Четырёхугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57407

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 6,$ $CK = 10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $AB ∥CD$ и $BC ∥AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA.

Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный, поэтому

AB = BK = 6.

$ABCDK6661106$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 6$ и

AD = BC =BK + KC = 6+ 10= 16.

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +DA = = 6+ 16+ 6+ 16= 22+ 22= 44.

Ответ: 44

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95629

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 3,$ $CK = 19.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $AB ∥CD$ и $BC ∥AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA.

Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный, поэтому

AB = BK = 3.

$ABCDK3331292$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 3$ и

AD = BC =BK + KC = 3+ 19= 22.

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +DA = = 3+ 22+ 3+ 22= 25+ 25= 50.

Ответ: 50

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95636

Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH =12$ и $CH = 1.$ Найдите высоту ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$DABCH112$

Найдём $DC :$

DC = DH + HC =12 +1 = 13.

По условию $ABCD$ — ромб, поэтому

AB = BC = CD = AD =13.

Рассмотрим треугольник $AHD.$ Он прямоугольный, так как $AH ⊥ DC,$ ведь $AH$ — высота ромба по условию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AHD :$

AD2 = DH2 + AH2.

Значит,

AH2 =AD2 − DH2 AH2 = 132 − 122 2 AH =169 − 144 AH2 = 25 AH = 5

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95637

Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH =16$ и $CH = 4.$ Найдите высоту ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$DABCH146$

Найдём $DC :$

DC = DH + HC =16 +4 = 20.

По условию $ABCD$ — ромб, поэтому

AB = BC = CD = AD =20.

Рассмотрим треугольник $AHD.$ Он прямоугольный, так как $AH ⊥ DC,$ ведь $AH$ — высота ромба по условию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AHD :$

AD2 = DH2 + AH2.

Значит,

AH2 =AD2 − DH2 AH2 = 202 − 162 2 AH =400 − 256 AH2 = 144 AH = 12

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95646

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 60$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 15.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅60 = 30. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 15 1 AO- = 30 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20500∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95647

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 48$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 12.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅48 = 24. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 12 1 AO- = 24 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20244∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95692

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 24,$ $BF =18.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1284$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---24 +√ 18-= = 576 +324 = 900= 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95793

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 16,$ $BF =12.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1126$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---16 +√ 12-= = 256 +144 = 400= 20.

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#95699

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $150∘,$ а $CD = 26.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 150∘− 90∘ = 60∘.

$AHCK45B602D∘∘6$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

1 CK =CD ⋅cos60∘ = 26⋅2 = 13.

Высоты трапеции равны, поэтому

AH = CK = 13.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

AB = -AH---= 13-= 13√2. sin45∘ √1- 2

Ответ:

$√- 13 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#95700

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60∘$ и $135∘,$ а $CD = 24.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK60B452D∘∘4$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√- √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 24⋅-2-= 12 2. 2

Высоты трапеции равны, поэтому

√- AH = CK = 12 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- AB = sin∠ABH.

Следовательно,

√ - -AH--- 12--2- √ - AB = sin60∘ = √3- = 8 6. 2

Ответ:

$√ - 8 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#95703

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 45,$ $BC = 27,$ $CF :DF = 5:4.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 5 AE = DF = 4.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 5 9 =1 + DF-= 1+ 4 = 4.

Таким образом,

OF = 4⋅BC = 4 ⋅27= 12. 9 9

$ABCDEOF54544212aabb5725$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 4 = 9. BE 5 5

Таким образом,

EO = 5⋅AD = 5 ⋅45= 25. 9 9

Тогда

EF = EO + OF = 25 + 12 = 37.

Ответ: 37

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#95704

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 33,$ $BC = 18,$ $CF :DF = 2:1.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- CF- AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF = 1+ DF- = 1+ 2= 3.

Таким образом,

OF = 1 ⋅BC = 1⋅18= 6. 3 3

$ABCDEOF2a2b3162ab382$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 1 = 3. BE 2 2

Таким образом,

EO = 2⋅AD = 2 ⋅33= 22. 3 3

Тогда

EF = EO + OF = 22+ 6= 28.

Ответ: 28

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

23.04 Четырёхугольники