Тема 21. Текстовые задачи

21.04 Работа и производительность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93150

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x +9$ деталей в час. Составим таблицу:

|--------|-----------------------|--------|-----------| |Рабочие-|Производительность, дет./ч|В-ремя,-ч|Р-абота, дет.| | | | -216-- | | |П ервы й | x+ 9 | x+ 9 | 216 | |--------|-----------------------|---216---|-----------| | Второй | x | x-- | 216 | ------------------------------------------------------|

Поскольку первый выполняет заказ из 216 деталей на 4 часа быстрее второго, можем составить уравнение:

216-− -216--= 4. x x+ 9

Разделим обе части уравнения на 4:

54 − -54-= 1 x x+ 9 54− -54--− 1= 0 x x +9 54(x+ 9)− 54x − x(x +9) -------x(x+-9)------- =0 ( |{ 54(x + 9)− 54x− x(x+ 9)= 0 | x ⁄=0 ( x ⁄=− 9

Решим первое уравнение системы:

54(x+ 9)− 54x − x(x +9)= 0 54x+ 486− 54x− x2− 9x= 0 2 x + 9x− 486= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =9 +4 ⋅486 =81 +1944= 2025= 45

Тогда

⌊ x = −9-+45- [x =18 |⌈ 2 ⇔ x = −9-−2 45 x =− 27

Поскольку по смыслу задачи $x >0,$ то $x= 18.$ Тогда первый рабочий за час делает $18+ 9= 27$ деталей.

Ответ: 27

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93151

Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x +10$ деталей в час. Составим таблицу:

|--------|-----------------------|--------|-----------| |Рабочие-|Производительность, дет./ч|В-ремя,-ч|Р-абота, дет.| | | | --60- | | |П ервы й | x+ 10 | x + 10 | 60 | |--------|-----------------------|---60---|-----------| | Второй | x | x- | 60 | ------------------------------------------------------|

Поскольку первый выполняет заказ из 60 деталей на 3 часа быстрее второго, можем составить уравнение:

60− --60-- = 3. x x+ 10

Разделим обе части уравнения на 3:

20− --20- = 1 x x +10 20 − -20--− 1= 0 x x+ 10 20(x+ 10)− 20x − x(x +10) --------x(x+-10)-------= 0 ( |{20(x+ 10)− 20x− x(x+ 10)= 0 |x ⁄=0 (x ⁄=− 10

Решим первое уравнение системы:

20(x+ 10)− 20x − x(x +10)= 0 20x+ 200− 20x − x2− 10x = 0 2 x + 10x− 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =10 + 4⋅200= 100+ 800= 900= 30

Тогда

⌊ x= −-10+-30 [x= 10 |⌈ 2 ⇔ x= −-10−2-30 x= −20

Поскольку по смыслу задачи $x >0,$ то $x= 10.$ Тогда первый рабочий за час делает $10+ 10= 20$ деталей.

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93288

Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+ 15$ литров воды в минуту. Составим таблицу:

|Т-рубы--|Скорость,-л/м-ин|-Время, мин|Объём, л| |-------|--------------|-----------|--------| |П ервая | x | 100 | 100 | |-------|--------------|-----x-----|--------| |Вторая | x +15 | -100- | 100 | ---------------------------x+-15-------------

Поскольку вторая труба на 6 минут быстрее заполняет резервуар объемом 100 литров, можем составить уравнение:

100 − -100-= 6 x x+ 15 100− -100- − 6= 0 x x +15 100(x-+-15)−-100x−-6x(x-+-15)- x(x+ 15) = 0 ( |{ 100(x +15)− 100x− 6x(x +15)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 15

Решим первое уравнение системы:

100(x + 15)− 100x− 6x((x + 15))=0 100x+ 1500− 100x − 6 x2 +15x = 0 1500− 6(x2+ 15x) =0

Разделим полученное уравнение на 6:

250− x2− 15x = 0 2 x + 15x− 250 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 15 +4 ⋅250 =225 +1000= 1225= 35

Тогда

⌊ − 15+ 35 |x= ----2--- [x= 10 ⌈ − 15− 35 ⇔ x= −25 x= ----2---

Поскольку по смыслу задачи $x >0,$ $x= 10.$ Тогда вторая труба за минуту пропускает $10+ 15= 25$ литров воды.

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37860

Игорь и Паша красят забор за 3 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 4 часа, а Володя и Игорь — за 6 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Показать ответ и решение

Обозначим работу, необходимую для покраски забора, за 1, производительность Игоря за $x,$ производительность Паши за $y,$ а Володи — за $z.$

Игорь и Паша красят весь забор за 3 часа, тогда за 1 час они красят треть забора:

1= 3x+ 3y ⇔ 1 = x+ y 3

Паша и Володя красят этот же забор за 4 часа, тогда за 1 час они красят четверть забора:

1 1= 4y+ 4z ⇔ 4 = y+ z

Володя и Игорь красят этот забор за 6 часов, тогда за 1 час они красят одну шестую:

1= 6x+ 6z ⇔ 1 = x+ z 6

Сложим все три уравнения:

2x+ 2y+ 2z = 1 + 1+ 1 3 4 6 9- 3 2x+ 2y+ 2z = 12 = 4 3 x+ y+ z = 8

То есть втроем мальчики за 1 час красят $3 8$ забора. Значит, весь забор они покрасят за:

-13= 8 ч = 8⋅60 м ин = 160 мин 8 3 3

Ответ: 160

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#37862

Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй — 16, а третий — 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватоp, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий — 11?

Показать ответ и решение

Примем всю работу за 1, производительность первого экскаватора за $x,$ второго — за $y,$ третьего — за $z.$

Работа будет выполнена, если каждый экскаватор проработает 12 часов, то есть:

12x+ 12y+ 12z = 1

Работу также будет выполнена, если выполнено второе условие задачи:

8x+ 16y+ 10z = 1

Сложим оба уравнения:

12x +8x +12y +16y+ 12z+ 10z = 2 20x+ 28y+ 22z = 2 10x+ 14y+ 11z = 1

Заметим, что в получившемся уравнении первый экскаватор работал 10 часов, а третий — 11, то есть это нужный нам случай. Производительность второго экскаватора $y$ умножается на 14, значит, это ответ.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел