Тема №17. Четырёхугольники

06 Площади четырёхугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#50559

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты, опущенной на это основание. Длина основания равна $3 +8 = 11,$ высота равна 4. Найдём площадь параллелограмма:

S = 11⋅4= 44.

Ответ: 44

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107207

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

$36810$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию. Основание параллелограмма равно $6+ 3= 9,$ высота равна 8, поэтому

S = 9⋅8 =72.

Ответ: 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#22452

Площадь параллелограмма равна 16, а две его стороны равны 4 и 8. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны и опущенной на нее высоты. Всего в параллелограмме две различных по длине высоты, найдем их:

SABCD =AB ⋅DH1 ⇔ DH1 = SABCD-= 16 = 2 AB 8

SABCD- 16 SABCD = AD ⋅CH2 ⇔ CH2 = AD = 4 = 4

Тогда большая высота равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#28208

Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $h1$ — высота, опущенная на сторону длины 10, а $h2$ — высота, опущенная на сторону длины 5. Тогда мы можем посчитать площадь параллелограмма двумя способами:

({ 10h1 = 40 = 5h2 ⇒ h1 = 4 ( h2 = 8

Значит, большая высота параллелограмма равна 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122876

Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты, то есть высоту можно найти как частное площади и основания. Площадь равна 32, основания — 8 и 16, следовательно, высоты равны

32 32 8- =4 и 16 = 2

Тогда большая из высот равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#122908

Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

$PIC$

Из этого следует, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна:

SABCD = BH ⋅AD SABCD = BN ⋅CD

Подставим известные значения $SABCD = 56,$ $AD = 28,$ $CD = 7$ и выразим значения высот:

56 = BH ⋅28 56= BN ⋅7 BH = 56 = 2 BN = 56 = 8 28 7

Таким образом, меньшая высота равна 2.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#22453

Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Периметр ромба можно найти как $P = 4a$ , где $a$ — сторона ромба. Тогда сторону можно найти как $1 a = 4P$ . Подставив значение периметра из условия, получаем $a = 14 ⋅24 = 6$ .

Площадь ромба можно найти по формуле

S = sin∠DAB ⋅AD ⋅AB = sin30∘ ⋅6⋅6 = 1 ⋅36 = 18. 2

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#48398

Периметр ромба равен 56, а один из углов равен $30∘.$ Найдите площадь ромба.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны, то сторона ромба равна $56= 14. 4$

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними, поэтому

1 S = 14⋅14⋅sin30∘ = 196 ⋅2 = 98.

Ответ: 98

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22460

Основания трапеции равны 5 и 9, а высота равна 2. Найдите площадь этой трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь трапеции можно найти по формуле

1 1 S = 2 (AD + BC )⋅BH = 2 (9+ 5)⋅2 = 14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#122968

Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Формула площади трапеции $S = a-+-b⋅h, 2$ где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — длина высоты трапеции. Подставим значения из условия и вычислим искомую площадь:

7+ 19 26 --2--⋅6 = 2-⋅6= 13⋅6 =78.

Ответ: 78

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#107216

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, угол между боковой стороной и одним из оснований равен $∘ 45.$ Найдите площадь этой трапеции.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция из условия, отрезок $BH$ — высота трапеции. Тогда имеем:

1 9− 3 AH = 2 (AD − BC )=--2- = 3

$PIC$

Треугольник $ABH$ — прямоугольный, причем $∠BAH = 45∘,$ то есть этот треугольник равнобедренный и $BH = AH = 3.$

Тогда площадь трапеции равна

1 1 2(BC +AD )⋅BH = 2(3+ 9)⋅3= 18

Ответ: 18

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#122996

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45∘.$ Найдите площадь этой трапеции.

$8445∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению высоты и полусуммы оснований.

Опустим высоты $BM$ и $CN.$

$PIC$

$∘ ∘ ∘ ∠BMN + ∠CNM = 90 +90 = 180 ,$ значит, $BM ∥ CN.$

Так как $BC ∥ MN$ и $BM ∥ CN,$ то $BCNM$ — параллелограмм, причём так как $∘ ∠BMN = 90 ,$ то $BCNM$ — прямоугольник. Тогда по свойству параллелограмма

MN = BC = 4

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $DCN.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD$ и $∠BAM =∠CDN.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABM$ и $DCN$ равны по острому углу и гипотенузе. Пусть $AM = DN =x.$ Тогда

AD = x +4 +x 8= 4 +2x 4= 2x x =2

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $∘ 90 ,$ поэтому

∠ABM = 90∘ − ∠BAM = 90∘ − 45∘ = 45∘

Значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и

BM = AM = 2

Найдём площадь трапеции:

4+ 8 S = -2--⋅2= 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22449

Из квадрата со стороной 8 вырезали прямоугольник. Найдите площадь получившейся фигуры, если стороны прямоугольника равны 4 и 3.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть

2 S1 = 8 = 64

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон, то есть

S2 = 4⋅3 =12

Площадь искомой фигуры можно найти как разность площадей квадрата и прямоугольника, то есть

S = S1 − S2 = 64 − 12 = 52

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22450

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 3.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей. Так как диагонали равны 3, то $S = 12 ⋅3⋅3 = 4,5$

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#22451

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 80. Точка $E$ — середина стороны $AB.$ Найдите площадь трапеции $DAEC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем в параллелограмме высоту $AH.$ Тогда площадь параллелограмма можно найти по формуле

SABCD = DC ⋅AH.

В трапеции $AECD$ $AE$ и $DC$ — основания, $AH$ — высота. Тогда площадь трапеции можно найти по формуле

1 SAECD = 2(AE + DC )⋅AH.

Так как $E$ — середина стороны $AB$ и $AB = CD,$ то $AE = 12AB = 12CD.$ Подставим это выражение для $AE$ в формулу площади трапеции:

( ) S = 1 1CD + CD ⋅AH = 1⋅ 3CD ⋅AH = 3CD ⋅AH = 3S . AECD 2 2 2 2 4 4 ABCD

Так как площадь параллелограмма равна 80, то площадь трапеции будет равна

3 SAECD = 4 ⋅80 = 60.

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22455

Сторона ромба равна 7, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до этой стороны равно 3. Найдите площадь ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что диагонали ромба разбивают его на 4 равных треугольника. Тогда

1 1 SABCD = 4⋅SAOB = 4⋅2OH ⋅AB =4 ⋅2 ⋅3⋅7 = 42

Ответ: 42

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22457

Высота $BH$ параллелограмма $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH = 2$ и $HD = 6.$ Диагональ параллелограмма $BD$ равна 10. Найдите площадь параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $BDH$ — прямоугольный, так как $BH$ — высота. Тогда по теореме Пифагора найдем $BH$ :

BD2 = BH2 + HD2 2 2 2 BH =BD − HD BH2 = 100− 36= 64 BH = 8.

Так как мы знаем, что $AH =2,$ $HD = 6,$ то можем найти $AD :$

AD = AH + HD = 2+ 6 =8.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны и высоты, опущенной на эту сторону:

SABCD = BH ⋅AD = 8⋅8 =64.

Ответ: 64

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#22458

Сторона ромба равна 13, а одна из диагоналей равна 10. Найдите площадь ромба.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем обе диагонали ромба. Точкой $O$ пересечения они делятся пополам. Тогда если $DB = 10,$ то $BO = 5.$

У ромба диагонали перпендикулярны, то есть $∠AOB = 90∘.$ Тогда треугольник $AOB$ — прямоугольный. Найдем $AO$ по теореме Пифагора:

AB2 = AO2 +BO2 ⇒ AO2 = AB2 − BO2 = 132− 52 = 122 ⇒ AO =12

Тогда $AC =2AO = 24,$ $DB = 10.$ Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей, то есть

S = 1 ⋅AC ⋅BD = 1 ⋅24 ⋅10= 120 2 2

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#22459

Площадь ромба равна 60, а периметр равен 40. Найдите высоту ромба.

Показать ответ и решение

$PIC$

Периметр ромба можно найти как $P = 4a$ , где $a$ — сторона ромба. Тогда сторону можно найти как $1 a = 4P$ . Подставив значение периметра из условия, получаем $a = 14 ⋅40 = 10$ .