Тема №15. Треугольники

03 Нахождение длин отрезков

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №15. треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#21351

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 30 3.$ Найдите медиану этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Медиана равностороннего треугольника также является биссектрисой и высотой и вычисляется по формуле

a√3 -2-,

где $a$ — сторона треугольника.

По условию $a =30√3,$ откуда медиана равна

√ - √- 30--3⋅-3 = 45. 2

$PIC$

Ответ: 45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#97935

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 14 3.$ Найдите биссектрису этого треугольника.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 1 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что в равностороннем треугольнике биссектриса является высотой, а высота может быть вычислена по формуле

√3- h= -2-⋅a,

где $a$ — сторона равностороннего треугольника.

$PIC$

Подставляя сторону треугольника из условия, получаем:

√- √- h = -3-⋅14 3= 7 ⋅3 = 21. 2

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38197

Медиана равностороннего треугольника равна $√ - 29 3.$ Найдите сторону этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $AM$ — медиана равностороннего треугольника $ABC.$ Тогда $AM$ также является высотой и биссектрисой. Значит, $ABM$ — прямоугольный треугольник с углом $ABM = 60∘.$ Тогда

√ - √ - √ - AM--= sin∠ABM = --3 ⇒ 29--3= --3 ⇔ AB = 29⋅2 = 58. AB 2 AB 2

$PIC$

Ответ: 58

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#21342

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, сторона $AB$ равна 66, сторона $BC$ равна 37, сторона $AC$ равна 52. Найдите $MN.$

$ABCMN$

Показать ответ и решение

Так как $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC,$ $MN$ — средняя линия треугольника $ABC,$ то есть

1 1 MN = 2AC = 2 ⋅52= 26

$PIC$

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45336

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 35,$ $BM$ — медиана, $BM = 13.$ Найдите $AM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BM$ — медиана, то

1 1 AM = MC = 2AC = 2 ⋅35= 17,5

Ответ: 17,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#21344

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O,$ $AN = 27,$ $CM = 15.$ Найдите $CO.$

Показать ответ и решение

Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC,$ то $CM$ и $AN$ — медианы, которые по условию пересекаюся в точке $O.$ Точкой пересечения медианы делятся в отношении $2 : 1$ считая от вершины, то есть $CO : OM = 2 : 1.$ Тогда $CO =2OM,$ и при этом $CO + OM = CM,$ то есть $3OM = CM = 15,$ $OM = 5.$ Отсюда получаем, что $CO = 10.$

$PIC$

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45675

Точка $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O,$ $AN = 18,$ $CM = 21.$ Найдите $OM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$CM$ и $AN$ — медианы треугольника $ABC.$ Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении $2 :1,$ считая от вершины, то

-CO- 2 1 1 OM = 1 ⇒ OM = 3CM = 3 ⋅21= 7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#50558

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O,$ $AN = 33,$ $CM = 15.$ Найдите $ON.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины. Тогда

AO- 2 ON- ---ON--- ---ON----- 1 ON = 1 ⇒ AN = AO + ON = 2ON + ON = 3 ⇒ 1 1 ⇒ ON = 3 AN = 3 ⋅33 = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#21343

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $AB = 48,$ $AC =42,$ $MN = 28.$ Найдите $AM.$

Показать ответ и решение

$MN$ параллельна $AC,$ то есть треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны (так как два угла при параллельных прямых равны). Тогда из подобия, $BBMA-= BBNC-= MNAC ,$ то есть

MN ⋅BA 28⋅48 BM = --AC----= --42-- =32

Тогда

AM = AB − BM = 48− 32 = 16

$PIC$

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#61036

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC,$ сторона $AB$ равна 57, сторона $BC$ равна 74, сторона $AC$ равна 48. Найдите $MN.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$MN$ — средняя линия. По свойству средней линии

1 1 MN = 2AC = 2 ⋅48 = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#21350

Прямая $AD,$ перпендикулярная медиане $BM$ треугольника $ABC,$ делит её пополам. Найдите сторону $AB,$ если сторона $AC$ равна 38.

Показать ответ и решение

Обозначим точку пересечения $AD$ и $BM$ за $O.$ Тогда $AO$ перпендикулярна $MB$ и делит её пополам, т.е. в треугольнике $MAB$ $AO$ — медиана и высота, т.е. треугольник $MAB$ — равнобедренный, $AM = AB.$

$BM$ — медиана треугольника $ABC,$ т.е.

CM =MA = 1AC =19 2

Отсюда получаем, что $AB = AM = 19.$

$PIC$

Ответ: 19