Тема 17. Четырёхугольники

17.06 Площадь четырёхугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45677

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

$351213$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию. Основание параллелограмма равно $5+ 3= 8,$ высота равна 12, поэтому

S = 8⋅12= 96

Ответ: 96

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#22460

Основания трапеции равны 5 и 9, а высота равна 2. Найдите площадь этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь трапеции можно найти по формуле

1 1 S = 2 (AD + BC )⋅BH = 2 (9+ 5)⋅2 = 14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55279

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45∘.$ Найдите площадь этой трапеции.

$6245∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению высоты и полусуммы оснований.

Опустим высоты $BM$ и $CN.$

$PIC$

$∘ ∘ ∘ ∠BMN + ∠CNM = 90 +90 = 180 ,$ значит, $BM ∥ CN.$

Так как $BC ∥ MN$ и $BM ∥ CN,$ то $BCNM$ — параллелограмм, причём так как $∘ ∠BMN = 90 ,$ то $BCNM$ — прямоугольник. Тогда по свойству параллелограмма

MN = BC = 2

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $DCN.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD$ и $∠BAM =∠CDN.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABM$ и $DCN$ равны по острому углу и гипотенузе. Пусть $AM = DN =x.$ Тогда

AD = x +2 +x 6= 2 +2x 4= 2x x =2

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $∘ 90 ,$ поэтому

∠ABM = 90∘ − ∠BAM = 90∘ − 45∘ = 45∘

Значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и

BM = AM = 2

Найдём площадь трапеции:

2 +6 S =--2- ⋅2= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#22449

Из квадрата со стороной 8 вырезали прямоугольник. Найдите площадь получившейся фигуры, если стороны прямоугольника равны 4 и 3.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть

2 S1 = 8 = 64

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон, то есть

S2 = 4⋅3 =12

Площадь искомой фигуры можно найти как разность площадей квадрата и прямоугольника, то есть

S = S1 − S2 = 64 − 12 = 52

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#22450

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 3.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей. Так как диагонали равны 3, то $S = 12 ⋅3⋅3 = 4,5$

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#22451

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 80. Точка $E$ — середина стороны $AB.$ Найдите площадь трапеции $DAEC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем в параллелограмме высоту $AH.$ Тогда площадь параллелограмма можно найти по формуле

SABCD = DC ⋅AH.

В трапеции $AECD$ $AE$ и $DC$ — основания, $AH$ — высота. Тогда площадь трапеции можно найти по формуле

1 SAECD = 2(AE + DC )⋅AH.

Так как $E$ — середина стороны $AB$ и $AB = CD,$ то $AE = 12AB = 12CD.$ Подставим это выражение для $AE$ в формулу площади трапеции:

( ) S = 1 1CD + CD ⋅AH = 1⋅ 3CD ⋅AH = 3CD ⋅AH = 3S . AECD 2 2 2 2 4 4 ABCD

Так как площадь параллелограмма равна 80, то площадь трапеции будет равна

3 SAECD = 4 ⋅80 = 60.

Ответ: 60

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#22455

Сторона ромба равна 7, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до этой стороны равно 3. Найдите площадь ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что диагонали ромба разбивают его на 4 равных треугольника. Тогда

1 1 SABCD = 4⋅SAOB = 4⋅2OH ⋅AB =4 ⋅2 ⋅3⋅7 = 42

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#22458

Сторона ромба равна 13, а одна из диагоналей равна 10. Найдите площадь ромба.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем обе диагонали ромба. Точкой $O$ пересечения они делятся пополам. Тогда если $DB = 10,$ то $BO = 5.$

У ромба диагонали перпендикулярны, то есть $∠AOB = 90∘.$ Тогда треугольник $AOB$ — прямоугольный. Найдем $AO$ по теореме Пифагора:

AB2 = AO2 +BO2 ⇒ AO2 = AB2 − BO2 = 132− 52 = 122 ⇒ AO =12

Тогда $AC =2AO = 24,$ $DB = 10.$ Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей, то есть

S = 1 ⋅AC ⋅BD = 1 ⋅24 ⋅10= 120 2 2

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22461

Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 9, а ее боковые стороны равны 5. Найдите площадь трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим в трапеции высоту $BH.$ Так как трапеция равнобедренная,

9− 3 AH = -2--= 3

Треугольник $ABH$ — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора

AB2 = AH2 +BH2

Значит,

BH2 = AB2 − AH2 = 52− 32 = 25− 9= 16= 42 ⇒ BH = 4

Теперь найдем площадь трапеции по формуле

S = 1 (AD +BC )⋅BH = 1(9+ 3)⋅4= 24 2 2

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#22462

Боковая сторона трапеции равна 10, а угол между ней и большим основанием равен $∘ 30 .$ Найдите площадь трапеции, если её основания равны 6 и 18.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем высоту $BH.$ Тогда треугольник $ABH$ – прямоугольный, причем $∘ ∠BAH =30 .$ Тогда катет, противолежащий углу $30∘$ равен, половине гипотенузы, то есть

BH = 10= 5 2

Тогда площадь трапеции можно найти по формуле

SABCD = 1⋅(AD + BC) ⋅BH = 1(18+ 6)⋅5= 60 2 2

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#22463

Основания трапеции равны 9 и 72, одна из боковых сторон равна 30, а синус угла между ней и одним из оснований равен $5 9.$ Найдите площадь трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH.$

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть

sin ∠BAH = BH-- ⇔ BH = AB ⋅sin∠BAH = 30⋅ 5 = 50 AB 9 3

Тогда площадь трапеции можно найти по формуле

SABCD = 1⋅(AD + BC)⋅BH = 1(72+ 9)⋅ 50= 675 2 2 3

Ответ: 675

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#23892

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, угол между боковой стороной и одним из оснований равен $∘ 45.$ Найдите площадь этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция из условия, отрезок $BH$ — высота трапеции. Тогда имеем:

1 9− 3 AH = 2 (AD − BC )=--2- = 3

$PIC$

Треугольник $ABH$ — прямоугольный, причем $∠BAH = 45∘,$ то есть этот треугольник равнобедренный и $BH = AH = 3.$

Тогда площадь трапеции равна

1 1 2(BC +AD )⋅BH = 2(3+ 9)⋅3= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#37288

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 21 и 6.

Показать ответ и решение

Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно,

1 S = 2 ⋅21⋅6 =63

Ответ: 63

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#38711

Периметр квадрата равен 68. Найдите площадь этого квадрата.

Показать ответ и решение

Все четыре стороны квадрата равны между собой, поэтому длина одной стороны равна

68 a = 4 = 17

Тогда площадь квадрата равна

a2 = 17⋅17 =289

Ответ: 289

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#43934

Сторона ромба равна 5, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту $KM$ через точку $O$ пересечения диагоналей ромба $ABCD.$ Рассмотрим треугольники $AOM$ и $COK.$

1.: $AO = OC,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠OAM = ∠OCK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC.$
3.: $∠AOM = ∠COK$ как вертикальные.

$PIC$

Тогда треугольники $AOM$ и $COK$ равны по стороне и прилежащим к ней двум углам. $OM = OK$ как соответственные элементы равных треугольников.

Так как $OK ⊥BC,$ $OM ⊥ AD$ и $AD ∥BC,$ то $OM ⊥ BC.$ Прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны, значит, точки $O, K, M$ лежат на одной прямой, то есть $KM$ — высота ромба.

KM = OK +OM = 2+ 2= 4

Площадь параллелограмма (ромб — частный случай параллелограмма) равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = KM ⋅AD = 5⋅4= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#45462

Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между ними равен $30∘.$ Найдите площадь этого параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, то

1 ∘ 1 S = 2 ⋅7⋅24⋅sin30 = 7⋅12 ⋅2 = 42

Ответ: 42

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#46316

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 92. Точка $E$ — середина стороны $AB.$ Найдите площадь трапеции $DAEC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — середина $CD.$ Так как $AB = CD$ по свойству параллелограмма, то $AE = BE =CK = KD.$ $AB ∥ CD,$ значит, по признаку параллелограмма $BEKC,$ $AEKD,$ $AECK$ — параллелограммы.

$PIC$

Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника равной площади, поэтому

SBCE = SCEK SCEK = SAEK SAEK = SKAD

Тогда

1 3 3 SBEC = 4SABCD ⇒ SDAEC = 4 SABCD = 4 ⋅92= 69

Ответ: 69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#48398

Периметр ромба равен 56, а один из углов равен $30∘.$ Найдите площадь ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны, то сторона ромба равна $56= 14. 4$

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними, поэтому

1 S = 14 ⋅14 ⋅sin30∘ = 196⋅2 = 98

Ответ: 98

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#50559

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты, опущенной на это основание. Длина основания равна $3 +8 = 11,$ высота равна 4. Найдём площадь параллелограмма: