Треугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95499

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 16,$ $DC =24,$ $AC = 25.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD12x2645M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =25$ по условию, то

AM = AC − CM =25 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

16 = 25−-x 24 x 16x= 24⋅(25− x) 4x= 6⋅(25− x) 4x= 150− 6x 10x =150 x= 15

Значит, $CM = 15.$

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95504

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 12,$ $DC =48,$ $AC = 35.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD14x3285M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =35$ по условию, то

AM = AC − CM =35 − x.

Тогда из отношения $AB AM CD- = CM--$ получаем уравнение:

12 = 35−-x 48 x 12x= 48⋅(35− x) x = 4⋅(35 − x) x = 140 − 4x 5x= 140 x= 28

Значит, $CM = 28.$

Ответ: 28

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57403

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =13,$ $AC = 65,$ $NC = 28.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +28.

$ABCM162xN358$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 65 = x+-28 13 x x-+28 5= x 5x = x+ 28 4x =28 x =7

Значит, $BN = 7.$

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95523

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =14,$ $AC = 21,$ $NC = 10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +10.

$ABCM121xN410$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 21 = x+-10 14 x 3 x+-10 2 = x 3x= 2⋅(x+ 10) 3x =2x +20 x= 20

Значит, $BN = 20.$

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95534

Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =21$ и $AC = 28.$

$ABCH22h3185$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 21 +28 = 7 ⋅3 + 7 ⋅4 = = 72⋅(32+ 42)= 72⋅52.

Тогда

BC = 7⋅5= 35.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 21-⋅28- 21⋅4 84 AH = BC = 35 = 5 = 5 = 16,8.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38202

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в треугольнике $ABC$ c прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB = 20$ и $BC = 52.$

$ABCH24h5082$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AB + AC .

Тогда

AC2 = BC2 − AB2 = 522− 202 = 6 2 = (52− 20) ⋅(52+ 20)= 32⋅72= 2 ⋅6 .

Значит,

AC = √26-⋅62 = 23⋅6= 48.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AH = AB-⋅AC-= 20-⋅48 = 20⋅12 = 240. BC 52 13 13

Ответ:

$240 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95559

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC.$ Найдите $AB,$ если $AH = 6,$ $AC = 24.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $AHB$ и $ABC.$ В них $∠ABC = ∠AHB = 90∘$ по условию, а $∠BAC$ — общий. Тогда треугольники $AHB$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCH624$

Запишем отношение подобия треугольников $AHB$ и $ABC :$

AH- AB- AB = AC .

Тогда

AB2 = 6⋅24= 4⋅36 =22⋅62 = 122.

Следовательно, $AB = 12.$

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95563

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC.$ Найдите $AB,$ если $AH = 7,$ $AC = 28.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $AHB$ и $ABC.$ В них $∠ABC = ∠AHB = 90∘$ по условию, а $∠BAC$ — общий. Тогда треугольники $AHB$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCH728$

Запишем отношение подобия треугольников $AHB$ и $ABC :$

AH- AB- AB = AC .

Тогда

AB2 = AH ⋅AC = 7⋅28= 22⋅72 = 142.

Следовательно, $AB = 14.$

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#95721

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $73∘$ и $77∘.$ Найдите $BC,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 9.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ поэтому

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠B − ∠C = 180 − 73 − 77 =30 .

$OABCR3770∘3∘7∘$

Тогда по теореме синусов

-BC---= 2R. sin ∠A

Значит,

BC = 2R⋅sin ∠A = 2⋅9⋅sin30∘ = 1 =2 ⋅9⋅2 =9.

Ответ: 9

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#95722

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $62∘$ и $88∘.$ Найдите $BC,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 12.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ поэтому

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠B − ∠C = 180 − 62 − 88 =30 .

$OABCR3680∘2∘8∘$

Тогда по теореме синусов

-BC---= 2R. sin ∠A

Значит,

BC = 2R ⋅sin∠A = 2⋅12⋅sin30∘ = 1 = 2⋅12⋅2 =12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#111063

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 5,$ $BC = 12.$ Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Показать ответ и решение

Треугольник $ABC$ — прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AC + BC .

Подставим значения $AC = 5,BC = 12$ в формулу:

AB2 = 52 +122 = 25+ 144= 169= 132 AB = 13

$ABC516662,,,555$

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе из прямого угла, равна её половине. Значит,

CK = AB-= 13 = 6,5. 2 2

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

03 Треугольники