03 Нахождение длин отрезков - Каталог заданий по ОГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#21351Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 30 3.$ Найдите медиану этого треугольника.

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с медианой $BM.$

$ACBM3?0√3$

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ — биссектриса и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 √2 √ - h = 30-3⋅--3 2 h= 15⋅3 h= 45

Таким образом, медиана равностороннего треугольника равна 45.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122539Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 16 3.$ Найдите медиану этого треугольника.

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с медианой $BM.$

$ACBM1?6√3$

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ — биссектриса и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 √2 √ - h = 16-3⋅--3 2 h= 8 ⋅3 h= 24

Таким образом, медиана равностороннего треугольника равна 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#122540Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 14 3.$ Найдите медиану этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с медианой $BM.$

$ACBM1?4√3$

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ — биссектриса и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 √2 √ - h = 14-3⋅--3 2 h= 7 ⋅3 h= 21

Таким образом, медиана равностороннего треугольника равна 21.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#122541Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 14 3.$ Найдите высоту этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с высотой $BM.$

$ACBM1?4√3$

Воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 14√3⋅√3- h = 2 h= 7 ⋅3 h= 21

Таким образом, высота равностороннего треугольника равна 21.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122542Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 16 3.$ Найдите высоту этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с высотой $BM.$

$ACBM1?6√3$

Воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 16√3⋅√3- h = 2 h= 8 ⋅3 h= 24

Таким образом, высота равностороннего треугольника равна 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97935Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 14 3.$ Найдите биссектрису этого треугольника.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 1 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с биссектрисой $BM.$

$- ACBM1?4√ 3$

Биссектриса равностороннего треугольника также является медианой и высотой. Следовательно, биссектриса $BM$ — медиана и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 √2 √ - h = 14-3⋅--3 2 h= 7 ⋅3 h= 21

Таким образом, биссектриса равностороннего треугольника равна 21.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38197Максимум баллов за задание: 1

Медиана равностороннего треугольника равна $√ - 29 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с медианой $BM.$

$ACBM?29√3-$

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ — биссектриса и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 2⋅29√3 a = --√3--- a= 2⋅29 a= 58

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 58.

Ответ: 58

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#122543Максимум баллов за задание: 1

Медиана равностороннего треугольника равна $√- 9 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с медианой $BM.$

$ACBM?9√3-$

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ — биссектриса и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 2⋅9√3 a= --√3-- a= 2 ⋅9 a= 18

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122549Максимум баллов за задание: 1

Медиана равностороннего треугольника равна $√ - 12 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с медианой $BM.$

$ACBM?12√3-$

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ — биссектриса и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 2⋅12√3 a = --√3--- a= 2⋅12 a= 24

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#122557Максимум баллов за задание: 1

Высота равностороннего треугольника равна $√ - 12 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с высотой $BM.$

$ACBM?12√3-$

Воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 √- a = 2⋅1√2-3- 3 a= 2⋅12 a= 24

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#122566Максимум баллов за задание: 1

Высота равностороннего треугольника равна $√ - 11 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с высотой $BM.$

$ACBM?11√3-$

Воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 √- a = 2⋅1√1-3- 3 a= 2⋅11 a= 22

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 22.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#122572Максимум баллов за задание: 1

Биссектриса равностороннего треугольника равна $√ - 12 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с биссектрисой $BM.$

$- ACBM?12√ 3$

Биссектриса равностороннего треугольника также является медианой и высотой. Следовательно, биссектриса $BM$ — медиана и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 2⋅12√3 a = --√3--- a= 2⋅12 a= 24

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#122584Максимум баллов за задание: 1

Биссектриса равностороннего треугольника равна $√ - 13 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с биссектрисой $BM.$

$- ACBM?13√ 3$

Биссектриса равностороннего треугольника также является медианой и высотой. Следовательно, биссектриса $BM$ — медиана и высота.

Поэтому воспользуемся формулой для нахождения высоты в равностороннем треугольнике, которая прописана в справочных материалах.

√ - h= a--3 2 a = 2√h- 3 2⋅13√3 a = --√3--- a= 2⋅13 a= 26

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 26.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#21342Максимум баллов за задание: 1

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, сторона $AB$ равна 66, сторона $BC$ равна 37, сторона $AC$ равна 52. Найдите $MN.$

$ABCMN$

Показать ответ и решение

Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

$ACBMN5?2$

Так как $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC,$ $MN$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная стороне $AC.$ Значит, длина $MN$ равна половине $AC :$

MN = 1AC = 1 ⋅52 = 26. 2 2

$ACBMN5226$

Таким образом, отрезок $MN$ равен 26.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#122602Максимум баллов за задание: 1

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, сторона $AB$ равна 28, сторона $BC$ равна 19, сторона $AC$ равна 34. Найдите $MN.$

$ACBMN$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

$ACBMN3?4$

Так как $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC,$ $MN$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная стороне $AC.$ Значит, длина $MN$ равна половине $AC :$

MN = 1AC = 1 ⋅34 = 17. 2 2

$ACBMN3147$

Таким образом, отрезок $MN$ равен 17.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#122611Максимум баллов за задание: 1

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, сторона $AB$ равна 66, сторона $BC$ равна 37, сторона $AC$ равна 74. Найдите $MN.$

$ACBMN$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

$ACBMN7?4$

Так как $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC,$ $MN$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная стороне $AC.$ Значит, длина $MN$ равна половине $AC :$

MN = 1AC = 1 ⋅74 = 37. 2 2

$ACBMN7347$

Таким образом, отрезок $MN$ равен 37.

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#45336Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 35,$ $BM$ — медиана, $BM = 13.$ Найдите $AM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BM$ — медиана, то

1 1 AM = MC = 2AC = 2 ⋅35= 17,5

Ответ: 17,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#21344Максимум баллов за задание: 1

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O,$ $AN = 27,$ $CM = 15.$ Найдите $CO.$

Показать ответ и решение

Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC,$ то $CM$ и $AN$ — медианы, которые по условию пересекаюся в точке $O.$ Точкой пересечения медианы делятся в отношении $2 : 1$ считая от вершины, то есть $CO : OM = 2 : 1.$ Тогда $CO =2OM,$ и при этом $CO + OM = CM,$ то есть $3OM = CM = 15,$ $OM = 5.$ Отсюда получаем, что $CO = 10.$

$PIC$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#45675Максимум баллов за задание: 1

Точка $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O,$ $AN = 18,$ $CM = 21.$ Найдите $OM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$CM$ и $AN$ — медианы треугольника $ABC.$ Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении $2 :1,$ считая от вершины, то

-CO- 2 1 1 OM = 1 ⇒ OM = 3CM = 3 ⋅21= 7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#50558Максимум баллов за задание: 1

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O,$ $AN = 33,$ $CM = 15.$ Найдите $ON.$