Теперь мы полностью восстановили функцию, она имеет вид

f(x)= − 3(x − 5)2+ 4

Тогда имеем:

f(1)= −3(1− 5)2+ 4 =− 3⋅(−4)2+4 = −48+ 4= − 44

Ответ: -44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#19948

На рисунке изображён график функции $f (x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — целые. Найдите $f(6).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2 f(x)= a(x − x0) + y0,

где $(x0;y0)$ — координаты вершины параболы. По графику видно, что $x0 = 2,$ $y0 = 4.$ Тогда уравнение параболы имеет вид

2 f(x)= a(x− 2)+ 4

Найдём $a,$ подставив точку $(1;2)$ на графике в уравнение параболы:

2 2= a(1 − 2) + 4 ⇔ a =− 2

Получим уравнение функции в явном виде:

2 f(x)= − 2(x − 2) + 4

Тогда окончательно

2 f(6)= − 2(6 − 2) + 4= −32 +4 = −28

Ответ: -28

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#21448

На рисунке изображен график функции вида $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите значение $f(−3).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через точки $(0;2),$ $(1;0)$ и $(2;0).$ Тогда можем составить систему уравнений:

( ( |||f(0)= 2 ||| a⋅02+ b⋅0+ c= 2 {f(1)= 0 ⇔ { a⋅12+ b⋅1+ c= 0 ||| ||| (f(2)= 0 ( a⋅22+ b⋅2+ c= 0 (| (| ||{c= 2 ||{ c= 2 |a+ b+ c= 0 ⇔ | a+ b+ 2= 0 ||(4a+ 2b+ c= 0 ||( 2a+ b+ 1= 0

Из последней системы получаем

c = 2, a= 1, b =− 3

Значит, функция имеет вид

2 f(x)= x − 3x+ 2

Осталось найти $f(−3):$

f(− 3)= (− 3)2− 3⋅(−3)+ 2= 9 +9 +2 = 20

Способ 2.

Запишем уравнение параболы в виде

f(x)= a(x − x1)(x− x2)

Здесь $x1,x2$ — точки пересечения с осью $Ox.$ Тогда имеем:

f(x) = a(x − 1)(x− 2)

Коэффициент $a$ можем найти, подставив точку $(0;2)$ графика в уравнение $f(x) :$

2= a(0− 1)(0− 2) ⇔ a= 1

Тогда окончательно уравнение параболы имеет вид

f(x)= (x− 1)(x− 2)

Отсюда получаем

f(−3)= (−3− 1)(− 3− 2)= (− 4) ⋅(−5) =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#22842

На рисунке изображён график функции вида $f(x) =ax2 +bx +c.$ Найдите корень уравнения $f(x)= 9.$ В ответе укажите меньший из корней.

$xy110$

Показать ответ и решение

Подставив точку $(0;1)$ в уравнение функции $f(x),$ сразу получаем, что $c= 1.$ Подставим точки $(−1;−3),$ $(−2;−3)$ в уравнение $f(x)$ и решим систему относительно коэффициентов $a,$ $b:$

{a − b+1 = −3 4a − 2b+ 1 =− 3 { { a − b= −4 a = 2 2a − b = −2 ⇔ b = 6

Получили уравнение функции в виде

2 f(x)= 2x + 6x+ 1

Решим уравнение $f(x)= 9:$

2 2x2+ 6x + 1= 9 2x + 6x − 8= 0 x2+ 3x− 4= 0 (x+ 4)(x − 1)= 0 [ x= −4 x= 1

В ответе указываем меньший корень $x = −4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31968

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a$ , $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) + y0,

где $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(4;1).$ Также ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 4)2 +1, где a> 0

По картинке видно, что в точке $x = 3$ функция равна 4. Для того чтобы попасть в точку $(3;4)$ из вершины с координатами $(4;1),$ нам нужно сместиться на 1 влево и на 3 вверх. Тогда понятно, что перед нами график функции $y = 3x2,$ вершину которого сместили из точки $(0;0)$ в точку $(4;1).$ Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

2 f(x)= 3(x− 4) + 1

Тогда

f(− 1)= 3(− 1− 4)2+ 1= 3 ⋅25 +1 = 76

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16795

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f (1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

По графику видно, что в точках $x = 3$ и $x= 5$ парабола принимает одинаковые значения, следовательно, прямая $x = 3+25= 4$ — ось симметрии параболы, а также $x = 4$ — абсцисса ее вершины.

Мы знаем, что $x$ -координата вершины параболы — единственная точка, в которой ее производная равна нулю (ведь касательная в вершине — горизонтальная прямая). Найдем $f′(x),$ а затем приравняем $f′(4)$ к нулю:

f′(x)= 2ax+ b f′(4)= 2a⋅4 +b 0= 8a+ b b =− 8a

Запишем равенство $f(3)= 5$ (как видно по графику) и подставим $b= − 8a:$

f(3)= a⋅32+ 3b+ c 5= 9a+ 3b+ c 5= 9a +3 ⋅(− 8a)+ c 5= 9a − 24a+ c c= 15a+ 5

Запишем равенство $f(2)= −1$ (как видно по графику) и подставим $b= −8a,$ $c= 15a+ 5:$

f(2)= a⋅22+ 2b+ c − 1= 4a+ 2⋅(−8a)+ (15a+ 5) −1 = 4a − 16a +15a+ 5 3a+ 5= −1 a= −2

Таким образом,

$pict$

Итого, исходная функция

f(x)= −2x2+ 16x− 25

Найдем $f(1):$

f(1)= −2 ⋅12 +16 ⋅1 − 25 = −11

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41925

На рисунке изображён график функции

x2 f(x)= -a + bx + c,

где числа $a,$ $b,$ $c$ — целые. Найдите $f(3,5).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Рассмотрим общий вид параболы с ветвями вниз $y = −k(x− x0)2 +n.$ Здесь $x0$ $(x0 > 0∕x0 < 0)$ — сдвиг вправо/влево относительно параболы $y = −x2;$ $n$ $(n> 0∕n < 0)$ — сдвиг вверх/вниз относительно параболы $y = −x2;$ $k$ $(k > 1∕0< k < 1)$ — коэффициент сжатия/растяжения вдоль оси $Oy$ относительно параболы $2 y = − x.$

Вершина параболы $2 y =− x$ находится в точке $(0;0),$ вершина нашей параболы — в точке $(6;8),$ следовательно, она смещена вправо на 6 единиц и на 8 единиц вверх. Значит, ее уравнение выглядит как

y = −k(x− 6)2+ 8

Найдем $k.$ Если в параболе $2 y = −x$ мы смещаемся на 4 клетки вправо, то чтобы получить точку на параболе, необходимо сместиться на $42$ , то есть на 16, клеток вниз. В нашем случае, смещаясь от точки $(6;8)$ к точке $(10;4)$ , мы смещаемся на 4 клетки вправо и на 4 клетки вниз, то есть в 4 раза меньше, чем у параболы $y = −x2.$ Следовательно, $k = 14.$ Тогда уравнение параболы выглядит как

1 2 y = −4 (x − 6) + 8

Значит,

( ) ( )2 f(3,5)= y 7 = − 1 7 − 6 +8 = − 1⋅25+8 = −-25-+8-⋅16= 103 =6,4375 2 4 2 4 4 16 16

Ответ: 6,4375

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#19985

На рисунке изображены графики функций $f(x)= −2x2− 2x+ 4$ и $g(x)= ax2+ bx+ c,$ которые пересекаются в точках $A(−1;4)$ и $B(x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Поскольку $f (x)$ — квадратичная функция, абсцисса вершины ее графика равна $-−(−2) = −0,5. 2 ⋅(− 2)$

Тогда по рисунку график функции $f(x)$ — это правая парабола.

Найдём уравнение левой параболы в виде

g(x)= a(x − xB )2+ yB

где $(xB;yB)= (−2;5)$ — ее вершина. Подставим точку $(−1;4)$ в уравнение $g(x):$

4= a(−1+ 2)2+ 5 ⇔ a= − 1

Получим

g(x)= −(x+ 2)2 +5

Чтобы найти координаты точки $B,$ решим уравнение $f(x)= g(x) :$

$pict$

Значение $x= − 1$ — это абсцисса точки $A,$ тогда $x0 = 3$ — это абсцисса точки $B.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32271

На рисунке изображены графики функций $f(x)= 2x2− 5x+ 4$ и $g(x)= ax2+ bx + c,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$

$xyA110$

Показать ответ и решение

Определим какой из графиков, то есть «верхний» или «нижний», принадлежит функции $f(x).$ Заметим, что $f(0)= 4,$ значит, график функции $f(x)$ проходит через точку $(0;4).$ Тогда функции $f(x)$ соответствует «верхний» график.